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文档简介

2 2矩阵的运算 定义 一 矩阵的加法 设有两个矩阵那末矩阵与的和记作 规定为 说明只有当两个矩阵是同型矩阵时 才能进行加法运算 例如 2 矩阵加法的运算规律 记 A aij 成为矩阵A的负矩阵 1 定义 二 数与矩阵相乘 2 数乘矩阵的运算规律 矩阵相加与数乘矩阵合起来 统称为矩阵的线性运算 设为矩阵 为数 1 引例 产品 一厂二厂 三 矩阵与矩阵相乘 单位单位价格利润 总收入总利润 一厂二厂 可见c11 a11b11 a12b21 a13b31cij ai1b1j ai2b2j ai3b3j 2 定义 并把此乘积记作C AB 设是一个矩阵 是一个矩阵 那末规定矩阵与矩阵的乘积是一个矩阵 其中 例 设 例2 故 解 注意1只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时 两个矩阵才能相乘 例如 不存在 注意2 AB的行数 A的行数 AB的列数 B的列数 练习 1 2 3 4 线性方程组 记 则有AX b 注意3矩阵不满足交换律 例3设 则 如前练习题1 2 即一般地AB BA 但也有例外 比如设 则有 此时称矩阵A B可交换 注意4矩阵不满足消去律 即 1 若AB AC A 0不能推出B C 2 若AB 0不能推出A 0或B 0 例4设 矩阵乘法的运算规律 其中为数 若A是阶矩阵 则为A的次幂 即并且 注意 一般地 AB k AkBk 定义把矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵 叫做的转置矩阵 记作 例 转置矩阵 四 矩阵的其它运算 转置矩阵的运算性质 证 4 首先据矩阵乘法定义可见左右两边是同型阵 其次证明两边矩阵的对应元素相等 因为 AB T位于第i行第j列的元素 AB位于第j行第i列的元素 A位于第j行的元素与B位于第i列对应元素的乘积之和 BT位于第i行的元素与AT位于第j列对应元素的乘积之和 BTAT位于第i行第j列的元素 例5已知 解法1 解法2 2 方阵的行列式 定义由阶方阵的元素所构成的行列式 叫做方阵的行列式 记作或 运算性质 记C AB 构造一个2n阶行列式 1 n C 1 n AB 3 对称阵与伴随矩阵 定义 设为阶方阵 如果满足 即那末称为对称阵 对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等 说明 例6设列矩阵满足 证明 例7证明任一阶矩阵都可表示成对称阵与反对称阵之和 证明 所以C为对称矩阵 所以B为反对称矩阵 命题得证 定义 行列式的各个元素的代数余子式所构成的如下矩阵 性质 称为矩阵的伴随矩阵 证明 故 同理可得 五 小结 矩阵运算 加法 数与矩阵相乘 矩阵与矩阵相乘 转置矩阵 对称阵与伴随矩阵 方阵的行列式 共轭矩阵 2 只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时 两个矩阵才能相乘 且矩阵相乘不满足交换律 消去律 1 只有当两个矩阵是同型矩阵时 才能进行
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