线性代数-第五章1

特征值与特征向量,5.1 矩阵的特征值与特征向量,定义 设 A 是 n 阶方阵, 若存在数 和 n 维的非零列,向量 , 使得,A = ,成立，,则称 是矩阵 A 的特征值，非零列向量称为矩阵,A 的属于特征值 的特征向量。,注：,(1) 特征向量 0，特征值问题是对方阵而言的。,称为方阵 A 的特征方程, E- A称为特征矩阵.,（2）| E- A | = 0，,即,(3) | E -A|,称为方阵 A 的特征多项式.,(4) n 阶方阵 A 有 n 个特征值。,矩阵的特征值与特征向量性质,（1）若 是方阵A的属于特征值 的特征向量，则,k (k 0为任意常数)也是A的属于 的特征向量 。,（2）如果1 , 2 是矩阵A的属于特征值 的特征向量，,且1 + 2 0，则1+ 2也是A的属于 的特征向量 。,（3）矩阵A的属于特征值 的特征向量的非零线性,组合也是A的属于 的特征向量 。,（4）若 是方阵A的特征值 ，则k 是kA的特征值。,(5) 若 是方阵 A 的特征值，则m 是 Am 的特征值(m 为正整数)。,(6) 若 是方阵 A 的特征值，则 = a0 + a1 + + amm 是A = a0E+ a1A + + amAm 的特征值。,特征值和特征向量的求法,求 阶方阵 的特征值与特征向量的步骤：,（3） 对每个特征值 ,求线性方程组(iE -A) X =0,即是 的特征值；,的基础解系，,基础解系的线性组合（零向量除外）,(1) 计算A的特征多项式| E -A|；,（2）求矩阵A的特征方程| E- A | = 0的全部根 i ，,例 求矩阵,的特征值和特征向量.,解 A 的特征多项式为,所以A 的特征值为,相应的方程组为,令x3=1,得基础解系,其中k1为任意非零常数.,相应的方程组为,令x3 =1, 得基础解系,其中k2为任意非零常数.,例 求矩阵,的特征值和特征向量.,解 A 的特征多项式为,所以A 的特征值为,相应的方程组为:,是基础解系，,c1 , c2 , , cn 是不全为零的任意常数。,故,结论：假设 是 的特征根， 可逆时，,是 的特征根.,性质1.1 方阵 A与AT 具有相同的特征多项式和特征值。,12 n = | A |.,性质1.2 设 1 , 2 , , n 是 n 阶方阵 A = (aij) 的 n 个,特征值( k 重特征值算作 k 个特征值) , 则,1 + 2 + + n = a11 + a22 + + ann ;,推论 n 阶方阵 A 可逆的充要条件是 A的特征值都不为零.,注：,零矩阵的特征值为零，任何非零向量都是其特征向量。,单位矩阵的特征值为1，任何非零向量都是其特征向量。, s 线性无关.,性质1 设 1 , 2 , , s 是n阶方阵 A 的 s 个不同的,特征值， 1 , 2 , , s是 A 的与之对应的特征向量，,则 1 , 2 , ,矩阵的特征值与特征向量性质,性质2 若n 阶方阵 A 有 n 个不同的特征值，则 A 有,n 个线性无关的特征向量。,性质3 设 1 , 2 , , m 是n阶方阵 A 的 m 个不同的,特征值, i1 , i2 , , isi是 A 的属于特征值i (i=1,2, ,m),的线性无关的特征向量， 则向量组,11, 12 , , 1s1,21 , 22 , , 2s2 , ,m1, m2 , ,msm,线性无关.,证明,反证法.,设 p1 + p2 是 A 的特征向量，,则存在 , 使,A(p1 + p2 ) = (p1 + p2 ) ，,例 设 1 , 2 是矩阵 A 的两个不同的特征值，,对应的特征向量依次为 p1 , p2 , 证明,p1 + p2 不是 A 的特征向量.,于是,(p1 + p2 ) = 1p1 + 2p2 ，,即,(1 - )p1 + (2 - ) p2 = 0 .,因 p1 , p2 线性无关，,故1 -