2、1曲线的参数方程

2 1曲线的参数方程 引例 知识点一参数方程的概念 在生活中 两个陌生的人通过第三方建立联系 那么对于曲线上点的坐标 x y 直接描述它们之间的关系比较困难时 可以怎么办呢 答案 答案可以引入参数 作为x y联系的桥梁 一 曲线的参数方程 1 参数方程的概念 探究 如图 一架救援飞机在离灾区地面500m的高处以100m s的速度作水平直线飞行 为使投放的救援物资准确落于灾区指定的地面 不计空气阻力 飞行员应如何确定投放时机呢 引例 问题1 物资投出机舱后 它的运动由哪两种运动合成 1 在水平方向上做运动 其水平位移S 100t 2 在竖直方向上做自由落体运动运动 其竖直下落高度H 500 1 2gt2 问题2 在上述运动中水平位移S和竖直下落高度H中是否有一个相同的变量 是什么 问题3 你能否建立适当的坐标系用含有时间t的式子表示出物资的位置 匀速直线运动 x y o A M x y 一 方程组有3个变量 其中的x y表示点的坐标 变量t叫做参变量 而且x y分别是t的函数 二 由物理知识可知 物体的位置由时间t唯一决定 从数学角度看 这就是点M的坐标x y由t唯一确定 这样当t在允许值范围内连续变化时 x y的值也随之连续地变化 于是就可以连续地描绘出点的轨迹 三 平抛物体运动轨迹上的点与满足方程组的有序实数对 x y 之间有一一对应关系 参数方程的概念 1 参数方程的定义在平面直角坐标系中 如果曲线上任一点的坐标x y都是某个变数t 的函数 并且对于t的每一个允许值 由方程组 所确定的点M x y 那么方程组 就叫做这条曲线的 t叫做 相对于参数方程而言 直接给出点的坐标间关系的方程叫 梳理 都在这条曲线上 参数方程 参数 普通方程 2 参数的意义是联系变数x y的桥梁 可以是有意义或意义的变数 也可以是的变数 特别提醒 普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同表达形式 参数方程可以与普通方程进行互化 参数 物理 几何 没有明显实际意义 题型探究 1 判断点M1 0 1 M2 5 4 与曲线C的位置关系 解答 类型一参数方程及应用 解把点M1的坐标 0 1 代入方程组 点M1在曲线C上 同理可知 点M2不在曲线C上 2 已知点M3 6 a 在曲线C上 求a的值 解 点M3 6 a 在曲线C上 解得t 2 a 9 a 9 解答 参数方程是曲线方程的另一种表达形式 点与曲线位置关系的判断 与平面直角坐标普通方程下的判断方法是一致的 反思与感悟 1 求常数a的值 解答 解将点M 3 4 的坐标代入曲线C的参数方程 消去参数t 解得a 1 2 判断点P 1 0 Q 3 1 是否在曲线C上 解答 解得t 0 因此点 1 0 在曲线C上 将点 3 1 的坐标代入参数方程 方程组无解 因此点 3 1 不在曲线C上 例1将下列参数方程化为普通方程 并判断曲线的形状 解答 类型一参数方程化为普通方程 得y 2x 3 x 1 这是以 1 1 为端点的一条射线 解答 消去参数方程中参数的技巧 1 加减消参数法 如果参数方程中参数的符号相等或相反 常常利用两式相减或相加的方法消去参数 2 代入消参数法 利用方程思想 解出参数的值 代入另一个方程消去参数的方法 称为代入消参法 这是非常重要的消参方法 3 三角函数式消参数法 利用三角函数基本关系式sin2 cos2 1消去参数 反思与感悟 跟踪训练1将下列参数方程化为普通方程 解答 x 1 2 y cos2 sin2 1 即y x 1 2 1 0 y 1 普通方程为y x2 1 0 y 1 解由x sin cos 得x2 1 2sin cos 1 sin2 x2 y 1 普通方程为y x2 1 0 y 1 解答 例2根据所给条件 把曲线的普通方程化为参数方程 类型二普通方程化为参数方程 解答 2 x2 y x 1 0 x t 1 t为参数 解答 解将x t 1代入x2 y x 1 0 得y x2 x 1 t 1 2 t 1 1 t2 3t 1 1 普通方程化为参数方程时 选取参数后 要特别注意参数的取值范围 它将决定参数方程是否与普通方程等价 2 参数的选取不同 得到的参数方程是不同的 反思与感悟 思考2 把参数方程化为普通方程的关键是什么 答案 答案关键是消参数 2 参数方程化为普通方程的三种常用方法 代入法 利用解方程的技巧求出参数t 然后代入消去参数 三角函数法 利用三角恒等式消去参数 整体消元法 根据参数方程本身的结构特征 从整体上消去 特别提醒 化参数方程为普通方程F x y 0 在消参过程中注意变量x y的取值范围 必须根据参数的取值范围 确定f t 和g t 的值域得x y的取值范围 当堂训练 A 1B 2C 3D 4 答案 2 3 4 5 1 解析 y t2 1 t 1 x 1 1 2或x 1 1 0 2 3 4 5 1 答案 解析 0或2 2 将参数方程 为参数 化成普通方程为A y x 2B y x 2C y x 2 2 x 3 D y x 2 0 y 1 答案 2 3 4 5 1 解析 解析由x 2 sin2 得sin2 x 2 代入y sin2 y x 2 又sin2 x 2 0 1 x 2 3 小结 1 参数方程的概念 3 将参数方程化为普通方程的方法 注意 在参数方程与普通方程的互化中 必须使x y的取值范围保持一致 2 能够解决一些简单的参数方程 4 将普通方程化为参数方程的方法 规律与方法 1 参数方程与普通方程的统一性 1 参数的作用 参数是间接地建立横 纵坐标x y之间的关系的中间变量 起到了桥梁的作用 2 参数方程与普通方程的转化 曲线的普通方程是相对参数方程而言的 普通方程反映了坐标变量x与y之间的直接联系 而参数方程是通过变数反映坐标变量x与y之间的间接联系 2 求曲线参数方程的步骤第一步 建系 设M x y 是轨迹上任意一点 第二步 选参数 比如选参数t 第三步 建立x y与参数间的关系 1 若点P在曲线 cos 2 sin 3上 其中0 0 则点P的轨迹是A 直线x 2y 3B 以 3 0 为端点的射线C 圆 x 1 2 y2 1D 以 1 1 3 0 为端点的线段 答案 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 答案 解析 x2 y 2 y 2 2 3 4 5 1 圆 解析x2 y2 3cos 4sin 2 4cos 3sin 2 25 表示圆 答案 解析 2 3 4 5 1 答案 y2 x 1 1 x 1 再见 规律与方法 1 参数方程和普通方程的互化参数方程化为普通方程 可通过代入消元法和三角恒等式消参法消去参数方程中的参数 通过曲线的普通方程来判断曲线的类型 研究曲线的性质 由普通方程化为参数方程要选定恰当的参数 寻求曲线上任一点M的坐标x y和参数的关系 根据实际问题的要求 可以选择时间 角度 线段长度 直线的斜率 截距等作为参数 2 同一问题参数的选择往往不是惟一的 适当地选择参数 可以简化解题的过程 降低计算量 提高准确率 3 参数方程与普通方程的等价性把参数方程化为普通方程后 很容易改变变量的取值范围 从而使得两种方程所表示的曲线不一致 因此我们要注意参数方程与普通方程的等价性 解答 解设P x y 由题意 得 2 求点P到点D 0 2 距离的最大值 解答 解由 1 得 PD 2 2cos 2 sin 2 2 4cos2 sin2 4sin 4 3sin2 4sin 8 解答 所以所求的方程为x y 1 x 1 y 2 方程表示直线 去掉一点 1 2 所以x y 1 x 1 y 2 方程表示直线 去掉一点 1 2 跟踪训练2已知曲线的普通方程为4x2 y2 16 1 若令y 4sin 为参数 如何求曲线的参数方程 解答 解把y 4sin 代入方程 得到4x2 16sin2 16 于是4x2 16 16sin2 16cos2 x 2cos 2 若令y t t为参数 如何求曲线的参数方程 若令x 2t t为参数 如何求曲线的参数方程 解答 解将y t代入普通方程4x2 y2 16 得4x2 t2 16 因此 椭圆4x2 y2 16的参数方程是 例3已知x y满足圆C x2 y 1 2 1的方程 直线l的参数方程为 解答 类型三参数方程与普通方程互化的应用 1 求3x 4y的最大值和最小值 3x 4y的最大值为9 最小值为 1 2 若P x y 是圆C上的点 求P到直线l的最小距离 并求此时点P的坐标 解答 1 参普互化有利于问题的解决 根据需要 合理选择用参数方程还是普通方程 2 解决与圆有关的最大值 最小值时 通常用圆的参数方程 将问题转化为三角函数的最大值 最小值问题 反思与感悟 跟踪训练3在直角坐标系xOy中 直线l的方程为x y 4 0 以原点O为极点 以x轴正半轴为极轴的极坐标系中 曲线C的极坐标方程为 1 求直线l的极坐标方程 曲线C的直角坐标方程 解答 解直线l的方程为x y 4 0 因为x cos y sin 所以l的极坐标方程为 cos sin 4 0 所以 2 4 cos 4 sin 6 0 因为 2 x2 y2 x cos y sin 所以曲线C的直角坐标方程为 x 2 2 y 2 2 2 2 若点P是曲线C上任意一点 P点的直角坐标为 x y 求x 2y的最大值和最小值 解答 例2如图 ABP是等腰直角三角形 B是直角 腰长为a 顶点B A分别在x轴 y轴上滑动 求点P在第一象限的轨迹的参数方程 类型二求曲线的参数方程 解答 解方法一设点P的坐标为 x y 过P点作x轴的垂线交x轴于点Q 如图所示 则Rt OAB Rt QBP 取OB t t为参数 0 t a 又 PQ OB t 方法二设点P的坐标为 x