材料塑性成形过程最优化设计—Ⅰ有限元灵敏度分析方法

材料塑性成形过程最优化设计有限元灵敏度分析方法 第6卷第2期塑)r卜6)N of一塑性工程学报V01材料塑性成形过程最优化设计一I有限元灵敏度分析方法z Df1l c?一?篙叮LT摘要本文采用有限元方法建立了一种非稳态材料塑性成形过程的灵敏度分析理论和模具形状优化设计方法。 采用三次B样条函数描述预成形模具形状，B样条函数的控制点坐标(系数)作为优化设计变量，通过对控制点坐标的优化设计，使实际终成形件形状与理想终成形件形状之间的差别最小，从而实现预成形模具形状的优化设计，详细建立了目标函数、有艰元节点坐标、节点速度对优化设计变量的解析灵敏度方程及其彼此之间的数学关系，并给出了节点速度灵敏度的边界条件1引言形状优化灵敏度分析踅堡堕垄预感l謦墨塑盐最艺b，随着计算机技术与有限元法的发展，形状优化方法已越来越多地应用于复杂结构工程的优化问题。 在材料塑性成形生产中，产品的质量主要取决于模具设计的水平。 因成形件形状的复杂性，绝大多数成形件采用多工序加工，工序数目的确定和各工序模具形状的设计，即预成形设计，是材料成形工艺与模具设计的中心工作。 在实际生产中，设计者的经验和直觉一直是预成形设计的主要依据，其设计水平、时间和成本都受到一定限制。 Kobayashi等提出了一种有限元反向跟踪方法，并应用于实际锻造问题的预成形设计口。 这种反向跟踪方法是从完全充满终锻模腔的终锻件形状出发，以逆向变形方式模拟材料变形规律，按照规定的边界条件控制准则，通过懈除边界节点的约束条件而得到任意时刻的预成形件形状。 Han等将优化方法应用于有限元反向跟踪和预成形设计。 Zhao等根据工件形状复杂程度建立了有限元逆向仿真的边界条件控制准则和相应的预成形设计方法，还提出了一种逆向模具接触跟踪方法。 上述预成形设计方法都采用有限元正、反向模拟方法，都嵌赖于边界条件的控制准则。 由于材料成形路径的多样化，仍较难建立通用的或者最佳的边界条件控制准则。 变形路径的多样化特征决定了寻求最佳预成形设计和建立具有全局优化特点的优化设计方法的可能性与必要性。 Badrinarayanan等提出了一种拟弹一粘塑性材料的有限元灵敏度分析方法，并应用于大变形过程的预成形优化设计，该方法设计目标是预成形件形状，而不是预成形模具形状，预霍英东教育基盘会高等院校青年教师基盘项目，山东省优秀中青年科学家礴研奖励基盘项目。 6岛，窃2塑性工程学报第6卷成形模具形状则根据该预成形件形状设计。 但设计出的预成形件形状通常不易成形，例如，圆柱体镦粗过程，为消除终锻件的侧面鼓形，设计出的预成形件侧面呈凹形，这就增加了预成形模具设计和实际生产的困难性。 本文以直接设计预成形模具形状为目标，应用有限元、优化和单纯正向模拟技术相结合的方法提出并建立了一种灵敏度分析理论和模具形状优化设计方法。 因篇幅关系，本文只介绍其理论与方法，而具体应用技术和模具形状优化设计实例将另有文章介绍。 2有限元基本方程此处只给出后面推导灵敏度方程所用到的刚塑性、刚一粘塑性有限元基本方程，对于详细的剐塑性、刚一粘塑性有限元理论，请读者参见文献1刚塑性、刚一粘塑性材料成形问题的有限元平衡方程为置(，X)V+F(V，)=0 (1)式中(，)=IP dV+QI ec，dV(2a)JJ yFXV。 ,一fs marct an(警cz式中与材料和过程有关的非线性刚度矩阵F施加的节点力向量单元的节点坐标向量Q引入塑性变形体积不变条件的惩罚因子等效应力；等效应变率m常摩擦因子剪切屈服应力，在工件与模具接触面上的摩擦力，用相对滑动速度的反正切函数表示模具与工件接触面上节点J的相对滑动速度，滑动速度采用线性擂值求得“。 一个与相比很小的正常数矩阵P与c由应变率矩阵B构造，其元素为一B DhB(3a)e=B1+C，一Bl，+B(3b)其中D为一对角线矩阵，其对角线元素分别为Z3，23，Za，13。 平衡方程式 (1)为一非线性方程组，其求解过程为首先计算各单元的刚度阵和节点力向量；然后在整个工件上进行组装，形成刚度方程组；最后进行线性化，并采用NewtonRaphsn迭代方法进行求解。 3目标函数与设计变量对于二维问题，假设G。 和g分别表示最终成形件的理想形状和对应于任意一个预成形第2期赵国群等材料塑性成形过程最优化设计1有限元灵敏度分析方法模具形状实际取得的最终成形件形状。 优化设计目标是通过设计预成形模具形状使实际工件图l实际取得的终成形件与理想终成形件形状Fig-l Theachieved and desired finalforming workpieceshapes一形状接近或等于理想工件形状。 Go与G之间的差别是预成形模具形状的函数，其大小反映了预成形模具形状设计的准确性。 目标函数定义为两个工件形状不重合区域的面积，如图1所示。 因此，优化问题陈述为通过设计预成形模具形状，使形状G接近于G。 对于一个经有限元离散化后的工件边界，假设所取得的实际工件G有个边界节点，其坐标分别为(，Y)，i一1，2，3?，N，通过这些边界节点i向理想工件边界引垂线，其交点构成了另一组在理想工件上的边界节点(，Y)，一1，2，3，?N，连接这两组边界节点，在两个工件形状G。 与G不重合区域内构成了M个四边形单元，这些单元的节点按逆时针方向编号，单元的面积A，可由其节点坐标确定。 以各单元面积A的平方和作为目标函数，即M一 (4)J一1当接近零时，实际获得的最终成形件形状G将与理想终成形件形状G。 趋于一致。 优化问题为通过使目标函数取最小值的B样条曲线控制点的坐标定义最佳预成形模具形状。 本文采用三次B样条函数表示二维成形问题的预成形模具形状。 对于每个控制点，有两个自由度(，P)，一1，2，?，K为定义预成形模具形状的B样条曲线的控制点总数。 故共有2K个设计变量，对这种无约束的优化设计问题，本文采用BFGS优化方法0进行优化。 4灵敏度分析根据 (1)式给出的目标函数表达式，推导目标函数对优化设计变量P的梯度如下P=耋十善，z=，z，?c af az，a。 a aA?其中=z A，=z A由有限元知识，在速度场迭代收敛后，应用收敛的速度场刷新该时间增量内的节点坐标的公式为X一X十V,At (6)式中X“0十)时刻的节点坐标向量X“时刻的节点坐标向量y“f时刻的节点速度向量将 (6)式对优化设计变量P求偏导，得一十百o nVct,At (7)a轨a pia pi。 4塑性工程学报第6卷上式即为有限元节点坐标对优化设计变量的灵敏度刷新公式，当f_一0时，有引rap0。 可见，一旦确定节点速度对优化设计变量的灵敏度a V“a P即可根据式 (7)确定出节点坐标对优化设计变量的灵敏度进而由式 (5)计算出目标函数对优化设计变量的灵敏度。 对于任意一个单元，f时刻的节点速度灵敏度向量aV。 aP，简记为y可通过将单元平衡方程式 (1)对优化设计变量求偏导得出(+十】一一(筹筹+筹筹J csa，上式简写为RVp=F，P(8b)式中R单元的刚度灵敏度矩阵F(即aFaP)一单元的节点力灵敏度向量根据式(8d)、(2n)和 (26)，经推导褥出矩阵R与向量F的计算公式如下一妾耋【粪一主Ja+誓c一，z，?c9a，一I z壹=l差舞+砉耋黉篱)c，?c。 当用式 (8)和式 (9)计算出所有单元的刚度灵敏度矩阵和节点力灵敏度向量后，在整个工件上，对所有单元进行组装，得到一组关于节点速度灵敏度的线性方程R V，=F (10)式中豆整体刚度灵敏度矩阵n整体节点速度灵敏度向量整体节点力灵敏度向量对于一个假定的初始预成形模具形状，首先进行预成形工序的有限元模拟，在每一时间增量模拟步内，进行速度场迭代，当速度场收敛后，按照式 (10)求解节点速度灵敏度然后利用式 (7)刷新节点坐标灵敏度。 当整个变形过程(包括预成形与终成形工序)结束时，根据求得的最终节点坐标灵敏度、实际求得的终成形件形状与理想终成形件形状，利用式 (4)与 (5)分别求出目标函数值及其梯度值。 最后，调用优化工具进行优化迭代，判断或检查优化迭代是否已达到所规定的优化条件，若还未满足优化条件，则利用褥到的新控制点坐标刷新预成形模具形状，进行下一次优化迭代，直至达到所要求的优化条件。 根据式(2a)与式(2b)，经推导可得式 (9)中的偏导数项軎，差和豢的计算公式如下差=雌粪一著+詈警Q差+QL a+L+QLG篆一耋客去尝rct an(等】a5+arct anc)瓦a(dS) (12)第2期赵国群等材料塑性成形过程最优化设计i有限元灵敏度分析方法篙一m知赢as百j伽i式(1c12冲的磬，ac,，磬与的计算公式可由式(3n)和 (36)式推导得aC,一aB1,+-I-aB3一+0Bzj-I-3Bai?a)d zhd z d zn d z d zd7C dd n磬一言耋(券B+磬)a(VT pV)=耋鲁?c)a一a。 ?其中导数矩阵a曰可由通过对矩阵B矩阵诸元素对有限元节点坐标求偏导确定。 式 (11)、 (12)和 (13)中的体积积分dV与面积积分d8也取决于节点坐标向量。 对于平面变形问题有。 8(dS)一a(dV)一dSd7(15a)d zd zdzdz对于轴对称问题有a(dS)一(ISsl差+r百a(dV)一(I J1差+r aI Sl(15b)式中l l坐标转换矩阵的雅可比行列式的值lJ I在工件与模具接触面上坐标转换矩阵的雅可比行列式的值r由茧元形特甬斯帝的捕信占的辑向坐标5速度灵敏度边界条件在工件与模具接触面上，接触节点i的速度边界条件(见图2)为一住一(，7J&e)(一sinf lcos) (16)式中7Ji。 节点i在接触面法线方向的速度分量y模具速度向量图2接触节点的速度灵敏度边界条件Fig2The boundary condition ofthe nodalvelocity sensitivity在接触节点i处模具表面的单位法矢量9全球坐标系(xoy)的轴与模具表面切向与法向组成的局部坐标(o Y)的轴之间的夹角对于一个由)一()，(11，2，3，?2K)定义的B样条函数，其斜率dydx=y=tan f，故由此可导出下列关系r一r一sinf lY、1+Y，c0sI911+ (17)将式 (18)两边对优化设计变量求导可得速度灵敏度边界条件6塑性工程学报第6卷一一0cosf l (18)其中，aaP是模具表面法线方向单位矢量对设计变量P的灵敏度，将式 (17)代入 (18)式即可求得其表达式。 事实上，只要确定儿和弘，即可确定节点速度灵敏度的边界条件。 弘和由B样条函数确定。 给定三次B样条函数的控制点坐标(，P)(一1，2，?，)，第i个三次B样条曲线上的，)坐标可表示为。 z一(1一s)声t+(46s+3s)声+(1+3s+3一3s3)声+声(19a)一寺(1一s)P+(46+3s)声+(1+3s+35一3)户一+声(19b)式中01。 将B样条函数式 (19)对参数求导，得一dd yzady3dx-j(2。 )一dzddL20)一专一(1一s)声+(一+3sZ)p+(1+253s2)声+，声+(21a)筹=1(1一s)户+(一如+3sz)户+(1+2s一3sz)声+。 声+。 (21b)由式 (20)和 (21)即可很容易地推导出B样条曲线的斜率对设计变量的偏导数儿，即ayaPf。 由式 (17)、 (18)、(2O)和 (21)即可确定接触节点的速度灵敏度边界条件。 6结论非稳态材料成形过程的形状优化设计研究，对于提高模具设计水平和有效控制产品质量至关重要，本文提出了一种基于有限元灵敏度分析的模具优化设计方法。 模具形状优化设计的目标函数对设计变量的灵敏度依赖于节点坐标、节点速度对设计变量的灵敏度，其中节点坐标灵敏度是一个与变形历史有关的量。 该方法对整个变形过程进行优化，所寻求的最佳模具形状以三次B样条函数表示，故设计出的模具形状光滑，易于加工，适合于材料塑性成形生产所有的解析灵敏度方程是以有限元基本方程为出发点建立的，当目标函数发生改变时，灵敏度方程仍然适用，故对于材料成形过程具有一定的通用性。 参考文献1s kobayashi，s ioh，t altanm etal forming and the finite element method，oxford universitypress，ne-,r york，19892n kim，s kbayaski、preorm desn nh-skape6cross seetioaxsym metrieforgixg byfiniteelement第2期赵国群等材料塑性成形过程最优化设计一i有限元灵敏度分析方法methodt intjm achto olsm anuf，1990，30，2432683b s kang，skobayashipreform designin rolhngprocesses bythe threedim ensionalfiniteelement method，intjmachtoolsm anuf，199131，1391514c shar ttr vgrandhi，r srinivasanoptimum d e signof forgingdie shapeu singnonlinear finiteelementmethodaiaa journa1，1993，31，7748815guoqun zhao，e wright，r vgrandhiforging preform d e sign with shape plexitycontrol insim ulati onbackward de formation，intjm ach8ltools manuf，1995，35122512396guoqun zhao，e wrighttr vgranclhi puteraidedpreformdesignin forgingusing theinversedie co ntacttracking metho d，intjmaehto ols8lm anuf，199636，7557697s badrina yanan，n zahe rasa sensitivity ana lysisfor thedesig nof metalforming processest puter methapp1m echengng1996，129，3193488r fletcherpractical methocls of0ptimizationw ileynew york19879e vshikinh andbookon splinesfortheuser，crc pressboca raton，flu sa，19950ptim iumdesign0f material f0rm ingp0r0cessi finiteelem entsensitivity analysism eth0d zhaoguoqun wang guangchunji syuxi zhaozhenduo(die8l moldengi nering researchcentert shandonguniversity oftechnologyt jinan，shandong250061)abstract asensitivity ana lysismethod forprefor mdie shapedesign in nonst