专题：抽象函数的单调性与奇偶性的证明

抽象函数单调性与奇偶性抽象函数单调性与奇偶性 特殊模型抽象函数 正比例函数 f x kx k 0 f x y f x f y 幂函数 f x xn f xy f x f y 或 y f x f y x f 指数函数 f x ax a 0 且 a 1 f x y f x f y y f x f yx f 或 对数函数 f x logax a 0 且 a 1 f xy f x f y y f x f y x f 或 正 余弦函数 f x sinx f x cosx f x T f x 正切函数 f x tanx y f x f1 y f x f yx f 余切函数 f x cotx y f x f y f x f1 yx f 1 已知 对一切实数 都成立 且 求证为偶函数 2 f xyf xyf x f y xy 0 0f f x 证明 令 0 则已知等式变为 x 2 0 f yfyff y 在 中令 0 则 2 2 0 1 为偶y 0 f 0 f 0 f 0 f 2 f yfyf y fyf y f x 函数 2 奇函数在定义域 1 1 内递减 求满足的实数的取值范围 f x 2 1 1 0fmfm m 解 由得 为函数 2 1 1 0fmfm 2 1 1 fmfm f x 2 1 1 fmf m 又 在 1 1 内递减 f x 2 2 1 11 11 101 11 m mm mm 3 如果 a 0 对任意的 有 比较的大小 f x 2 axbxc t 2 2 ftft 1 2 4 fff 解 对任意 有 2 为抛物线 的对称轴t 2 2 ftft xy 2 axbxc 又 其开口向上 2 最小 1 3 在 2 上 为增函数fff f x 3 4 2 1 4 fffff 4 已知函数f x 对任意实数x y 均有f x y f x f y 且当x 0 时 f x 0 f 1 2 求f x 在区间 2 1 上的值域 分析 由题设可知 函数f x 是的抽象函数 因此求函数f x 的值域 关键在于研究它的单调 性 解 设 当 即 f x 为增函数 在条件中 令y x 则 再令x y 0 则f 0 2 f 0 f 0 0 故 f x f x f x 为奇函数 f 1 f 1 2 又f 2 2 f 1 4 f x 的值域为 4 2 5 已知函数f x 对任意 满足条件f x f y 2 f x y 且当x 0 时 f x 2 f 3 5 求不等式的解 分析 由题设条件可猜测 f x 是y x 2 的抽象函数 且f x 为单调增函数 如果这一猜想正确 也就可以 脱去不等式中的函数符号 从而可求得不等式的解 解 设 当 则 即 f x 为单调增函数 又 f 3 5 f 1 3 即 解得不等式的解为 1 a 0 时 0 f x 0 时 f x 0 且 f 1 2 求 f x 在 3 3 上的最大 值和最小值 解析 由单调性的定义步骤设 x1 x2 则 f x2 f x2 x1 x1 f x2 x1 f x1 0 f x2 x1 0 时 f x 1 且对于任意实数 x y 有 f x y f x f y 求证 f x 在 R 上为 增函数 证明 设 R 上 x11 f x2 f x2 x1 x1 f x2 x1 f x1 注意此处不能直接得大于 f x1 因为 f x1 的正负还没确定 取 x y 0 得 f 0 0 或 f 0 1 若 f 0 0 令 x 0 y 0 则 f x 0 与 x 0 时 f x 1 矛盾 所以 f 0 1 x 0 时 f x 1 0 x0 f x 1 由 故 f x 0 从而 f x2 f x1 0 1 1 0 xf xfxfxff得 即 f x 在 R 上是增函数 17 已知偶函数f x 的定义域是x 0 的一切实数 对定义域内的任意x1 x2都有 且当 1212 f xxf xf x 时 1x 0 2 1f xf 1 f x 在 0 上是增函数 2 解不等式 2 21 2fx 解 1 设 则 21 0 xx 2 2111 1 x f xf xf xf x x 22 11 11 xx f xff xf xx 即 21 0 xx 2 1 1 x x 2 1 x f x 0 21 0f xf x 21 f xf x 在上是增函数 头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 wxckt wxckt 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头 f x 0 2 是偶函数 不等式可化为 2 1f 4 2 2 2fff f x 2 21 2fx 2 21 4 fxf 又 函数在上是增函数 0 解得 0 2 21 4x 10102 222 xxx 且 18 已知函数f x 的定义域为 R 且对m n R 恒有f m n f m f n 1 且f 0 当x 时 f x 0 求证 2 1 2 1 f x 是单调递增函数 证明 设x1 x2 则x2 x1 由题意f x2 x1 0 2 1 2 1 2 1 f x2 f x1 f x2 x1 x1 f x1 f x2 x1 f x1 1 f x1 f x2 x1 1 f x2 x1 f 2 1 1 f x2 x1 0 f x 是单调递增函数 2 1 19 定义在 R 上的函数 f x 满足 对任意实数 m f xm mf x f 2 1 1 求证 f xy f x f y 对任意正数 x y 都成立 2 证明 f x 是 R 上的单调增函数 3 若 f x f x 3 2 求 x 的取值范围 解 1 令 x 2m y 2n 其中 m n 为实数 则 f xy f 2m n m n f 2 m n 又 f x f y f 2m f 2n mf 2 nf 2 m n 所以 f xy f x f y 2x 2xnm xx0 2 n 2 m 121 且使可令设证明 0nm 2 f nm 2 f x x f x f x f 1 nm 2 1 21 得由 故 f x1 f x2 即 f x 是 R 上的增函数 3 由 f x f x 3 2 及 f x 的性质 得 f x x 3 2f 2 f 2 解得 3 x 4 20 已知函数对任意不等于零的实数都有 试判断函数 0 xRxxf 21 xx 2121 xfxfxxf f x 的奇偶性 解 解 取得 所以11 21 xx 1 1 1 fff 0 1 f 又取得 所以1 21 xx 1 1 1 fff0 1 f 再取则 即1 21 xxx 1 xffxf xfxf 因为为非零函数 所以为偶函数 xf xf 21 已知函数 f x 的定义域关于原点对称且满足 2 存在正常数 a 使 f a 1 求证 1 1 xfyf yfxf yxf f x 是奇函数 证明 设 t x y 则 所以 f x 为奇函数 1 1 tf xfyf xfyf yfxf xfyf xyftf 22 定义在R上的单调函数f x 满足f 3 log3 且对任意x y R 都有f x y f x f y 2 1 求证f x 为奇函数 2 若f k 3 f 3 9 2 0 对任意x R恒成立 求实数k的取值范围 xxx 1 证明 f x y f x f y x y R 令 y x 代入 式 得 f x x f x f x f 0 令 x y 0 代入 式 得 f 0 0 f 0 f 0 即 f 0 0 即 f x f x 对任意 x R 成立 f x 是奇函数 2 解 f 3 log 3 0 即 f 3 f 0 又 f x 在 R 上是单调函数 所以 f x 在 R 上是增函数 又由 1 f x 是 2 奇函数 f k 3 f 3 9 2 f 3 9 2 k 3 3 9 2 xxxxxxxx 3 1 k 3 2 0 对任意 x R 成立 2xx 分离系数由 k 3 3 9 2 得 xxx 1221 3 2 3 1 3 2 3 x x x x uk而 要使对不等式恒成立 只需 k xR 2 31 3 x x k 12 2 上述解法是将 k 分离出来 然后用平均值定理求解 23 已知 f x 是定义在 R 上的不恒为零的函数 且对于任意的函数 a b 都满足 f ab af b bf a 1 求 f 0 f 1 的值 2 判断 f x 的奇偶性 并证明你的结论 解 1 令 a b 0 得 f 0 0 令 a b 1 得 f 1 0 2 令 a b 1 得 f 1 1 f 1 f 1 f 1 0 故 f x f 1 x f x xf 1 f x 故 f x 为奇函 数 24 定义域为R的函数f x 满足 对于任意的实数x y都有f x y f x f y 成立 且当x 0时f x 0恒成立 1 判断函数f x 的奇偶性 并证明你的结论 2 证明f x 为减函数 解 1 略 2 设任意x1 x2 R且x1 x2 则x2 x1 0 f x2 x1 0 而f x2 x1 f x2 f x1 f x2 f x1 0 f x1 f x2 即f x 在 上是减函数 25 已知f x 是定义在 1 1 上的奇函数 且f 1 1 若a b 1 1 a b 0 时 有 0 ba bfaf 1 判断函数f x 在 1 1 上是增函数 还是减函数 并证明你的结论 2 解不等式 f x f 2 1