初一奥赛培训07：含绝对值的方程及不等式

一 解答题 共 15 小题 满分 150 分 1 解方程 x 4 x 3 7 2 求方程 x 2x 1 3 的不同的解的个数 3 要使关于 x 的方程 x 3 2 a 有三个整数解 则 a 的值是多少 4 已知方程 x ax 1 有一负根 且无正根 求 a 的取值范围 5 设 0 0 求 x y 6 解方程组 7 解方程组 8 解不等式 x 5 2x 3 1 9 解不等式 1 3x 5 2 10 解不等式 x 3 x 3 3 11 当 a 取哪些值时 方程 x 2 x 1 a 有解 12 解下列方程 1 x 3 x 1 x 1 2 1 x 1 3x 3 3x 2 x 1 x 2 4 3y 2 5x 3 13 解方程组 1 2 初一奥赛培训初一奥赛培训 0707 含绝对值的方程及不等式 含绝对值的方程及不等式 2 14 解下列不等式 1 1 3 2 5 5x 3 10 3 x 1 4 x 6 4 x 1 x 2 1 15 若 a 0 b 0 则方程 x a x b a b 的解是什么 3 答案与评分标准初一奥赛培训初一奥赛培训 0707 含绝对值的方程及不等式 含绝对值的方程及不等式 一 解答题 共 15 小题 满分 150 分 1 解方程 x 4 x 3 7 考点 含绝对值符号的一元一次方程 专题 计算题 分析 去掉绝对值 首先要明确绝对值的几何意义 在数轴上点 x 到点 4 的距离与点 x 到点 3 的距离之和为 7 的所 有的数值 在数轴上 x 的取值范围 x 3 3 x 4 x 4 时 x 的解就能求得 解答 解 1 当 x 3 时 原方程可化为 x 4 x 3 7 解得 x 3 与题意不符 故舍去 2 当 3 x 4 时 原方程可化为 x 4 x 3 7 即 7 7 所以 3 x 4 3 当 x 4 时 原方程可化为 x 4 x 3 7 x 4 与题意不符 故舍去 故原方程的解是 3 x 4 点评 本题主要考查的是含有绝对值符号的一元一次方程的计算题 主要是绝对值得几何意义的应用 难易适 中 2 求方程 x 2x 1 3 的不同的解的个数 考点 含绝对值符号的一元一次方程 专题 计算题 分析 此方程有两层绝对值 先由 2x 1 0 解得 x 然后分别对 x x x 去掉绝对值符号 使方程转 化为只含一个绝对值符号的方程 然后再去掉绝对值符号求解即可 解答 解 x 2x 1 3 当 x 时 原方程化为 x 3 无解 当 x 时 原方程化为 1 x 3 解得 x 2 或 x 4 舍去 当 x 时 原方程可化为 x 2x 1 3 4 即 3x 1 3 3x 1 3 解得 x 舍去 或 x 综上可得方程的解只有 x 2 或 x 两个解 点评 本题考查含绝对值的一元一次方程 难度较大 关键是先去掉一个绝对值 然后再讨论解答 3 要使关于 x 的方程 x 3 2 a 有三个整数解 则 a 的值是多少 考点 一元二次方程的整数根与有理根 专题 探究型 分析 先根据对值的性质求出 a 的取值范围 去掉绝对值符号 再根据方程有 3 个不同的整数解 则 x1 x2 x3 x4中必有 2 个相同 列出关于 a 的方程 求出 a 的值即可 解答 解 x 3 2 a a 0 x 3 2 a 或 x 3 2 a 当 x 3 2 a 时 x 3 2 a x 3 2 a 或 x 3 2 a x1 5 a x2 1 a 当 x 3 2 a 时 x 3 2 a a 2 x 3 2 a 或 x 3 2 a x3 5 a x4 1 a 若方程有 3 个不同的整数解 则 x1 x2 x3 x4中必有 2 个相同 当 x1 x2 2 时 a 2 与 a 0 矛盾 当 x1 x3时 a 0 此时原方程有 2 个解 当 x1 x4时 a 无解 当 x2 x3时 a 无解 当 x2 x4时 a 0 此方程有 2 个解 当 x3 x4时 a 2 综上有 当 a 2 时 原方程有 3 个不同的解 故答案为 2 点评 本题考查是方程的整数根及绝对值的性质 能根据题意判断出 x1 x2 x3 x4中必有 2 个相同是解答此题的 关键 4 已知方程 x ax 1 有一负根 且无正根 求 a 的取值范围 考点 含绝对值符号的一元一次方程 专题 计算题 分析 根据已知方程 x ax 1 有一负根 设 x 为其一负根 然后解方程 再根据条件列出关于 a 的不等式即可求 出 a 的取值范围 解答 解 设 x 为方程的负根 则 x ax 1 5 即 x 方程无正根 x 0 所以应有 a 1 即 a 1 时 原方程有负根 设方程有正根 x 则 x ax 1 即 x 0 解得 a 1 即 a 1 时 原方程有正根 综上所述 若使原方程有一负根且无正根 必须 a 1 点评 本题考查了含绝对值符号的一元一次方程 难度适中 关键是掌握用分类讨论的思想进行解题 5 设 0 0 求 x y 考点 二元一次方程组的应用 绝对值 专题 计算题 分析 根据绝对值的意义知两个非负实数和为零时 这两个实数必须都为零 解得 x 和 y 的关系 根据 x y 的关 系求 x y 的值 解答 解 分析从绝对值的意义知 0 0 两个非负实数和为零时 这两个实数必须都为零 可得 解得 x y 把 代入 得 0 解之得 y 3 所以 x 4 故有 x y 4 3 1 答 x y 的值为 1 点评 本题考查了二元一次方程组的求解 考查了非负数的性质 本题中求 x 和 y 的关系是解题的关键 6 解方程组 考点 解二元一次方程组 绝对值 专题 分类讨论 分析 先根据绝对值的性质把 中的绝对值符号去掉 把由 得到的方程与 联立得到关于 x y 的两个方程组 再分别求出两组方程组的解即可 6 解答 解 由 得 x y 1 或 x y 1 即 x y 1 或 x y 1 与 结合有下面两个方程组 1 把 x y 1 代入 x 2 y 3 得 y 1 2 y 3 去绝对值符号 可得 y 或 y 再将其代入 x y 1 可求出方程组 1 的解为 或 2 把 x y 1 代入 x 2 y 3 得 y 1 2 y 3 去绝对值符号 可得 y 或 y 再将其代入 x y 1 可求出方程组 1 的解为 或 故原方程组的解为 或 点评 本题考查的是解二元一次方程组及绝对值的性质 能根据题意得到关于 x y 的两组方程组是解答此题的关 键 7 解方程组 考点 解二元一次方程组 绝对值 非负数的性质 绝对值 不等式的性质 专题 计算题 分类讨论 方程思想 分析 先将方程 变形 得出 x y x y 2 根据绝对值的非负性及不等式的性质可知 x y 0 从而去掉方程 中绝对值的符号 求出 y 的值 再把 y 的值代入方程 得到一个只含有未知数 x 的绝对值方程 根据绝对值的 定义 分类讨论即可求出 x 的值 解答 解 由 得 x y x y 2 x y 0 x y 0 x y x y 把 代入 有 x y x 2 y 2 将 y 2 代入 有 x 2 x x 2 x 或 x 2 x 7 方程 无解 解方程 得 x 1 故原方程组的解为 点评 本题考查了绝对值方程的解法 此知识点在初中教材中不涉及 属于竞赛题型 有一定难度 一般地 解 绝对值方程只要把绝对值符号去掉 而去掉绝对值符号之前要弄清绝对值中的式子的正负性 如果式子无法判定 就用讨论方法进行分类讨论将所求的解与区间进行比较 符合区间的值就是所求的解 本题若按通常的解法 区 分 x y 0 和 x y 0 两种情形 把方程 分成两个不同的方程 x y x 2 和 x y x 2 对方程 也做类似处理的 话 将很麻烦 上面的解法充分利用了绝对值的定义和性质 从方程 中发现必有 x y 0 因而可以立刻消去方 程 中的绝对值符号 从而简化了解题过程 8 解不等式 x 5 2x 3 1 考点 含绝对值的一元一次不等式 专题 计算题 分析 本题关键也是去掉绝对值符号 分三个区间讨论 x x 5 x 5 再根据不等式的性质求出 x 的取 值范围即可 解答 解 1 当 x 时 原不等式可化为 x 5 2x 3 1 解得 x 7 结合 x 7 是原不等式的解 2 当 x 5 时 原不等式可化为 x 5 2x 3 1 解得 x 结合 x 5 故 x 5 是原不等式的解 3 当 x 5 时 原不等式化为 x 5 2x 3 1 解之得 x 9 结合 x 5 故 x 5 是原不等式的解 综合 1 2 3 可知 x 7 或 x 是原不等式的解 点评 本题考查的是带绝对值符号的一元一次不等式的解法 解答此题的关键是熟知绝对值的性质及不等式的基 本性质 9 解不等式 1 3x 5 2 考点 含绝对值的一元一次不等式 专题 分类讨论 分析 先把原不等式转化为解不等式组的形式 再根据绝对值的性质及不等式的基本性质分别求出两不等式的解 再求出其公共解集即可 解答 解 分析此不等式实际上是解不等式组 解 3x 5 1 1 当 x 时 转化为 3x 5 1 所以 x 2 是 的解 2 当 x 时 转化为 3x 5 1 所以 3x 4 即 x 是 的解 8 所以 的解为 x 2 或 x 对 3x 5 2 3 当 x 时 转化为 3x 5 2 所以 x 所以 x 是 的解 4 当 x 时 转化为 3x 5 2 所以 x 1 所以 1 x 是 的解 所以 的解为 1 x 所以 与 的公共解应为 1 x 或 2 x 即原不等式的解为 1 x 或 2 x 点评 本题考查的是解一元一次不等式组 先把不等式转化为解一元一次不等式组的形式 再根据绝对值的性质 及不等式的基本性质分别求出各不等式的解集 再求出其公共解集是解答此题的关键 10 解不等式 x 3 x 3 3 考点 含绝对值的一元一次不等式 分析 将数轴分为 x 3 3 x 3 x 3 三段来讨论 从里往外去绝对值符号 于是原不等式化为三个不等式组 分别计算求解即可 解答 解 从里往外去绝对值符号 将数轴分为 x 3 3 x 3 x 3 三段来讨论 于是原不等式化为如下三个不 等式组 由 得 即 x 3 由 得 即 3 x 或 x 3 由 得 即 x 3 由以上可知 原不等式的解为 x 或 x 点评 本题考查了解不等式及去绝对值 利用绝对值非负数的性质转化为解不等式 这是考试中经常出现的题目 类型 9 11 当 a 取哪些值时 方程 x 2 x 1 a 有解 考点 含绝对值符号的一元一次方程 专题 计算题 分析 求 a 的取值 首先去掉等号左面的绝对值 利用绝对值得几何意义 即当 x 2 2 x 1 和 x 1 时 求出 a 的值 解答 解 1 当 x 2 时 x 2 x 1 2x 1 2 2 1 3 2 当 2 x 1 时 x 2 x 1 x 2 x 1 3 3 当 x 1 时 x 2 x 1 2x 1 2 1 1 3 故只有当 a 3 时 原方程有解 点评 本题主要考查的是含有绝对值符号的一元一次方程的计算题 难易适中 12 解下列方程 1 x 3 x 1 x 1 2 1 x 1 3x 3 3x 2 x 1 x 2 4 3y 2 5x 3 考点 含绝对值符号的一元一次方程 专题 计算题 分析 从这 4 道题上看 都是含有绝对值符号的一元一次方程 解答此类问题的关键 就是充分利用绝对值的几 何意义 利用分类讨论去掉绝对值计算 解答 解 1 当 x 3 时 原式 x 3 x 1 x 1 x 5 当 x 1 时 原式 x 3 x 1 x 1 x 3 3 x 1 时 原式 x 3 x 1 x 1 x 1 故 x 的解是 x 5 或 x 1 或 x 3 2 1 x 1 3x 0 原方程可化为 1 x 1 3x 或 1 x 1 3x 当 1 x 1 3x 时 解得 x 0 10 当 1 x 1 3x 时 解得 x 0 故原方程的解为 x 0 3 解 从三种情况考虑 第一种 当 x 时 原方程就可化简为 3x 2 x 1 x 2 解得 x 5 第二种 当 1 x 时 原方程就可化简为 3x 2 x 1 x 2 解得 x 第三种 当 x 1 时 原方程就可化简为 3x 2 1 x x 2 解得 x 不符合题意 所以 x 的解为 x 5 或 x 4 由 3y 2 5x 3 移项得 3y 2 5x 3 0 根据绝对值的几何意义 故 3y 2 0 5x 3 0 解得 y x 点评 本题考查了含绝对值符号的一元一次方程 难度适中 关键是充分利用绝对值的几何意义 利用分类讨论 去掉绝对值计算 13 解方程组 1 2 考点 解二元一次方程组 分析 1 用代入法解方程组即可 注意去绝对值时要区分未知数的取值范围 2 根据 x 与 y 的取值范围 分别去绝对值解方程组即可 注意 xy 异号时要讨论 xy 绝对值的大小 解答 解 1 原方程 把 代入 得 4y 4 y 1 5 当 y 1 0 时 式 4y 4 y 1 5 解得 y 2 把 y 2 代入 得 x 3 或 5 当 y 1 0 时 式 4y 4 y 1 5 解得无解 综上得原方程组的解为 2 当 x 0 y 0 时 原方程组为 方程组无解 当 x 0 y 0 且 x y 原方程组为 解得 11 当 x 0 y 0 且 x y 原方程组为 解得 当 x 0 y 0 时 原方程组为 方程组无解 当 x 0 y 0 且 x y 原方程组为 解得 当 x 0 y 0 且 x y 原方程组为 解得 综上得原方程组的解为 点评 本题考查了二元一次方程的解法 涉及到两个未知数绝对值的性质 注意讨论未知数取值范围时 不要漏 解 14 解下列不等式 1 1 3 2 5 5x 3 10 3 x 1 4 x 6 4 x 1 x 2 1 考点 含绝对值的一元一次不等式 专题 计算题 分析 1 去绝对值把原不等式化为 1 3 或 1 3 分别解这两个不等式即可 2 去绝对值把原不等式化为 5 5x 3 10 或 10 5x 3 5 分别解这两个不等式组即可 2 分类讨论 当 x 1 1 x 4 x 4 时分别去绝对值 然后解不等式 根据给定的取值范围确定解集 3 分类讨论 当 x 2 2 x 1 x 1 分别解不等式 最后综合 x 的取值范围确定解集 解答 解 1 1 3 或 1 3 解 1 3 得 x 7 解 1 3 得 x 1 原不等式的解为 x 1 或 x 7 2 原不等式化为 5 5x 3 10 或 10 5x 3 5 解 5 5x 3 10 得 x 解 10 5x 3 5 得 x 原不等式的解为 x 或