01 映射与函数

高等数学 计算机与信息技术系李国军办公室 新大楼4楼415Tel 87787257 556745E mail lgj1979 答疑 周五中午 课程简介 32课时18周考试 第一章函数与极限 初等数学 不变的量 和高等数学 变量 之间的知识连接 主要知识点函数及其性质 各类初等函数函数的极限 连续性 第二章 极限与连续性 用近似的方法来估算值 极限方法研究变量 为第三章导数和微分做准备 主要知识点极限的意义 无穷大和无穷小 连续性和间断性 第二章导数与微分 导数反映出函数相对于自变量的变化快慢的程度微分则是研究自变量有微小变化时 函数大体上变化多少主要知识点导数的概念 求导法则 微分的概念 第四章不定积分 什么叫不定积分 怎么求不定积分 积分主要研究的是通过导数来求原函数的问题 主要知识点不定积分的概念和求解 第一章函数与极限 1映射与函数 2数列的极限 3函数的极限 4无穷小与无穷大 1映射与函数 一 集合二 映射三 函数的概念四 函数的基本特性五 反函数和复合函数六 函数的四则运算七 初等函数 一 集合 1 集合 具有某种特定性质的事物的总体 组成这个集合的事物称为该集合的元素 记为 3 文氏图 2 集合表示法 分为有限集和无限集 3 几种集合 1 常用数集 N 自然数集 Z 整数集 Q 有理数集 R 实数集 2 不含任何元素的集合称为空集 例如 4 集合的运算 规定 空集为任何集合的子集 例如 记为A B 3 集合的并 交 差 补运算 交换律结合律分配律对偶律 5 量 在某过程中不起变化 保持一定的数值 称为常量 在某过程中变化 可以取不同的值 称为变量 常量与变量的表示方法 通常用字母a b c等表示常量用字母x y t等表示变量 6 区间区间是一类数集 是指介于某两个实数之间的全体实数 描述了变量的变化范围 这两个实数叫做区间的端点 两端点间的距离为区间长度I 称为开区间 1 有限区间 称为闭区间 称为半开区间 称为半开区间 2 无限区间 引入记号 读作正无穷大 读作负无穷大 设a与 是两个实数 且 0 则数集称为点a的 邻域 记做 a称为该邻域的中心 称为该邻域的半径 7 邻域 邻域例子 求点5的 0 8的邻域 解 x 5 0 85 0 8 x 5 0 8即4 2 x 5 8 4 2 5 8 二 映射 设X Y是两个非空集合 如果存在一个法则f 使得对X中每个元素x 按法则f 在Y中有唯一确定的元素y与之对应 则称f为从X到Y的映射 记作f X Yy称为x的像 记作y f x x称为y的原像 集合X称为映射f的定义域Df X中所有元素的像的集合称为映射f的值域Rf 设f是从集合X到集合Y的映射 若Rf Y 即Y中任一元素y都是X中某元素的像 则称f为X到Y上的满射 若对X中任意两个不同元素x1 x2 它们的像f x1 f x2 则称f为X到Y的单射 若映射f既是单射 又是满射 则称f为一一映射 或双射 二 映射 因变量 自变量 数集D叫做这个函数的定义域 记做 设数集 则称映射为定义在D上的函数 记作 或f x y 三 函数的概念 注意1 函数y f x 中表示对应关系的记号f也可改用其他字母 例如 g F 等 注意2 定义域 1 考虑函数的实际意义 2 自变量所能取的使算式有意义的一切实数值 注意3 函数的两大要素 定义域和对应法则 对应法则相同是指对同一自变量值取得同一函数值 而对应法则的表达形式可以不同 思考 与是否相同 与是否相同 如果自变量在定义域内任取一个数值时 对应的函数值总是只有一个 这种函数叫做单值函数 否则叫多值函数 多值函数 单值分支 一般只讨论单值函数 绝对值函数 取整函数y x 阶梯曲线 x 表示不超过x的最大整数 取最值函数 四 函数的基本特性 1 函数的有界性 有界 无界 x在 无论取什么值 都有f x 1 所以 f x 在 上有界 对g x 不存在这样的M 使对于 0 1 内的一切x值都有 lnx M成立 所以g x 在 0 1 内是无界的 试问函数上有界吗 函数呢 2 函数的单调性 单调增与单调减的函数统称为单调函数 3 函数的奇偶性 偶函数 奇函数 4 函数的周期性 通常说周期函数的周期是指其最小正周期 例2 解 有界函数 偶函数 周期函数 无最小正周期 不是单调函数 五 反函数 函数y f x 的定义域为D 值域W 对于任意y 在D上可以确定一个x与y相对应 如果把y看作自变量 x看做因变量 就可以得到新的函数x y 或 这就是y f x 的反函数 试求函数 的反函数 解 由解出x得 即函数的反函数是 或写成 直接函数与反函数的图形关于直线对称 定理 单调函数的反函数仍是单调函数 且保持直接函数的增 减 性 事实上 证毕 2 复合函数 注意 2 不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数 3 复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成 1 复合函数的复合次序不能交换 例如 六 函数的四则运算 四则运算的一些结论 1 f x g x 在I上非负单增 则f x g x f x g x 也非负单增 2 f x g x 在R上是奇函数 则f x g x 是奇函数 f x g x 是偶函数 3 f x g x 在D上是有界函数 则f x g x f x g x 也是有界函数 证f x g x 在D上是有界函数 f x M g x N f x g x f x g x M N f x g x f x g x MN 则f x g x f x g x 在D上也是有界函数 七 初等函数 幂函数 指数函数 对数函数 三角函数 反三角函数是五类基本初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数 称为初等函数 练习1 设f x 与g x 都是R上的单调函数 讨论f g x 的单调性 解 f x g x 均单调增 则f g x 单调增 f x g x 均单调减 则f g x 单调增 f x 单调增 g x 单调减 则f g x 单调减 f x 单调减 g x 单调增 则f g x 单调减 练习2 设 问a b c d满足什么条件时 它的反函数与直接函数相同 解 由解得 得反函数为 a dc b 0 a d 基本概念集合 区间 邻域 函数的概念 函数的特性有界性 单调性 奇偶性 周期性 函数的