3.4多维随机变量的特征数

1 多媒体教学课件 DepartmentofMathematics 概率论与数理统计 主讲人 宣平 2012年 秋学期 2 第四节多维随机变量的特征数 3 一 多维随机变量函数的数学期望 1 若二维离散型随机变量 X Y 的联合分布列为 则Z g X Y 的数学期望为 2 如果Z g X Y 是二维连续型随机变量 联合概率密度为f x y 则Z g X Y 的数学期望为 4 特别地 若取g X Y X 可以得到X的期望为 离散 连续 5 例1在长度为a的线段上任取两个点X和Y 求这两点间的平均长度 解 因为X Y独立 且都服从U 0 a 所以 X Y 的联合密度函数为 积分计算须分区域 6 注意 直接代公式较麻烦 可以先求Y的分布 7 二 数学期望与方差的性质 线性 8 9 该方法称为分解随机变量法 求期望不需要独立性 10 分析 直接写出X的分布非常困难 因为每一只球可能多次被摸到 考虑每一种颜色的球是否被摸到 引入随机变量如下 例5设一袋中装有m只颜色各不相同的球 每次从中任取一只 有放回地摸取n次 以X表示在n次摸球中摸到球的不同颜色的数目 求E X 11 例5设一袋中装有m只颜色各不相同的球 每次从中任取一只 有放回地摸取n次 以X表示在n次摸球中摸到球的不同颜色的数目 求E X 12 例6 投硬币n次 设X为出现正面后紧接反面的次数 求E X 13 三 协方差 协方差也称为相关中心矩 联合分布中各分量间的关系 注意 详见协方差的性质 14 15 协方差的主要性质 注 以上性质可用定义及期望的性质来证明 反之不能成立 16 补充说明 17 18 20 四 相关系数 在表示随机变量的关系时 为了消除量纲的影响 引入了相关系数的概念 21 引理 施瓦茨不等式 证 注 施瓦茨不等式表明相关系数的取值范围是 22 相关系数的性质 当 0时 称X Y不相关 当 1时 称X Y几乎处处有线性关系 补充说明 相关系数 X Y 刻画了随机变量X Y间线性相关的程度 1时 表示X Y几乎处处具有线性关系 0时 表示X Y不具有线性关系 但可以具有其他 如曲线 关系 独立性是指两个随机变量不具有任何关系 对二元正态分布来说 独立性与不相关 0 是等价的 与协方差相比较 相关系数是一个不带单位的系数 消除了量纲的影响 可以更准确地反映随机变量间的关系 同时 也方便不同类型随机变量的比较 注 协方差虽然很小 但相关系数却比较大 所以协方差反映随机变量的相关程度不是很准确的 26 例12 投资风险组合 设有一笔资金 总量为1 如今要投资甲 乙两种证券 若将资金x1投入甲证券 余下资金x2 1 x1投入乙证券 于是就形成了一个投资组合 记X为投资甲证券的收益率 Y为投资乙证券的收益率 它们都是随机变量 若已知X Y的均值和方差分别是 1 2和 12 22 X和Y的相关系数为 试求该投资组合的平均收益和风险 并求使风险最小的x1是多少 解 因为该组合的收益为 所以平均收益为 风险 方差 为 27 按照求函数极值的方法可求出 这时 该组合投资的风险最小 28 五 随机向量的数学期望与协方差阵 对于多维随机变量 我们以矩阵的形式给出其数学期望和方差 29 为随机向量的方差 协方差阵 简称协方差阵 协方差阵的重要性质 n维随机向量的协方差阵 是一个