一元二次方程全章导学案

x 2222 1 1 一元二次方程 一元二次方程 1 1 学习目标 学习目标 了解一元二次方程的概念 一般式 ax2 bx c 0 a 0 及其派生的概念 应用一元 二次方程概念解决一些简单题目 1 通过设置问题 建立数学模型 模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义 2 一元二次方程的一般形式及其有关概念 3 解决一些概念性的题目 4 通过生活学习数学 并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情 重难点 重难点 重点 一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解 决问题 难点 通过提出问题 建立一元二次方程的数学模型 再由一元一次方程的概念迁 移到一元二次方程的概念 活动活动 1 阅读教材第 30 至 32 页 并完成以下内容 问题问题 1 要设计一座 2m 高的人体雕像 使雕像的上部 腰以上 与 下部 腰以下 的高度比 等于下部与全部 全身 的高度比 雕 像的下部应设计为多高 分析 设雕像下部高 x m 则上部高 得方程 整理得 问题问题 2 如图 有一块长方形铁皮 长 100cm 宽 50cm 在它的四 角各切去一个同样的正方形 然后将四周突出部分折起 就能制作 一个无盖方盒 如果要制作的无盖方盒的底面积为 3600c 那么铁 皮各角应切去多大的正方形 分析 设切去的正方形的边长为 x cm 则盒底 的长为 宽为 得方程 整理得 问题问题 3 要组织一次排球邀请赛 参赛的每两个队之间都要比赛一 场 根据场地和时间等条件 赛程计划安排 7 天 每天安排 4 场比 赛 比赛组织者应邀请多少个队参赛 分析 全部比赛的场数为 设应邀请 x 个队参赛 每个队要与其他 个队各赛 1 场 所 以全部比赛共 场 列方程 化简整理得 请口答下面问题 1 方程 中未知数的个数各是多少 2 它们最高次数分别是几次 方程 的共同特点是 这些方程的两边都是 只含 有 未知数 一元 并且未知数的最高次数是 二次 的方程 1 一元二次方程一元二次方程 2 一元二次方程的一般形式一般形式 一般地 任何一个关于 x 的一元二次方程 经过整理 都能化成 如下形式 ax2 bx c 0 a 0 这种形式叫做一元二次方程的一般一般 形式形式 其中 ax2是 是二次项系数 bx 是 是一次项系数 是常数项 注意 二次项系数 一次项系数 常数项都要包含它前面的符号 二次项系数是一个重要条件 不能漏掉 0a 3 例例 将方程 8 2x 5 2x 18 化成一元二次方程的一般形式 并写出其中的二次项系数 一次项系数及常数项 活动活动 2 知识运用知识运用 课堂训练课堂训练 例 1 判断下列方程是否为一元二次方程 1 将下列方程化成一元二次方程的一般形式 并写出其中的二次项 系数 及常数项 5x2 1 4x 4x2 81 4x x 2 25 3x 2 x 1 8x 3 2 根据下列问题 列出关于 x 的方程 并将其化成一元二次方程的 一般形式 4 个完全相同的正方形的面积之和是 25 求正方形的边长 x 一个长方形的长比宽多 2 面积是 100 求长方形的长 x 把长为 1 的木条分成两段 使较短一段的长与全长的积 等于较 长一段的长的平方 求较短一段的长 x 3 求证 关于 x 的方程 m2 8m 17 x2 2mx 1 0 不论 m 取何值 该方程都是一元二次方程 活动活动 3 归纳内化 一元二次方程 1 概念 2 一般形式 ax2 bx c 0 a 0 2 2 2 22 1 10 3 23x10 xx 5 3 3 xx 2 2 2 2 x 1 3y 12 4 0 6 9x 5 4x 活动活动 4 课堂检测课堂检测 1 在下列方程中 一元二次方程有 3x2 7 0 ax2 bx c 0 x 2 x 5 x2 1 3x2 0 5 x 2 方程 2x2 3 x 6 化为一般式后二次项系数 一次项系数和常 数项分别是 A 2 3 6 B 2 3 18 C 2 3 6 D 2 3 6 3 px2 3x p2 q 0 是关于 x 的一元二次方程 则 A p 1 B p 0 C p 0 D p 为任意实数 4 方程 3x2 3 2x 1 的二次项系数为 一次项系数为 常数项为 5 将下列方程化成一元二次方程的一般形式 并写出其中的二次项 系数 及常数项 3x2 1 6x 4x2 5x 81 x x 5 0 2x 2 x 1 0 x x 5 5x 10 3x 2 x 1 x 2x 1 活动活动 5 拓展延伸 拓展延伸 1 当 a 时 关于 x 的方程 a x2 x x2 x 1 是一元二3 次方程 2 若关于 x 的方程 m 3 2 7m x m 5 x 5 0 是一元二次方程 试求 m 的值 并计算这个方程的各项系数之和 3 关于 x 的方程 m2 m xm 1 3x 6 可能是一元二次方程吗 为什 么 2222 1 1 一元二次方程一元二次方程 2 2 学习目标 学习目标 1 了解一元二次方程根的概念 会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及利用它们解 决一些具体问题 2 提出问题 根据问题列出方程 化为一元二次方程的一般形式 列式求解 由解给出根 的概念 再由根的概念判定一个数是否是根 同时应用以上的几个知识点解决一些具体问 题 重点 难点重点 难点 重点 重点 判定一个数是否是方程的根 难点 难点 由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的 根 活动活动 1 阅读教材P32 33 完成课前预习 1 知识准备 知识准备 一元二次方程的一般形式一般形式 2 探究 探究 问题问题 一个面积为 120m2的矩形苗圃 它的长比宽多 2m 苗圃的 长和宽各是多少 分析 设苗圃的宽为 xm 则长为 m 根据题意 得 整理 得 1 下面哪些数是上述方程的根 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 一元二次方程的解也叫做一元二次方程的一元二次方程的解也叫做一元二次方程的 即使一元二次方 即使一元二次方 程等号左右两边相等的程等号左右两边相等的 的值 的值 3 将 x 12 代入上面的方程 x 12 是此方程的根吗 4 虽然上面的方程有两个根 和 但是苗圃的宽只有 一个答案 即宽为 因此 由实际问题列出方程并解得的根 由实际问题列出方程并解得的根 并不一定是实际问题的根 还要考虑这些根是否确实是实际问题的并不一定是实际问题的根 还要考虑这些根是否确实是实际问题的 解 解 练习 练习 1 1 你能想出下列方程的根吗 1 x2 36 0 2 4x2 9 0 2 下面哪些数是方程 x2 x 12 0 的根 4 3 2 1 0 1 2 3 4 活动活动 2 知识运用知识运用 课堂训练课堂训练 例例 1 下面哪些数是方程 x2 x 6 0 的根 4 3 2 1 0 1 2 3 4 例例 2 2 你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗 1 2 3 2 250 x 2 31x 2 9160 x 随堂训练随堂训练 1 写出下列方程的根 1 9x2 1 2 25x2 4 0 3 4x2 2 2 下列各未知数的值是方程的解的是 2 320 xx A x 1 B x 1 C x 2 D x 2 3 根据表格确定方程 0 的解的范围 2 87 5xx 4 已知方程的一个根是 1 则 m 的值是 2 390 xxm 5 试写出方程x2 x 0的根 你能写出几个 活动活动 3 归纳内化 1 使一元二次方程成立的 的值 叫做一元二次方程的 解 也叫做一元二次方程的 2 由实际问题列出方程并得出解后 还要考虑这些解 活动活动 4 课堂检测课堂检测 1 如果 x2 81 0 那么 x2 81 0 的两个根分别是 x1 x2 2 一元二次方程的根是 方程 x x 1 2 的两根 2 xx 为 3 写出一个以为根的一元二次方程 且使一元二次方程的二次 2x x1 01 11 21 3 2 87 5xx 0 5 0 09 0 66 1 21 项系数为 1 4 已知方程 5x2 mx 6 0 的一个根是 x 3 则 m 的值为 5 若关于 X 的一元二次方程的一个根是 0 a 22 1 10axxa 的值是几 你能得出这个方程的其他根吗 活动活动 5 拓展延伸拓展延伸 1 若 则 已知 m 是方程 2 22xx 2 243xx 的一个根 则代数式 2 60 xx 2 mm 2 如果 x 1 是方程 ax2 bx 3 0 的一个根 求 a b 2 4ab 的值 3 方程 x 1 2 x x 1 0 那么方程的根2 x1 x2 4 把化成一般形式是 二次项是 2 2 1 2x xxx 一次项系数是 常数项是 5 已知 x 1 是方程 ax2 bx c 0 的根 b 0 则 ac bb A 1 B 1 C 0 D 2 6 方程 x x 1 2 的两根为 A x1 0 x2 1 B x1 0 x2 1 C x1 1 x2 2 D x1 1 x2 2 7 方程 ax x b b x 0 的根是 A x1 b x2 a B x1 b x2 C x1 a x2 1 a 1 a D x1 a2 x2 b2 8 请用以前所学的知识求出下列方程的根 x 2 1 9 x 2 2 1 x2 2x 1 4 x2 6x 9 0 9 如果 2 是方程 x2 c 0 的一个根 那么常数 c 是几 你能得出这个 方程的其他根吗 10 如果关于 x 的一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 中的二次项系数 与常数项之和等于一次项系数 求证 1 必是该方程的一个根 22 2 122 2 1 直接开平方法解一元一次方程直接开平方法解一元一次方程 学习目标学习目标 1 理解一元二次方程 理解一元二次方程 降次降次 转化的数学思想 并能应用它解决一些具转化的数学思想 并能应用它解决一些具 体问题 体问题 2 提出问题 列出缺一次项的一元二次方程 提出问题 列出缺一次项的一元二次方程 ax2 c 0 根据平方根的意义解 根据平方根的意义解 出这个方程 然后知识迁移到解出这个方程 然后知识迁移到解 a ex f 2 c 0 型的一元二次方程 型的一元二次方程 重点 运用开平方法解形如 重点 运用开平方法解形如 x m 2 n n 0 的方程 领会降次 的方程 领会降次 转化的转化的 数学思想 数学思想 难点 通过根据平方根的意义解形如难点 通过根据平方根的意义解形如 x2 n 知识迁移到根据平方根的意义解形 知识迁移到根据平方根的意义解形 如 如 x m 2 n n 0 的方程 的方程 活动活动 1 阅读教材第阅读教材第 35 页至第页至第 37 页的部分 完成以下问题页的部分 完成以下问题 一桶某种油漆可刷的面积为一桶某种油漆可刷的面积为 1500dm2 李林用这桶油漆恰好刷完李林用这桶油漆恰好刷完 10 个同样的正个同样的正 方体形状的盒子的全部表面 你能算出盒子的棱长吗 方体形状的盒子的全部表面 你能算出盒子的棱长吗 我们知道我们知道 x2 25 根据平方根的意义 直接开平方得 根据平方根的意义 直接开平方得 x 5 如果 如果 x 换元为换元为 2t 1 即 即 2t 1 2 8 能否也用直接开平方的方法求解呢 能否也用直接开平方的方法求解呢 计算 用直接开平方法解下列方程 计算 用直接开平方法解下列方程 1 x2 8 2 2x 1 2 5 3 x2 6x 9 2 4 4m2 9 0 5 x2 4x 4 1 6 3 x 1 2 9 108 解一元二次方程的实质是解一元二次方程的实质是 把一个一元二次方程把一个一元二次方程 降次降次 转化为两个一元一 转化为两个一元一 次方程 次方程 我们把这种思想称为我们把这种思想称为 降次转化思想降次转化思想 归纳 如果方程能化成归纳 如果方程能化成 的形式 那么可得的形式 那么可得 活动活动 2 知识运用 课堂训练 例例 1 用直接开平方法解下列方程 用直接开平方法解下列方程 1 3x 1 2 7 2 y2 2y 1 24 3 9n2 24n 16 11 练习 练习 1 2x2 8 0 2 9x2 5 3 3 x 6 2 9 0 4 3 x 1 2 6 0 5 x2 4x 4 5 6 9x2 6x 1 4 7 36x2 1 0 8 4x2 81 9 x 5 2 25 10 x2 2x 1 4 活动活动 3 归纳内化归纳内化 应用直接开平方法解形如应用直接开平方法解形如 那么可得 那么可得 达到降次转化之目达到降次转化之目 的 的 活动活动 4 课堂检测课堂检测 一 选择题一 选择题 1 若 若 x2 4x p x q 2 那么 那么 p q 的值分别是 的值分别是 A p 4 q 2 B p 4 q 2 C p 4 q 2 D p 4 q 2 2 方程 方程 3x2 9 0 的根为 的根为 A 3 B 3 C 3 D 无实数根 无实数根 3 用配方法解方程 用配方法解方程 x2 x 1 0 正确的解法是 正确的解法是 2 3 A x 2 x B x 2 原方程无解 原方程无解 1 3 8 9 1 3 2 2 3 1 3 8 9 C x 2 x1 x2 D x 2 1 x1 x2 2 3 5 9 2 3 5 3 25 3 2 3 5 3 1 3 4 若若 8x2 16 0 则 则 x 的值是的值是 5 如果方程如果方程 2 x 3 2 72 那么 这个一元二次方程的两根是 那么 这个一元二次方程的两根是 活动活动 5 拓展延伸拓展延伸 1 如果 如果 a b 为实数 满足为实数 满足 b2 12b 36 0 那么 那么 ab 的值是的值是 34a 2 用直接开平方法解下列方程 用直接开平方法解下列方程 1 2 x 2 81 0 2 2 1 x 2 18 0 3 2 x 2 4 3 解关于 解关于 x 的方程 的方程 x m 2 n 4 某农场要建一个长方形的养鸡场 鸡场的一边靠墙 墙长 某农场要建一个长方形的养鸡场 鸡场的一边靠墙 墙长 25m 另三边另三边 用木栏围成 木栏长用木栏围成 木栏长 40m 1 鸡场的面积能达到 鸡场的面积能达到 180m2吗 能达到吗 能达到 200m 吗 吗 2 鸡场的面积能达到 鸡场的面积能达到 210m2吗 吗 5 在一次手工制作中 某同学准备了一根长 在一次手工制作中 某同学准备了一根长 4 米的铁丝 由于需要 现在要制米的铁丝 由于需要 现在要制 成一个矩形方框 并且要使面积尽可能大 你能帮助这名同学制成方框 成一个矩形方框 并且要使面积尽可能大 你能帮助这名同学制成方框 并并 说明你制作的理由吗 说明你制作的理由吗 22 2 222 2 2 配方法解一元二次方程 配方法解一元二次方程 1 1 学习目标学习目标 1 理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程 并能熟练应用它解决一些具 理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程 并能熟练应用它解决一些具 体问题 体问题 2 通过复习可直接化成 通过复习可直接化成 x2 p p 0 或 或 mx n 2 p p 0 的一元二次方程 的一元二次方程 的解法 引入不能直接化成上面两种形式的解题步骤 的解法 引入不能直接化成上面两种形式的解题步骤 重点 重点 讲清讲清 直接降次有困难直接降次有困难 如 如 x2 6x 16 0 的一元二次方程的解题步的一元二次方程的解题步 骤 骤 难点 难点 不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的 化为化为 的转化方法与的转化方法与 技巧 技巧 活动活动 1 阅读教材第阅读教材第 38 页至第页至第 39 页的部分 完成以下问题页的部分 完成以下问题 解下列方程解下列方程 1 3x2 1 5 2 4 x 1 2 9 0 3 4x2 16x 16 9 填空 填空 1 x2 6x x 2 2 x2 x x 2 3 4x2 4x 2x 2 4 x2 x x 2 问题 要使一块长方形场地的长比宽多问题 要使一块长方形场地的长比宽多 6cm 并且面积为 并且面积为 16cm2 场地的长和宽场地的长和宽 应各是多少 应各是多少 思考 思考 1 以上解法中 为什么在方程 以上解法中 为什么在方程 x2 6x 16 两边加两边加 9 加其他数行吗 加其他数行吗 2 什么叫配方法 什么叫配方法 3 配方法的目的是什么 配方法的目的是什么 这也是这也是 配方法的基本配方法的基本 4 配方法的关键是什么 配方法的关键是什么 用配方法解下列关于用配方法解下列关于 x 的方程的方程 1 2x2 4x 8 0 2 x2 4x 2 0 3 x2 x 1 0 4 2x2 2 5 2 1 总结 用配方法解一元二次方程的步骤 总结 用配方法解一元二次方程的步骤 活动活动 2 知识运用 课堂训练 例例 1 用配方法解下列关于用配方法解下列关于 x 的方程 的方程 1 x2 8x 1 0 2 2x2 1 3x 3 3x2 6x 4 0 4 x2 10 x 9 0 5 x2 x 0 6 3x2 6x 4 0 4 7 7 4x2 6x 3 0 8 x24x 9 2x 11 9 x x 4 8x 12 课堂练习课堂练习 1 填空 填空 1 x2 10 x x 2 2 x2 12x x 2 3 x2 5x x 2 4 x2 x x 2 3 2 2 用配方法解下列关于 用配方法解下列关于 x 的方程的方程 1 x2 36x 70 0 2 x2 2x 35 0 3 2x2 4x 1 0 4 x2 8x 7 0 5 x2 4x 1 0 6 x2 6x 5 0 7 2x2 6x 2 0 8 9y2 18y 4 0 9 x2 3 2x3 活动活动 3 归纳内化归纳内化 用配方法解一元二次方程的步骤 用配方法解一元二次方程的步骤 活动活动 4 课堂检测课堂检测 1 将二次三项式 将二次三项式 x2 4x 1 配方后得 配方后得 A x 2 2 3 B x 2 2 3 C x 2 2 3 D x 2 2 3 2 已知 已知 x2 8x 15 0 左边化成含有 左边化成含有 x 的完全平方形式 其中正确的是 的完全平方形式 其中正确的是 A x2 8x 4 2 31 B x2 8x 4 2 1 C x2 8x 42 1 D x2 4x 4 11 3 如果 如果 mx2 2 3 2m x 3m 2 0 m 0 的左边是一个关于 的左边是一个关于 x 的完全平方的完全平方 式 则式 则 m 等于 等于 A 1 B 1 C 1 或或 9 D 1 或或 9 4 1 x2 8x x 2 2 9x2 12x 3x 2 3 x2 px x 2 5 1 方程 方程 x2 4x 5 0 的解是的解是 2 代数式 代数式的值为的值为 0 则 则 2 2 2 1 xx x x 的值为的值为 活动活动 5 拓展延伸拓展延伸 一 解下列方程一 解下列方程 1 x2 10 x 16 0 2 x2 x 0 4 3 3 3x2 6x 5 0 4 4x2 x 9 0 二 综合提高题二 综合提高题 1 已知三角形两边长分别为 已知三角形两边长分别为 2 和和 4 第三边是方程 第三边是方程 x2 4x 3 0 的解 求这个三的解 求这个三 角形的周长 角形的周长 2 如果 如果 x2 4x y2 6y 13 0 求 求 xy z的值 的值 2z 22 2 322 2 3 用公式法解一元二次方程用公式法解一元二次方程 学习目标学习目标 1 理解一元二次方程求根公式的推导过程 了解公式法的概念 会熟练应用 理解一元二次方程求根公式的推导过程 了解公式法的概念 会熟练应用 公式法解一元二次方程 公式法解一元二次方程 2 复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程 引入 复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程 引入 ax2 bx c 0 a 0 的求根公式的推导公式 并应用公式法解一元二次方的求根公式的推导公式 并应用公式法解一元二次方 程 程 重点 重点 求根公式的推导和公式法的应用 求根公式的推导和公式法的应用 难点 难点 一元二次方程求根公式法的推导 一元二次方程求根公式法的推导 活动活动 1 阅读教材第阅读教材第 40 页至第页至第 42 页的部分 完成以下问题页的部分 完成以下问题 1 用配方法解下列方程 用配方法解下列方程 1 6x2 7x 1 0 2 4x2 3x 52 总结用配方法解一元二次方程的步骤 总结用配方法解一元二次方程的步骤 2 如果这个一元二次方程是一般形式 如果这个一元二次方程是一般形式 ax2 bx c 0 a 0 你能否用上面配 你能否用上面配 方方 法的步骤求出它们的两根 法的步骤求出它们的两根 问题 已知问题 已知 ax2 bx c 0 a 0 试推导它的两个根 试推导它的两个根 x1 x2 2 4 2 bbac a 2 4 2 bbac a 分析 因为前面具体数字已做得很多 我们现在不妨把分析 因为前面具体数字已做得很多 我们现在不妨把 a b c 也当成一个具也当成一个具 体数字 根据上面的解题步骤就可以一直推下去 体数字 根据上面的解题步骤就可以一直推下去 解 移项 得 解 移项 得 二次项系数化为 二次项系数化为 1 得 得 配方 得 配方 得 即即 a 0 4a2 0 式子 式子 b2 4ac 的值有以下三种情况 的值有以下三种情况 1 b2 4ac 0 则 则 0 2 2 4 4 bac a 直接开平方 得 直接开平方 得 即即 x 2 4 2 bbac a x1 x2 2 b2 4ac 0 则 则 0 此时方程的根为此时方程的根为 即一元二次即一元二次 2 2 4 4 bac a 程程 ax2 bx c 0 a 0 有两个 有两个 的实根 的实根 3 b2 4ac 0 则 则 0 此时 此时 x 2 0 而 而 x 取任何实数都不取任何实数都不 2 2 4 4 bac a 2 b a 能使 能使 x 2 0 因此方程 因此方程 实数根 实数根 2 b a 由上可知 一元二次方程由上可知 一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 的根由方程的系数 的根由方程的系数 a b c 而定 而定 因此 因此 1 解一元二次方程时 可以先将方程化为一般形式 解一元二次方程时 可以先将方程化为一般形式 ax2 bx c 0 当 当 b2 4ac 0 时 将时 将 a b c 代入式子代入式子 x 就得到方程的根 当就得到方程的根 当 b2 2 4 2 bbac a 4ac 0 方程没有实数根 方程没有实数根 2 x 叫做一元二次方程叫做一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 的求根公式 的求根公式 2 4 2 bbac a 3 利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法 利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法 4 由求根公式可知 一元二次方程最多有 由求根公式可知 一元二次方程最多有 实数根 也可能有实数根 也可能有 实根或实根或 者者 实根 实根 5 一般地 式子 一般地 式子 b2 4ac 叫做方程叫做方程 ax2 bx c 0 a 0 的根的判别式 通常 的根的判别式 通常 用希腊字用希腊字 表示它 即表示它 即 b2 4ac 用公式法解下列方程 用公式法解下列方程 1 2x2 4x 1 0 2 5x 2 3x2 3 x 2 3x 5 0 4 4x2 3x 1 0 活动活动 2 知识运用 课堂训练 用公式法解下列方程 用公式法解下列方程 1 x2 4x 7 0 2 2x2 x 1 0 3 5x2 3x x 1 4 x2 17 8x22 练习 练习 1 在什么情况下 一元二次方程 在什么情况下 一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 有两个不相等的实数根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 有两个相等的实数根 2 写出一元二次方程 写出一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 b2 4ac 0 的求根公式 的求根公式 3 方程 方程 x2 4x 4 0 的根的情况是 的根的情况是 A 有两个不相等的实数根有两个不相等的实数根 B 有两个相等的实数根有两个相等的实数根 C 有一个实数根有一个实数根 D 没有实数没有实数 根根 4 用公式法解下列方程 用公式法解下列方程 1 2x2 4x 1 0 2 5x 2 3x2 3 x 2 3x 5 0 4 4x2 3x 1 0 5 x2 x 0 6 3x2 6x 2 0 3 4 1 7 x2 4x 8 4x 11 8 x 2x 4 5 8x 9 x2 x 0 2 4 1 10 x2 4x 8 2x 11 11 x x 4 2 8x 12 x2 x 10 052 5 利用判别式判定下列方程的根的情况 利用判别式判定下列方程的根的情况 1 2x2 3x 0 2 16x2 2 3 24x 9 0 3 x2 x 9 0 4 3x2 10 x 2x2 8x24 活动活动 3 归纳内化归纳内化 1 求根公式的概念及其推导过程 求根公式的概念及其推导过程 2 公式法的概念 公式法的概念 3 应用公式法解一元二次方程 应用公式法解一元二次方程 4 初步了解一元二次方程根的情 初步了解一元二次方程根的情 况 况 活动活动 4 课堂检测课堂检测 1 用公式法解方程 用公式法解方程 4x2 12x 3 得到 得到 A x B x C x D x 36 2 36 2 32 3 2 32 3 2 2 方程 方程x2 4x 6 0 的根是 的根是 232 A x1 x2 B x1 6 x2 C x1 2 x2 D x1 x2 232226 3 m2 n2 m2 n2 2 8 0 则 则 m2 n2的值是 的值是 A 4 B 2 C 4 或或 2 D 4 或或 2 4 一元二次方程 一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 的求根公式是 的求根公式是 条件是 条件是 5 若关于 若关于 x 的一元二次方程 的一元二次方程 m 1 x2 x m2 2m 3 0 有一根为有一根为 0 则 则 m 的值的值 是是 活动活动 5 拓展延伸拓展延伸 1 用公式法解关于 用公式法解关于 x 的方程 的方程 x2 2ax b2 a2 0 2 设 设 x1 x2是一元二次方程是一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 的两根 的两根 1 试推导 试推导 x1 x2 x1 x2 b a c a 2 求代数式求代数式 a x13 x23 b x12 x22 c x1 x2 的值 的值 3 某数学兴趣小组对关于某数学兴趣小组对关于 x 的方程 的方程 m 1 m 2 x 1 0 提出了下列提出了下列 2 2m x 问题 问题 1 若使方程为一元二次方程 若使方程为一元二次方程 m 是否存在 若存在 求出是否存在 若存在 求出 m 并解此方并解此方 程 程 2 若使方程为一元二次方程 若使方程为一元二次方程 m 是否存在 若存在 请求出 是否存在 若存在 请求出 22 2 422 2 4 因式分解法因式分解法 学习目标 学习目标 1 会用因式分解法 提公因式法 公式法 法解某些简单的数字系数的一元二 次方程 2 能根据具体的一元二次方程的特征 灵活选择方程的解法 体会解决问题方 法的多样性 重点 难点重点 难点 1 重点 应用分解因式法解一元二次方程 2 难点 灵活应用各种分解因式的方法解一元二次方程 活动活动 1 1 阅读教材阅读教材 P43P43 40444044 完成课前预习完成课前预习 1 1 知识准备 知识准备 将下列各题因式分解将下列各题因式分解 am bm cm am bm cm a a2 2 b b2 2 a a2 2 2ab b 2ab b2 2 因式分解的方法 因式分解的方法 解下列方程 解下列方程 1 1 2x2x2 2 x 0 x 0 用配方法 用配方法 2 2 3x3x2 2 6x 0 6x 0 用公式法 用公式法 2 2 探究 探究 仔细观察方程特征 除配方法或公式法 你能找到其它的解法吗 仔细观察方程特征 除配方法或公式法 你能找到其它的解法吗 3 3 归纳 归纳 1 1 对于一元二次方程 先因式分解使方程化为 对于一元二次方程 先因式分解使方程化为 的形式 的形式 再使再使 从而实现 从而实现 这种解法叫做这种解法叫做 2 2 如果 如果 那么 那么或或 这是因式分解法的根据 这是因式分解法的根据 0a b 0a 0b 如 如果如 如果 那么 那么或或 即 即或或 1 1 0 xx 10 x 1x 练习练习 1 1 说出下列方程的根 说出下列方程的根 1 1 2 2 8 0 x x 31 25 0 xx 练习练习 2 2 用因式分解法解下列方程 用因式分解法解下列方程 1 1 x x2 2 4x 0 4x 0 2 2 4x4x2 2 49 0 49 0 3 3 5 5x x2 2 20 x 20 0 20 x 20 0 活动活动 2 知识运用 课堂训练 用因式分解法解下列方程用因式分解法解下列方程 1 1 2 2 2 20 x xx 2 540 xx 3 3 3 2 1 42xxx 4 4 2 5 315xx 5 5 4x4x2 2 144 0 144 0 6 6 2x 1 2x 1 2 2 3 x 3 x 2 2 7 7 22 13 522 44 xxxx 8 8 3x3x2 2 12x 12 12x 12 随堂训练随堂训练 1 1 用因式分解法解下列方程用因式分解法解下列方程 1 1 x x2 2 x 0 x 0 2 2 x x2 2 2 23x 0 x 0 3 3 3x3x2 2 6x 3 6x 3 4 4 4x4x2 2 121 0 121 0 5 5 3x 2x 1 4x 23x 2x 1 4x 2 6 6 x 4 x 4 2 2 5 2x 5 2x 2 2 2 2 把小圆形场地的半径增加 把小圆形场地的半径增加 5m5m 得到大圆形场地 场地面积增加了一倍 求小得到大圆形场地 场地面积增加了一倍 求小 圆形场地的半径 圆形场地的半径 活动活动 3 3 归纳内化归纳内化 因式分解法解一元二次方程的一般步骤因式分解法解一元二次方程的一般步骤 1 1 将方程右边化为将方程右边化为 2 2 将方程左边分解成两个一次因式的将方程左边分解成两个一次因式的 3 3 令每个因式分别为令每个因式分别为 得两个一元一次方程 得两个一元一次方程 4 4 解这两个一元一次方程 它们的解就是原方程的解解这两个一元一次方程 它们的解就是原方程的解 活动活动 4 4 课堂检测课堂检测 1 1 方程 方程的根是的根是 3 0 x x 2 2 方程 方程 2x2x x 2x 2 3 3 x 2x 2 的解是 的解是 3 3 方程 方程 x 1x 1 x 2x 2 0 0 的两根为的两根为 x x1 1 x x2 2 且 且 x x1 1 x x2 2 则 则 x x1 1 2x 2x2 2的值等于的值等于 4 4 若 若 2x 3y2x 3y 2 2 4 4 2x 3y2x 3y 4 0 4 0 则 则 2x 3y2x 3y 的值为的值为 5 5 已知 已知 y xy x2 2 6x 9 6x 9 当 当 x x 时 时 y y 的值为的值为 0 0 当 当 x x 时 时 y y 的值等于的值等于 9 9 活动活动 5 5 拓展延伸拓展延伸 1 1 方程 方程 x x x 1x 1 x 2x 2 0 0 的根是 的根是 A A 1 1 2 2 B B 1 1 2 2 C C 0 0 1 1 2 2 D D 0 0 1 1 2 2 2 2 若关于 若关于 x x 的一元二次方程的根分别为的一元二次方程的根分别为 5 5 7 7 则该方程可以为 则该方程可以为 A A x 5x 5 x 7x 7 0 0 B B x 5x 5 x 7x 7 0 0 C C x 5x 5 x 7x 7 0 0 D D x 5x 5 x 7x 7 0 0 3 3 方程 方程 x 4x 4 x 5x 5 1 1 的根为 的根为 A A x 4x 4 B B x 5x 5 C C x x1 1 4 4 x x2 2 5 5 D D 以上结论都不对 以上结论都不对 4 4 用因式分解法解下列方程 用因式分解法解下列方程 1 1 2 2 41 57 0 xx 2 5xx 3 3 4 4 3 1 2 1 x xx 2 1 250 x 5 5 6 6 2 2 3 9xx 22 16 2 9 3 xx 7 7 3x x 1 2 x 1 3x x 1 2 x 1 8 8 x x2 2 x x x 5x 5 0 0 22 2 522 2 5 解一元二次方程解一元二次方程 学习目标学习目标 1 理解并掌握用直接开平方法 配方法 公式法 因式分解法解一元一 次方程的方法 2 选择合适的方法解一元二次方程 重点 难点重点 难点 3 重点 重点 用直接开平方法 配方法 公式法 因式分解法解一元一次方程 4 难点 难点 选择合适的方法解一元二次方程 活动活动 1 一 梳理知识一 梳理知识 1 1 解一元二次方程的基本思路是 解一元二次方程的基本思路是 将二次方程化为一次方程 即降次 2 2 一元二次方程主要有四种解法 它们的理论根据和适用范围如下表 一元二次方程主要有四种解法 它们的理论根据和适用范围如下表 方法名称理论根据适用方程的形式 直接开平方法 平方根的定义或 2 xp 2 mxnp 0 p 配方法完全平方公式所有的一元二次方程 公式法配方法所有的一元二次方程 因式分解法 两个因式的积等于 0 那么这两个因式至少 有一个等于 0 一边是 0 另一边易于分解成 两个一次因式的乘积的一元二 次方程 3 3 一般考虑选择方法的顺序是 一般考虑选择方法的顺序是 直接开平方法 分解因式法 配方法或公式法 二 用适当的方法解下列方程 二 用适当的方法解下列方程 1 1 2 2 2 70 xx 2 1227xx 3 X x 2 X 2 0 4 4 2 24xx 5 5 5x2 2X x2 2X 6 6 4 1 4 3 22 4 2 9 21 xx 活动活动 2 知识运用 课堂训练 1 1 用直接开方法解方程 用直接开方法解方程 0136 2 x814 2 x 165 2 x 412 2 xx 2 2 用因式分解法解方程 用因式分解法解方程 0 2 xx01214 2 x 012123 xxx 0254 22 xx 3 3 用配方法解方程 用配方法解方程 01610 2 xx 0 4 3 2 xx 0563 2 xx094 2 xx 4 4 用公式法解方程 用公式法解方程 012 2 xx 0 4 1 2 2 xx 11284 2 xxx xxx824 02 2 xx01052 2 xx 活动活动 3 归纳内化归纳内化 解一元一次方程的方法 活动活动 4 巩固提高巩固提高 1 1 用直接开方法解方程 用直接开方法解方程 094 2 x 12 2 x 129 2 x412 2 xx 2 2 用因式分解法解方程 用因式分解法解方程 032 2 xx 24123 xxx 4 3 2 4 1 25 22 xxxx 22 312xx 3 3 用配方法解方程 用配方法解方程 018 2 xxxx312 2 0463 2 xx 0910 2 xx0463 2 xx 1284 xxx 4 4 用公式法解方程 用公式法解方程 01 2 xx 0 4 1 3 2 xx 0263 2 xx 064 2 xx11484 2 xxx xxx8542 22 2 6 一元二次方程根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系 学习目标 学习目标 1 理解并掌握根与系数关系 a b xx 21 a c xx 21 2 会用根的判别式及根与系数关系解题 重点 难点重点 难点 重点 重点 理解并掌握根的判别式及根与系数关系 难点 难点 会用根的判别式及根与系数关系解题 活动活动 1 阅读教材阅读教材 P54 55 完成课前预习完成课前预习 1 知识准备 知识准备 1 一元二次方程的一般式 2 一元二次方程的解法 3 一元二次方程的求根公式 2 探究 探究 1 完成下列表格 完成下列表格 方方 程程 1 x 2 x 12 xx 12 x x 2 560 xx 25 x2 3x 10 0 3 问题 你发现什么规律 用语言叙述你发现的规律 x2 px q 0 的两根 用式子表示你发现的规律 1 x 2 x 探究探究 2 完成下列表格 完成下列表格 方方 程程 1 x 2 x 12 xx 12 x x 2x2 3x 2 0 2 1 3x2 4x 1 0 1 问题 上面发现的结论在这里成立吗 请完善规律 用语言叙述发现的规律 ax2 bx c 0 的两根 用式子表示你发现的规律 1 x 2 x 3 利用求根公式推到根与系数的关系 韦达定理 ax2 bx c 0 的两根 1 x 2 x 12 xx 12 x x 练习 1 根据一元二次方程的根与系数的关系 求下列方程的两根和与两根积 1 2 3 2 310 xx 2 2350 xx 2 1 20 3 xx 活动活动 2 知识运用 课堂训练 例 1 不解方程 求下列方程的两根和与两根积 1 x2 6x 15 0 2 3x2 7x 9 0 3 5x 1 4x2 例 2 已知方程的一个根是 3 求另一根及 K 的值 2 290 xkx 例 3 已知 是方程 x2 3x 5 0 的两根 不解方程 求下列代数式的值 例 4 已知关于 x 的方程3x2 5x 2 0 且关于 y 的方程的两根 是 x 方程的两根的平方 则关于 y 的方程是 随堂训练随堂训练 1 x2 3x 15 2 5x2 1 4x2 x 3 x2 3x 2 10 4 4x2 144 0 5 3x x 1 2 x 1 6 2x 1 2 3 x 2 活动活动 3 归纳内化归纳内化 22 1 2 3 1 1 一元二次方程的根与系数的关系 活动活动 4 课堂检测课堂检测 1 若方程 a 0 的两根为 则 2 0axbxc 1 x 2 x 12 xx 12 x x 2 方程 则 2 2310 xx 12 xx 12 x x 3 若方程的一个根 2 则它的另一个根为 p 2 20 xpx 4 已知方程的一个根 1 则它的另一根是 m 2 30 xxm 5 若 0 和 3 是方程的两根 则 p q 2 0 xpxq 活动活动 5 拓展延伸拓展延伸 1 在解方程 x2 px q 0 时 甲同学看错了 p 解得方程根为 x 1 与 x 3 乙 同学看错了 q 解得方程的根为 x 4 与 x 2 你认为方程中的 p q 2 两根均为负数的一元二次方程是 A BC D 2 71250 xx 2 61350 xx 2 42150 xx 2 1580 xx 3 若方程的两根中只有一个为 0 那么 2 0 xpxq A p q 0 B P 0 q 0 C p 0 q 0 D p 0 q 0 4 不解方程 求下列方程的两根和与两根积 1 x2 5x 10 0 2 2x2 7x 1 0 3 3x2 1 2x 5 5 x x 1 3x 7 5 x2 3x 1 0 6 3x2 2x 2 22 3 122 3 1 实际问题与一元二次方程 实际问题与一元二次方程 1 1 学习目标 学习目标 1 能根据具体问题中的数量关系 列出一元二次方程 体会方程是刻画现实世界的一 个有效的数学模型 并能根据具体问题的实际意义 检验结果是否合理 2 经历将实际问题抽象为代数问题的过程 探索问题中的数量关系 并能运用一元二 次方程对之进行描述 3 通过解决传播问题 学会将实际应用问题转化为数学问题 体验解决问题策略的多 样性 发展实践应用意识 4 通过用一元二次方程解决身边的问题 体会数学知识应用的价值 了解数学对促进 社会进步和发展人类理性精神的作用 重点 难点重点 难点 重点 列一元二次方程解有关传播问题 平均变化率问题的应用题 难点 发现传播问题 平均变化率问题中的等量关系 活动一活动一 阅读教材P458 469 完成课前预习 探探 究究 问题问题 1 1 有一人患了流感 经过两轮传染后共有 121 人患了流 感 每轮传染中平均一个人传染了几个人 分析 1 设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人 那么患流感的这一 个人在第一轮中传染了 人 第一轮后共有 人患了流感 2 第二轮传染中 这些人中的每个人又传染了 人 第二 轮后共有 人患了流感 则 列方程 解得 即平均一个人传染了 个人 再思考 如果按照这样的传染速度 三轮后有多少人患流感 问题问题 2 2 两年前生产 1 吨甲种药品的成本是 5000 元 生产 1 吨 乙种药品的成本是 6000 元 随着生产技术的进步 现在生产 1 吨甲 种药品的成本是 3000 元 生产 1 吨乙种药品的成本是 3600 元 哪 种药品成本的年平均下降率较大 精确到 0 001 绝对量 甲种药品成本的年平均下降额为 5000 3000 2 1000 元 乙种药 品成本的年平均下降额为 6000 3000 2 1200 元 显然 乙种药品成本的 年平均下降额较大 相对量 从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢 也就是能否说明乙种 药品成本的年平均下降率大呢 下面我们通过计算来说明这个问题 分析 设甲种药品成本的年平均下降率为 x 则一年后甲种药品成 本为 元 两年后甲种药品成本为 元 依题意 得 解得 x1 x2 根据实际意义 甲种药品成本的年平均下降率约为 设乙种药品成本的平均下降率为 y 则 列方程 解得 答 两种药品成本的年平均下降率 思考思考 经过计算 你能得出什么结论 成本下降额较大的药品 它的下降率一 定也较大吗 应怎样全面地比较几个对象的变化状态 活动活动 2 典型例题 初步应用 例 1 某种植物的主干长出若干数目的支干 每个支干又长出同样 数目的小分支 主干 支干和小分支的总数是 91 求每个支干长出 多少小分支 例 2 青山村种的水稻 2001 年平均每公顷产 7200 2003 年平均kg 每公顷产 8460 求水稻每公顷产量的年平均增长率 kg 活动活动 3 归纳内化 1 列一元二次方程解应用题的一般步骤 1 设 即设 设未知数的方法有直接设和间接设未知数两种 2 列 即根据题中 关系列方程 3 解 即求出所列方程的 4 检验 即验证是否符合题意 5 答 即回答题目中要解决的问题 2 增长率 实际数 基数 基数 平均增长率公式 其中 a 是增长 2 1 Qax 或降低 的基础量 x 是平均增长 或降低 率 2 是增长 或降低 的次数 活动活动 4 课堂检测课堂检测 1 生物兴趣小组的学生 将自己收集的标本向本组其他成员各赠送 一件 全组共互赠了 182 件 如果全组有 x 名同学 那么根据题 意列出的方程是 A x x 1 182 B x x 1 182 C 2x x 1 182 D x 1 x 182 2 2 一个小组若干人 新年互送贺卡 若全组共送贺卡 72 张 则这 个小组共 A 12 人 B 18 人 C 9 人 D 10 人 3 某次会议中 参加的人员每两人握一次手 共握手 190 次 求参 加会议共有多少人 4 学校组织了一次篮球单循环比赛 每两队之间都进行了一次比赛 共进行了 15 场比赛 那么有几个球队参加了这次比赛