15.5几何体的体积(1)

青藏铁路的某段路基是用碎石铺垫的 已知路基的形状尺寸如图所示 单位 米 问每修建1千米铁路需要碎石多少立方米 1000 直四棱柱的体积计算问题 实质 柱体的体积 V长方体 abh sh a 长 b 宽 h 高 s 底面积 问题1 长方体的体积 问题2 体积的概念 体积 几何体占有空间部分的大小 面积 图形占有平面部分的大小 体积可看成是由面积叠加而成的 立体可看成是由无数个平面叠加而成的 取一叠裁切相同的纸张堆放在水平桌面上 然后用手推一下以改变其形状 推斜以后体积变化了吗 思考 推斜前后的两个几何体还有什么共同之处 高度没有改变 每页纸张的顺序和面积也没有改变 没有 研究两个几何体 体积相等的条件 1 高度相同 2 用和底面平行的任意平面去截它们时 所得的截面面积都相等 h 祖暅是南北朝时代杰出的数学家祖冲之的儿子 字景烁 受家庭的影响 尤其是父亲的影响 他从小就热爱科学 对数学具有特别浓厚的兴趣 祖冲之除了在计算圆周率方面的成就 还与他的儿子祖暅一起 用巧妙的方法解决了球体体积的计算 他们当时采用的原理 在西方被称为 卡瓦列利 Cavalieri 原理 但这是在祖氏父子以后一千多年才由意大利数学家卡瓦列利发现的 为了纪念祖氏父子发现这一原理的重大贡献 数学上也称这一原理为 祖暅 geng 原理 祖氏父子的成就 祖暅原理 夫叠棊成立积 缘幂势既同 则积不容异 幂 是指水平截面的面积 势 是指高 夹在两个平行平面间的两个几何体 被平行于这两个平面的任意平面所截 如果截得的两个截面的面积总相等 那么这两个几何体的体积相等 用祖暅原理证明两个几何体体积相等的步骤 思考 用祖暅原理证明的步骤 1 看这两个几何体能否夹在两个平行平面之间 2 若能 用平行于这两个平面的任意平面截两个几何体 3 看两个截面的面积是否总相等 若是 则满足祖暅原理的条件 三个条件缺一不可 否则不能得出两个几何体的体积一定相等 思考 思考 祖暅原理的功能 功能二 从一种几何体的体积去得到另一种几何体的体积 功能一 证明几何体的体积相等 面积相等推出体积相等 底面积和高都相等的平行六面体和三棱锥的体积相等吗 三棱柱 底面积为S 高为h柱体的体积等于与它等底等高的长方体的体积 利用祖暅原理 功能及已有的体积知识探索底面积为S 高为h柱体体积公式 1 这三个柱体等高 所以夹在两个平行平面之间 2 三个柱体被平行于这两个平面的任意平面所截 3 三个截面的面积总相等 棱柱的截面性质 平行于底面的截面与底面全等 s s s 定理柱体的体积等于它的底面积s和高h的积 V柱体 sh 青藏铁路的某段路基是用碎石铺垫的 已知路基的形状尺寸如图所示 单位 米 问每修建1千米铁路需要碎石多少立方米 1000 直四棱柱的体积计算问题 实质 例题分析 H 10 3 4 说明 在应用体积公式计算之前 应运用直线与平面的有关知识作出高 然后进行计算 例3 一个造桥用的钢筋混凝土预制件的尺寸如图所示 单位 米 浇制一个这样的预制件需要多少立方米混凝土 钢筋体积略去不计 精确到0 01立方米 课堂小结 知识方面 本节学习利用祖暅原理获得了柱体