第19章光的衍射

第19章光的衍射 19 1光的衍射惠更斯 菲涅耳原理 一 光的衍射现象 10 3a 光在传播过程中 绕过障碍物的边缘而偏离直线传播的现象 称为光的衍射现象 小孔衍射 单缝衍射 菲涅耳衍射 菲涅耳衍射是指当光源和观察屏 或两者之一离障碍物 衍射屏 的距离为有限远时 所发生的衍射现象 二 菲涅耳衍射和夫琅禾费衍射 光源 观察屏 衍射屏 2 1菲涅耳衍射 夫琅禾费衍射 夫琅禾费衍射指光源和观察屏离障碍物的距离均为无限远时 所发生的衍射现象 p 衍射屏 观察屏 光源 2 2夫琅禾费衍射 三 惠更斯 菲涅耳原理 波传到的任何一点都是子波的波源 各子波在空间某点的相干叠加 就决定了该点波的强度 至于dS面元在P点的产生的振幅dA表示为 惠更斯 菲涅耳原理 惠更斯 菲涅耳 倾斜因子 沿原波传播方向的子波振幅最大 子波不能向后传播 惠更斯 菲涅耳原理 19 2单缝的夫琅禾费衍射 一 单缝夫琅禾费衍射的光路图 缝宽 S 单色线光源 衍射角 单缝衍射图样 中央明纹 中心 单缝的两条边缘光束A P和B P的光程差 可由图示的几何关系得到 单缝的夫琅禾费衍射 二 单缝夫琅禾费衍射的光程差计算 L asin 0 L 0 1 2 B A 半波带 半波带 1 2 两相邻半波带上对应点发的光在P处干涉相消形成暗纹 2 当时 可将缝分为两个 半波带 3 1菲涅耳半波带法 三 衍射图样的讨论 单缝的夫琅禾费衍射 asin 2 2 L 当时 可将缝分成三个 半波带 P处近似为明纹中心 2 B A 当时 可将缝分成四个 半波带 P处干涉相消形成暗纹 单缝的夫琅禾费衍射 暗纹 明纹 中心 中央明纹 中心 上述暗纹和中央明纹 中心 的位置是准确的 其余明纹中心的实际位置较上稍有偏离 3 2明暗纹条件 由半波带法可得明暗纹条件为 单缝的夫琅禾费衍射 3 3衍射图样 衍射图样中各级条纹的相对光强如图所示 中央极大值对应的明条纹称中央明纹 中央极大值两侧的其他明条纹称次极大 中央极大值两侧的各极小值称暗纹 单缝的夫琅禾费衍射 1 明纹宽度 A 中央明纹 当a 时 1级暗纹对应的衍射角 由 得 单缝的夫琅禾费衍射 角宽度为 线宽度为 1 明纹宽度 B 次极大 前提仍然是 很小 单缝的夫琅禾费衍射 2 缝宽变化对条纹的影响 知 缝宽越小 条纹宽度越宽 此时屏幕呈一片明亮 几何光学是波动光学在 a 0时的极限情形 此时屏幕上只显出单一的明条纹 单缝的几何光学像 当时 当时 由 单缝的夫琅禾费衍射 3 波长对条纹宽度的影响 波长越长 条纹宽度越宽 仍由 知 单缝的夫琅禾费衍射 3 4干涉和衍射的联系与区别 干涉和衍射都是波的相干叠加 干涉是有限多个分立光束的相干叠加 衍射是无限多个子波的相干叠加 条纹产生的条件不同 单缝衍射 干涉 明条纹 暗条纹 例1 一单缝 缝宽0 10mm 缝后透镜的焦距为50cm 用波长为546nm的单色光垂直照射单缝 焦平面上中央明纹的宽度是多少 如果把装置放到水里 中央明纹的宽度怎样变化 解 空气中 水里 光程差变大 变小 例2 在某个单缝衍射实验中 光源发出的光有两种波长 1和 2 若 1的第一级衍射暗条纹与 2的第二级衍射暗条纹相重合 求 1 这两种波长之间有何关系 2 在这两种波长的光所形成的衍射图象中 是否还有其他暗条纹重合 解 1 2 1的暗条纹 2的暗条纹 当 1 2时 两者衍射的暗条纹有重合 例3 如图所示 设有一波长为 的单色光沿着与缝平面的法线成 角的方向入射于一宽度为a的单缝AB上 试求出决定各极小值 即各暗条纹位置 的衍射角 的条件 解 两边缘光线的光程差为 暗条纹条件为 例题3水银灯发出的波长为546nm的绿色平行光 垂直入射于宽0 437mm的单缝 缝后放置一焦距为40cm的透镜 试求在透镜焦面上出现的衍射条纹中央明纹的宽度 解两个第一级暗纹中心间的距离即为中央明纹宽度 对第一级暗条纹 k 1 求出其衍射角 中央明纹的角宽度 式中很小 单缝的夫琅禾费衍射 透镜焦面上出现中央明纹的宽度 中央明纹的宽度与缝宽a成反比 单缝越窄 中央明纹越宽 单缝的夫琅禾费衍射 例4设一监视雷达位于路边d 15m处 雷达波的波长为30mm 射束与公路成15 角 天线宽度a 0 20m 试求 该雷达监视范围内公路长L 单缝的夫琅禾费衍射 解 将雷达波束看成是单缝衍射的0级明纹 由 有 如图 单缝的夫琅禾费衍射 四 夫琅和菲衍射的强度 了解 波带法可以得到单缝衍射明纹 暗纹的位置 不能精确给出各级明纹的强度 以一级明纹为例 分3个波带 实际上第3个波带中各子波仍不同相 相当于一个单缝 振幅矢量法 把单缝等分为N个波带 每份宽 当N很大 每个波带中各子波的相位差极小 几乎同相 这时 可以把每个波带中的所有光线看成是一束光 单缝衍射等价于 束光的干涉 考虑相邻两 束 光的相位差 光程差 相位差 首尾两束光的相位差 由于各波带等宽 发出的子波方向一致 距离相等 各子波的振幅近似相等 A 束光线在会聚处的结果相当于 个同频率 同振动方向 具有恒定相位差 且相同振幅的振动的叠加 用矢量法处理 当 很大时 个矢量构成一段圆弧 弧长 半径 对应的角度 对于其他点p 对于中心点 单缝衍射的光强公式 由衍射光强公式导出衍射明暗条纹公式 1 主极大 中央明条纹中心 2 极小 暗纹中心 3 次极大 其他明条纹中心 解得 相应 波带法 基本吻合 4 光强 从中央往外各次极大的光强依次为0 0472I0 0 0165I0 0 0083I0 I次极大 I主极大 将 依次代入光强公式 得到 19 3多缝夫琅和费衍射 缝间距d 缝宽a 不透光部分宽b 相邻两狭缝相同位置间的距离为d d a b 多缝的夫琅禾费衍射 多缝的夫琅禾费衍射的实验装置 只是在单缝位置上换上有一系列等宽 等间隔的狭缝 即换上N条狭缝组成的器件 相邻两缝上的对应点之间的距离d a b 1 当N条狭缝轮流开放其中的一条 在观察屏幕上将得到相同的单缝衍射图样 而它们的位置是不改变的 因此 将N条狭缝轮流开放屏幕上将得到完全相同的单缝衍射图样 2 如果N条狭缝出射的光彼此是不相干的 当N条狭缝同时开放 屏幕上的光强分布与单缝衍射的分布形式完全相同 只是光的强度增加了N倍 3 当N条狭缝出射的光是相干光 并且它们之间有一定相位差 这样 在屏幕上的光强分布是 单缝衍射 多缝干涉 的总效果 就是N个缝的干涉条纹要受到单缝衍射的调制 一 多缝夫琅和费衍射光强的分布 每个单缝衍射的条纹完全相同 各缝的衍射 多缝夫琅和费衍射是单缝衍射和多缝干涉的总效果 单缝衍射条纹与单缝位置无关只与透镜位置有关 多光束干涉 相位差 用矢量法处理 相邻两狭缝上对应点发出光的光程差 多缝出射的衍射光是相干光 且相互间有一定的相位差 多光束干涉 N条缝的总振幅 了解 各单缝 衍射角时的振幅 多缝夫琅和费衍射的振幅分布和光强分布 了解 单缝衍射时的光强 光强是单缝衍射时的N2倍 二 缝间干涉因子的特点 根据干涉因子 求解主极强 明纹中心 主极强 明纹 位置 掌握 暗纹中心 缝间干涉因子的特点 根据干涉因子求出缝间干涉主极强的位置是 dsin k k 0 1 2 凡是满足上式的方位角 的位置 就有一条明纹 它的强度是单缝衍射在该方位上强度的倍 可以证明 两个主极强间有N 1个光强极小 零点 N 2个次极大 如图 注 明纹宽度随着N的增加而减小 N2 三 单缝衍射因子的作用 1 各干涉主极大受到单缝衍射的调制 2 缺级 设N 4 d 4a 如单缝衍射因子满足asin k k 1 2 3 sin a 2 a 是单缝衍射的零点 暗纹 而这些点上 恰好是dsin 4 dsin 8 的干涉极大的位置 这样在缝间干涉 4级 8级 主极强消失 形成缺级 暗纹 缺级规律 缺级级数 衍射暗纹位置 干涉明纹位置 单缝衍射和多缝衍射干涉的对比 d 10a 例4 试指出当一多缝为下述三种情况时 哪些级数的明条纹消失 1 缝间距为狭缝宽度的两倍 即d 2a 2 缝间距为狭缝宽度的三倍 即d 3a 3 缝间距为狭缝宽度的四倍 即d 4a 解 由明纹公式可知 暗条纹条件为 如果两者重合 则出现缺级 1 时干涉明条纹与衍射暗条纹重合 即缺级 2 时干涉明条纹与衍射暗条纹重合 即缺级 3 时干涉明条纹与衍射暗条纹重合 即缺级 例5 波长为600nm的单色光垂直照射到一多缝 第四级缺级 第二级发生在sin 0 2处 问 1 缝间距d是多少 2 狭缝a有多宽 3 屏幕上有多少明条纹 解 1 明纹 第二级发生在处 2 第四级缺级 n 4 3 明纹 不可能实现 明纹可能级数 缺级 共15条 1 光栅衍射 光栅 大量等宽等间距的平行狭缝 或反射面 构成的光学元件 d a是透光部分的宽度 d a b 光栅常量 b是不透光部分的宽度 光栅常数 种类 19 4衍射光栅 1 1基本概念 1 2光栅的衍射图样 设光栅的每个缝宽均为a 在夫琅禾费衍射下 每个缝的衍射图样位置是相重叠的 不考虑衍射时 多缝干涉的光强分布图 光栅衍射 I 衍射光相干叠加 衍射的影响 多缝干涉条纹各级主极大的强度不再相等 而 是受到了衍射的调制 主极大的位置没有变化 光栅衍射 光栅衍射 1 3多光束干涉 k 0 1 2 3 光栅方程 设每个缝发的光在对应衍射角 方向的P点的光振动的振幅为Ep P点为主极大时 明纹条件 光栅衍射 1 主极大明纹的位置与缝数N无关 它们对称地分布在中央明纹的两侧 中央明纹光强最大 2 在相邻的两个主级大之间 有N 1个极小 暗纹 和N 2个光强很小的次极大 当N很大时 实际上在相邻的主极大之间形成一片暗区 即能获得又细又亮暗区很宽的光栅衍射条纹 光栅衍射的谱线特点 光栅衍射 此图为N 4 4的单缝衍射和光栅衍射的光强分布曲线 这里主极大缺 4 8 级 d a为整数比时 光栅方程决定的干涉明纹 1 4缺级 光栅衍射 位置与单缝衍射暗纹位置重合 这个位置上将不能出现明纹即缺级 衍射暗纹位置 干涉明纹缺级级次 干涉明纹位置 光栅衍射 2 衍射光谱 复色光照射光栅时 谱线按波长向外侧依次分开排列 形成光栅光谱 光栅分光镜 例题1利用一个每厘米刻有4000条缝的光栅 在白光垂直照射下 可以产生多少完整的光谱 问哪一级光谱中的哪个波长的光开始与它谱线重叠 解 设 对第k级光谱 角位置从到 要产生完整的光谱 即要求的第 k 1 级纹在的第k级条纹之后 亦即 根据光栅方程 光栅光谱 由 或 得 所以只有才满足上式 所以只能产生一个完整的可见光谱 而第二级和第三级光谱即有重叠出现 光栅光谱 设第二级光谱中波长为的光与第三级中紫光开始重叠 这样 光栅光谱 1 平行光线垂直入射时 最多能看见第几级条纹 总共有多少条条纹 2 平行光线以入射角30 入射时 最多能看见第几级条纹 总共有多少条条纹 3 由于钠光谱线实际上是及两条谱线的平均波长 求在正入射时最高级条纹将此双线分开的角距离及在屏上分开的线距离 设光栅后透镜的焦距为2m 例题2用每毫米刻有500条栅纹的光栅 观察钠光谱线 589 3nm 问 光栅光谱 解 1 根据光栅方程得 按题意知 光栅常数为 代入数值得 k只能取整数 故取k 3 即垂直入射时能看到第三级条纹 光栅光谱 2 如平行光以角入射时 光程差的计算公式应做适当的调整 如图所示 在衍射角的方向上 光程差为 斜入射时光栅光程差的计算 光栅光谱 由此可得斜入射时的光栅方程为 同样 k的可能最大值相应于 在O点上方观察到的最大级次为k1 取得 光栅光谱 而在O点下方观察到的最大级次为k2 取得 所以斜入射时 总共有条明纹 3 对光栅公式两边取微分 光栅光谱 所以 光线正入射时 最大级次为第3级 相应的角位置为 波长为第k级的两条纹分开的角距离为 钠双线分开的线距离 光栅光谱 例 一光栅长2 54cm 刻有8000条狭缝 用白光垂直照射 试描述衍射花样 中央明纹 白色 其他各级明纹将发生色散 形成彩色光谱 由光栅方程 各级衍射角为 19 5圆孔的夫琅和费衍射最小分辨角 1 圆孔的夫琅和费衍射 衍射屏 观察屏 1 圆孔孔径为D 中央亮斑 爱里斑 透镜L 计算结果表明 圆孔的夫琅禾费衍射 是第1级暗纹的衍射角 也是爱里斑的角半径 2 最小分辩角 几何光学 波动光学 距离很近的两个物点的象斑有可能重叠 从而分辨不清 在光学成象问题中 有两种讨论方法 圆孔的夫琅禾费衍射 角距离 较大时 可以分辨 角距离 很小时 不能分辨 瑞利判据 当一个物点的Airy斑中心恰好在另一个物点的Airy斑边缘时 则恰好能分辨 爱里斑的半径 最小分辨角 两点光源在透镜中心处所张的角度 小孔 直径D 对两个靠近的遥远的点光源的分辨 点光源距离太小D小 符合瑞利判据 点光源距离较大 分辨本领R 光学仪器的最小分辨角的倒数 讨论 提高光学仪器分辨率的方法 增大孔径 降低波长 望远镜最小分辨角 望远镜分辨本领 对被观察物 不可选择 为提高望远镜分辨本领 光学仪器的分辩本领 实例一 望远镜 不可选择 望远镜 世界上最大的光学望远镜 D 8m 建在夏威夷山顶 世界上最大的射电 建在波多黎各岛的 到整个地球表面仅 1999年建成 Arecibo 能探测射 10 12W的功率 也可探测引力波 显微镜 D不会很大 在正常照明下 人眼瞳孔直径约为3mm 电子显微镜分辨本领很高 可观察物质结构 可分辨约9m远处的相距2mm的两个点 夜间观看汽车灯 远看是一个亮点 移近才看出是两个灯 逐渐 例 一直径为3 0cm的会聚透镜 焦距为20cm 试问 1 为了满足瑞理判据 两个遥远的物点必须有多大的角距离 2 在透镜的焦平面上两个衍射图样的中心相隔多远 假定入射光的波长为550nm 解 1 角距离就是最小分辨角 2 焦平面上的线距离 例 遥远天空的两颗星恰好被阿列亨 Orion 天文台的一架折射望远镜所分辨 设物镜的直径为76 2cm 波长为 550nm 求 1 它的最小分辨角 2 如果这两颗恰可分辨的星球离地球为10光年 则这两星之间的距离是多