[原创]2012年《高考风向标》高考理数一轮复习 第十二章 第3讲 抛物线 [配套课件]

第3讲抛物线1 抛物线的定义 平面上到定点的距离与到定直线l 定点不在直线l上 的距离 的点的轨迹叫做抛物线 定点为抛 物线的 定直线为抛物线的 相等 焦点 准线 2 抛物线的标准方程 类型及其几何性质 p 0 C y 1 抛物线y 8x2的准线方程为 C A y 116 B x 116 132 D x 132 2 设a 0 a R 则抛物线y 4ax2的焦点坐标为 3 已知抛物线C的顶点坐标为原点 焦点在x轴上 直线y x与抛物线C交于A B两点 若 2 2 为AB的中点 则抛物 线C的方程为 y2 4x 解析 设抛物线为y2 kx 与y x联立方程组 消去y 得 x2 kx 0 x1 x2 k 2 2 故y2 4x B两点 则OA OB 4 设坐标原点为O 抛物线y2 2x与过焦点的直线交于A 34 5 过抛物线y2 2px p 0 的焦点F作倾斜角为45 的直线 交抛物线于A B两点 若线段AB的长为8 则p 2 考点1 抛物线的标准方程 例1 顶点在原点 焦点在x轴上的抛物线被直线y 2x 1截得的弦长为 求抛物线的方程 解得a 12或a 4 所以抛物线方程为y2 12x或y2 4x 这里易犯的错误就是缺少对开口方向的讨论 先入为主 设定一种形式的标准方程后求解 导致失去一解 互动探究 1 求以原点为顶点 坐标为对称轴 焦点在直线x 2y 4 0上的抛物线的标准方程 考点2 抛物线的几何性质 例2 已知抛物线y2 2x的焦点是F 点P是抛物线上的动点 又有点A 3 2 求 PA PF 的最小值 并求出取最小值时P点的坐标 图12 3 1 互动探究 2 已知抛物线的方程为标准方程 焦点在x轴上 其上点 B P 3 m 到焦点距离为5 则抛物线方程为 A y2 8xB y2 8xC y2 4xD y2 4x 考点3 运用平面几何性质解题 例3 设抛物线y2 2px p 0 的焦点为F 经过点F的直线交抛物线于A B两点 点C在抛物线的准线上 且BC x轴 证明直线AC经过原点O 解题思路 证直线AC经过原点O 即证O A C三点共线 为此只需证kOC kOA 本题也可结合图形特点 由抛物线的几何性质和平面几何知识去解决 故直线AC经过原点O 方法二 如下图12 3 2 记准线l与x轴的交点为E 过A作AD l 垂足为D 图12 3 2 则AD EF BC 连接AC交EF于点N 则 EN AD CN AC BF AB NF BC AF AB AF AD BF BC EN AD BF AB AF BC AB NF 即N是EF的中点 从而点N与点O重合 故直线AC经过原点O 本题的 几何味 特别浓 这就为本题注入了活力 在涉及解析思想较多的证法中 关键是得到yAyB p2这个重要结论 方法二充分利用了平面几何知识 这提醒广大师生对圆锥曲线几何性质的重视 这样才能挖掘出丰富多彩的解析几何的题目 错源 忽略了特殊情形 例4 动点M x y 到y轴的距离比它到定点 2 0 的距离小 2 求动点M x y 的轨迹方程 误解分析 没有注意到抛物线的图像特征 导致漏解 正解 动点M到y轴的距离比它到定点 2 0 的距离小2 动点M到定点 2 0 的距离与到定直线x 2的距离相 等 动点M的轨迹是以 2 0 为焦点 x 2为准线的抛物线 且p 4 y2 8x 又 x轴上原点左侧的点到y轴的距离比他到 2 0 点的距离 小2 M点的轨迹方程为y 0 x 0 故动点M的轨迹方程为y 0 x 0 或y2 8x 纠错反思 错解只考虑了一种情况 在此题中 2 0 到y轴的距离为2 所以x轴上原点左侧的点也满足题目条件 例5 2010年湖北 已知一条曲线C在y轴右边 C上每一 点到点F 1 0 的距离减去它到y轴距离的差都是1 1 求曲线C的方程 2 是否存在正数m 对于过点M m 0 且与曲线C有两个交 围 若不存在 请说明理由 解题思路 本小题主要考察直线与抛物线的位置关系 抛物线的性质等基础知识 同时考察推理运算的能力 1 抛物线的焦半径 焦点弦 1 y2 2px p 0 的焦半径 PF x p2 x2 2py p 0 的焦半径 PF y p2 当m 时 取得最小值 为 选A 1 抛物线y x2上的点到直线4x 3y 8 0距离的最小 值是 A A 43 B 75 C 85 D 3 解析 设抛物线y x2上一点为 m m2 该点到直线 4m 3m2 8 5 23 4x 3y 8 0的距离为43 2 正方形ABCD的边AB在直线y x