高等代数第六节

主要内容 问题的提出 第六节行列式按一行 列 展开 余子式和代数余子式 行列式按行 列 展开定理 3级行列式的几何意义 行列式计算举例 一 问题的提出 在第四节中 我们把n级行列式的定义中的 n 项分成n组 每组提取公因式后得到如下结果 i 1 2 n 那么这些Aij i j 1 2 n 究竟是什么呢 这就 是本节我们将要讨论的问题 为了找到解决问题的 线索 还是从二级和三级行列式的定义入手 二级 和三级行列式的定义分别如下 把三级行列式定义中的6项 按含有第一行的 3个元素的规则进行分组 每组提取公因式 得 于是就有 也就是说 A11 A12 A13都是带符号的二级行列 式 那么这些二级行列式的构成有规律吗 符号又是怎么确定的呢 下面作进一步的研究 A11 A12 A13的元素在三级行列式中的位置 分别如下 它们的 特点 划掉了a11所在的行和列 特点 划掉了a12所在的行和列 特点 划掉了a13所在的行和列 A11 A12 A13的符号由它们所对应的元素a11 a12 a13在三级行列式中的位置确定 Aij的符号为 1 i j 三级行列式中的Aij的构成规则可推广到n级 n级行列式中Aij是一些带有正负号的 n 1级行列式 为了从理论上证明这一结论 我们 先引进余子式和代数余子式的概念 行列式 即 二 余子式和代数余子式 定义7在n级行列式中 把元素aij所在的 第i行和第j列划去后 剩下的元素按它们在原 行列式中的相对位置组成的n 1级行列式称为元 素aij的余子式 记作Mij 按这个定义 对于三级行列式 有 下面就来证明 Aij 1 i jMij 我们先由行列式的定义证明n级与n 1级行 列式的下面这个关系 证明 左边 事实上 左边按行列式定义展开得 在上述展开式中 只有jn n的项才可能不为零 而ann 1 所以上式可变形为 显然j1j2 jn 1是1 2 n 1的排列 且 所以 左边 右边 这就证明了 1 式 为了证明Aij 1 i jMij 在 i 1 2 n 中令 得 的结论 把Aij的行作如下 调换 把Aij的第i行依次与第i 1行 第i 2 行 第n行对调 这样aij 1就调到原来anj 位置上 调换的次数为n i 于是就有 为了利用 再把Aij的第j列依次与第j 1列 第j 2列 第n列对调 这样就使aij 1调到第n行第 n列的位置 调换的次数为n j 所以 证毕 定义8称Aij 1 i jMij为元素aij的代数 余子式 例1利用下列模型求任意一个四级行列式的 余子式和代数余子式 三 行列式按行 列 展开定理 定理4设 Aij表示元素aij的代数余子式 则下列公式成立 用连加号简写为 证明 由于行列式中行与列的地位是对称的 当k i时已证 只需证k i的情形 设行列 式的第i行的元素等于第k行的元素 即 aij akj j 1 2 n k i 把行列式第i行展开 得 故只需证 由于aij akj j 1 2 n k i 把上式的aij换 成akj 得 于是就有 上式右端的行列式中含有两个相同的行 故行列 式的值等于零 证毕 四 3级行列式的几何意义 设3级行列式 的行是向量 1 2 3在直角坐标系下的坐标 即 那么 于是 由此可得 三个向量 1 2 3共面的充要条件是 的坐标构成的3级行列式d 0 若d 0 则 d 表 示以这三条向量为邻边的平行六面体的体积 例如 它们 设 因为 所以它们共面 图2 1 如图2 1所示 设 其体积V为 以 1 2 3为邻边的 平行六面体如图2 2 所示 图2 2 五 行列式计算举例 例2任意输入一个行列式 利用下列展开式 模型计算之 例3行列式 称为n级的范德蒙德 Vandermonde 行列式 证明 证明 对n作归纳法 当n 2时 结论成立 设对于n 1级的范德蒙德行列式结论 成立 现在来看n级的情形 在n级范德蒙德行 列式中 第n行减去第n 1行的a1倍 第n 1行 减去第n 2行的a1倍 也就是由下而上依次地从 每一行减去它上一行的a1倍 有 按第1列展开 并把列的公因子 ai a1 提出 得 上式右端行列式是n 1级范德蒙德行列式 按归 纳法假设 它等于所有 ai aj 因子的乘积 其中 2 j i n 故 证毕 例4证明 证明 对k用数学归纳法 当k 1时 上式左边为 按第一行展开 就得到所要的结论 假设当k m 1时结论成立 即左边行列式的 左上角是m 1级时已经成立 时 结论也成立 当k m时 按第一行展开 有 现在再来证明k m 这里第二个等号是用了归纳法假定 最后一步是 根据按一行展开的公式 根据归纳法原理 结论普遍成立 证毕 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请