平面问题的极坐标解答4

一 半平面体上受集中力作用 该集中力与垂直方向夹角为 取单位厚度来考虑 求应力分量 解 应用量刚分析方法来设应力函数 应力分量的量刚是 力 长度 2 集中力的量刚是 力 长度 1 对半平面体而言 它是沿厚度方向分布的力 而 是无因次的 因此应力分量的表达式应取下面的形式 4 9半平面体上在边界上受集中力作用 而应力函数中 的幂次应比应力分量中 的幂次高两次 所以应力函数应采用 f 的形式 代入相容方程 其中N为由量纲一的量 和 组成的量纲一的量 A cos B sin Ax By是一次项 不产生应力 所以 边界条件 0 2 0 0 2 0自然满足 考虑O点附近力F的作用 为此在其附近取一个半径为 的小部分脱离体Oabc 自然满足 解出 即得应力分量的最终解答 二垂直力F作用 1 应力分量 当平面体在边界上受有垂直于边界的力时 如图4 15 在上述公式中令 1 也可以将其中的极坐标改为直角坐标而得 利用坐标变换可得到直角坐标中的应力分量式 2 2 2 位移分量 假设是平面应力情况 将应力分量代入物理方程 得形变分量 再将形变分量代入几何方程 得 于是可以得出位移分量 其中 都是任意常数 由对称条件 得 代入式 3 得 3 如果半平面体不受铅直方向的约束 则常数I不能确定 如果半平面体受有铅直方向的约束 就可以根据这个约束条件来确定常数I 边界上任意一点M向下的铅直位移 即所谓沉陷 由式 4 中的第二式可得M点的沉陷为 如果常数I没有确定 则沉陷也不能确定 这时只能求出相对沉陷 简化以后 得 在边界上取定一个基点B 它距载荷作用点的水平距离为S 则边界上一点M对于基点B的相对沉陷 等于M点的沉陷减去B点的沉陷 如图4 17 另外 本节中的解答是由符拉芒首先得到的 故称符拉芒解答 1 应力分量 4 10半平面体在边界上受法向分布力 半平面体在边界上受法向分布力作用时的应力和沉陷 可以由半平面体在边界上受法向集中力用叠加法得出 dF作用在距原点 时 在M点引起的应力 由上节公式 4 31 式中 需将分布力集度q表示成 的函数 再进行积分 将此式在AB区间上积分 得 2 边界点的相对沉陷量 讨论均匀分布的单位力的情形 计算距分布力中点I距离为x的K点的沉陷量 a 对r积分 即可求得K点的相对沉陷量 当K位于均布力之外时 沉陷量为 为简单起见 假定基点取得很远 即s远大于r 积分时可视s为常数 积分结果为 a 4 32 其中常数A Fki的值为 b c a 4 11楔形体在楔顶或楔面受力 选讲 图4 18 楔形体的中心角为 下端为无限长 1 顶部受集中力P 设楔形体在楔顶受有集中力 与楔形体的中心线成角 取单位宽度的部分来考虑 并令单位宽度上所受的力为P 图4 18 楔形体内一点的应力分量决定于 P 因此 应力分量的表达式中只包含这几个量 其中 是无量纲的量 因此根据应力分量的量纲 应力分量的表达式应取PN 的形式 其中N是 组成的无量纲的量 应力函数中 的幂次应当比各应力分量的幂次高出两次 因此可设 代入相容方程后得 求解这一微分方程 得 于是得 楔形体左右两面的边界条件 上述应力分量满足该边界条件 集中力P按圣维南原理处理 取出任一圆柱面ab 则该截面上的应力和P合成平衡力系 图4 18 将的表达式代入 可求出C D 最后得到密切尔解答 图4 18 2 顶部受有力偶M作用 图4 19 设楔形体在楔顶受有力偶 而每单位宽度内的力偶矩为M 如图4 19 根据和前面相似的分析 应力分量应为MN 2的形式 而应力函数应与 无关 代入相容方程后 得 求解这一微分方程 得 力偶可看成反对称力 正应力和应力函数应当是 的奇函数 从而A D 0 于是 楔形体左右两面边界条件 上述应力分量自动满足第一式 根据第二式 可得 于是 集中力偶M按圣维南原理处理 取出任一圆柱面ab 则该截面上的应力M成平衡力系 最后得到英格立斯的解答 图4 20 应力分量应为qN的形式 而应力函数应为qN 2的形式 代入相容方程后 得 求解这一微分方程 得 3 一面受均布压力q 边界条件为 求解常数 得应力分量的李维解答 习题4 12楔形体两边受均匀分布的切向荷载作用 用因次分析法求其中的应力分布 取单位厚度来考虑 解 1 根据因次分析法选择 并求解 q 2f 通解是 代入协调方程 根据应力边界条件求出常数A B C D A 0 C 0 0 q q 例题2 矩形截面曲梁 单位厚度 内半径为a 外半径为b 一端固定 另一端受径向集中力作用 求应力分量 1 应力函数的确定 分析 任取一截面m n 截面弯矩为 由材料力学初等理论 可知截面上正应力 由此假定 再由应力分量与应力函数间的关系 可推得 将其代入相容方程 a 该