FXQ-Chapter-10能量原理-B

冯西桥清华大学工程力学系2006 12 27 第十章能量原理EnergyMethods 变分问题的直接解法 Chapter10 6 最小势能原理的直接解法 总势能 是三个位移分量ui的泛函 在位移边界上自变函数ui应满足约束条件 变分问题的直接解法 Chapter10 6 最小势能原理的直接解法 里茨 Ritz 法迦辽金 Galerkin 法 变分问题的直接解法 Chapter10 6 迦辽金法 Galerkin 基本思路 寻找一组 n个 满足所有边界条件的容许函数 用这些容许函数的组合构造一个试函数 用微分方程的加权余量格式得到近似解 不需要泛函 弹性力学问题的基本微分方程存在对应的泛函 故可以从能量的极值原理推导出Galerkin法的基本方程 根据结构 载荷和边界条件 选取尽可能合适的位移试验函数 变分问题的直接解法 Chapter10 6 Ritz方法 写出弹性系统的总势能表达式 对总势能进行变分 得到关于待定系数的线性方程组 求解上述线性方程组 变分问题的直接解法 Chapter10 6 例用Ritz方法求均载悬臂梁的挠度 梁的抗弯刚度为EJ 根据结构 载荷和边界条件 选取尽可能合适的位移试验函数 变分问题的直接解法 Chapter10 6 总势能 变分问题的直接解法 Chapter10 6 求得x l处的最大挠度为 对位移的待定参数取变分 变分问题的直接解法 Chapter10 6 0 5 0 2945 0 125 0 11937 精确解 近似解 误差 4 5 41 N 5时误差 0 03 8 1 与精确解的比较 问题 误差的来源 如何提高精度 为什么应力的误差更大 变分问题的直接解法 Chapter10 6 里茨法 Ritz 第一步先找可能状态 选择一组在边界上满足指定约束条件的容许函数 把它们分别乘上待定常数并叠加起来 作为试验函数去代替真实的自变函数 第二步逼近真实状态 调整试验函数中的待定常数 使满足泛函驻值条件 0 求得逼近于真解的近似解 显然试验函数选得越好 解的精度越高 变分问题的直接解法 Chapter10 6 取变分 其中 Galerkin方法 变分问题的直接接法 Chapter10 6 利用 ij的对称性和高斯积分定理进一步写成 Galerkin方法 变分问题的直接解法 Chapter10 6 根据变分法基本预备定理 由此导得三维弹性体的平衡方程 欧拉方程 和力边界条件 自然边界条件 但是欧拉方程的精确解一般不容易找到 为此迦辽金法放松了在域内点点满足欧拉方程的要求 它要求试验函数在Su上满足位移边界条件 在S 上满足力边界条件 而域内只要求按积分意义满足 即 变分问题的直接解法 Chapter10 6 于是 把寻找精确解的难题转化为只求整体满足积分平衡条件的近似解的问题 和里茨法一样 引进位移试验函数 把 ij表示成位移参数ain的函数 又 ui uin ain 代入上式后注意到 ain相互独立 令它们的系数分别为零 得 选取尽可能合适的位移试验函数 满足位移和应力边界条件 变分问题的直接解法 Chapter10 6 Galerkin方法 写出弹性系统的总势能表达式 对总势能进行变分 得到Galerkin法的线性方程组 求解上述线性方程组 变分问题的直接解法 Chapter10 6 在域内并不处处满足平衡方程 代入平衡方程后 右端将出现非零的残量 调整试验函数中的待定参数 使残量与某些权函数之积在整个域上的积分值等于零 或者说 要求残量在域上与某些权函数正交 就能得到合理的近似解 Galerkin方法的基本思想 变分问题的直接解法 Chapter10 6 迦辽金 Galerkin 法是加权残量法的一种特殊形式 它也可以处理不存在泛函的一类微分方程的边值问题 适用范围比里茨法广 但对存在泛函的弹性保守系统来说里茨法更为实用 里茨法仅要求试验函数满足约束边界条件 而迦辽金法还要求满足自然边界条件 要求高的试验函数不容易找 但如果能找到则精度较高 若取同一试验函数 则两种方法的结果相同 Ritz方法 Galerkin方法 变分问题的直接解法 Chapter10 6 Galerkin法解题步骤 最小势能原理 求应变和应力 变分问题的直接解法 Chapter10 6 例用Galerkin方法求均载悬臂梁的挠度 梁的抗弯刚度为EJ 变分问题的直接解法 Chapter10 6 当选挠度w为自变函数时 迦辽金求解方程为当选曲率w 为自变函数时 则对齐次边界条件的求解方程为 梁弯曲的Galerkin求解方法 变分问题的直接解法 Chapter10 6 如选取 它不满足x l处弯矩和剪力为零的条件 梁弯曲的Galerkin求解方法 求得x l处的最大挠度为 变分问题的直接解法 Chapter10 6 选取 它满足x l处弯矩和剪力为零的条件 梁弯曲的Galerkin求解方法 变分问题的直接解法 Chapter10 6 利用左端位移边界条件 得 代入Galerkin求解方程 或 梁弯曲的Galerkin求解方法 变分问题的直接解法 Chapter10 6 与精确解的比较 变分问题的直接解法 Chapter10 6 右端不包含力边界上的面积分 在力边界上自变函数 ij应满足约束条件 最小余能原理的直接解法 变分问题的直接解法 Chapter10 6 里茨法 Ritz法解题步骤 最小余能原理 求应变 不能精确满足协调方程 根据结构 载荷和边界条件 选取尽可能合适的应力试验函数 变分问题的直接解法 Chapter10 6 Ritz方法 写出弹性系统的总余能表达式 对总余能进行变分 得到关于待定系数的线性方程组 求解上述线性方程组 变分问题的直接解法 Chapter10 6 在无 常 体力情况下 可以利用应力函数的方法 把总余能看作应力函数的泛函给定相应的应力函数边界条件 例如给定其边界值及法向导数值 可设其中满足给定的非齐次边界条件 满足齐次边界条件 对余能变分 由这些线性代数方程组解出ain 变分问题的直接解法 Chapter10 6 变分问题的直接解法 Chapter10 6 例用最小余能原理求静不定梁的支座反力 变分问题的直接解法 Chapter10 6 为二次静不定系统 选支反力RB和RC为待定力参数 由力和力矩平衡条件 可解得A点处 变分问题的直接解法 Chapter10 6 静力可能内力场 余势Vc 0 则总余能为 CB段 BA段 变分问题的直接解法 Chapter10 6 最小余能原理要求由此解得 变分问题的直接解法 Chapter10 6 例用最小余能原理求悬臂梁梁右端的挠度和转角 问题 如何右端的边界条件 引入余势 变分问题的直接解法 Chapter10 6 例用最小余能原理求矩形截面杆的自由扭转问题 扭矩和扭角关系 变分问题的直接解法 Chapter10 6 总余能表达式 应力函数可取为 对矩形截面杆可选 变分问题的直接解法 Chapter10 6 作为近似 只取第一项近似 根据最小余能原理 得里茨法的求解方程 变分问题的直接解法 Chapter10 6 由上述两式 最终可得 比精确解大 1 4 变分问题的直接解法 Chapter10 6 关于误差的讨论 Ritz方法 假设位移的近似函数 求得的位移一般小于精确解 变分问题的直接解法 Chapter10 6 关于误差的讨论 Galerkin方法 假设应力的近似函数 求得的位移一般大于精确解 例 悬臂梁的挠度问题 能量原理 Chapter10 7 泛函与变分的基本概念基本概念和术语可能功原理 功的互等定理虚功原理和余虚功原理最小势能原理和最小余能原理弹性力学变分问题的欧拉方程弹性力学变分问题的直接解法可变边界条件 卡氏定理 可变边界条件 卡氏定理 Chapter10 7 载荷可变的情况 如果允许载荷发生虚变化 则可能功原理式对静力场取变分的结果为这称为Castigliano方程或应力变分方程 它是余虚功原理的推广 可变边界条件 卡氏定理 Chapter10 7 可变边界条件 卡氏定理 Chapter10 7 当实际载荷有虚变化时 系统总余能的虚变化等于在真实位移上载荷虚变化所做的功 如果不允许载荷有虚变化 则卡氏定理退化为最小余能原理 可变边界条件 卡氏定理 Chapter10 7 如果把外载荷表示成若干个广义力Pi 相应的广义位移记为 i 则由上式得到 卡氏定理的导数形式 总余能对广义力的偏导数等于相应的广义位移 可变边界条件 卡氏定理 Chapter10 7 若再采用线弹性材料 则Uc U 得 克罗第 恩格塞定理 卡氏第二定理 当位移边界固定或全部为力边界时 余势Vc 0 总余能 c Uc 则 可变边界条件 卡氏定理 Chapter10 7 例1求线弹性材料的悬臂梁在自由端处的转角 应变能为 可变边界条件 卡氏定理 Chapter10 7 对M0求偏导 再令M0 0 得其转动方向与M0相同 可变边界条件 卡氏定理 Chapter10 7 如果允许位移边界上的给定位移发生虚变化 则可能功原理对变形可能场取变分的结果为 这是虚功原理的推广 可变边界条件 卡氏定理 Chapter10 7 对于弹性保守系统 总势能的变分 当位移边界值可变时 系统总势能的虚变化等于真实约束反力在位移边界值的虚变化上所做的功 可变边界条件 卡氏定理 Chapter10 7 若把总势能表示成广义位移 i的函数 相应的广义约束反力为Pi 则对外力势V 0的情况 总势能 退化为应变能U 上式成为 卡氏第一定理 可