材料力学课件 第四章扭转

1 第四章扭转 上海工程技术大学基础教学学院工程力学部 材料力学 2 4 1引言 4 2薄壁圆筒的扭转应力 4 3圆轴扭转应力 4 4圆轴扭转强度与动力传递 4 5圆轴扭转变形与刚度计算 4 6非圆截面轴扭转 4 7薄壁杆扭转作业 第四章扭转 3 一 工程实例 1 螺丝刀杆工作时受扭 2 汽车方向盘的转动轴工作时受扭 4 1引言 第四章扭转 3 机器中的传动轴工作时受扭 4 第四章扭转 5 二 扭转的概念 受力特点 杆两端作用着大小相等 方向相反的力偶 且作用面垂直杆的轴线 变形特点 杆任意两截面绕轴线发生相对转动 轴 主要发生扭转变形的杆 第四章扭转 轴 三 外力 m 外力偶矩 1 已知 功率P千瓦 KW 转速n转 分 r min rpm 外力偶矩 6 2 已知 功率P马力 Ps 转速n转 分 r min rpm 外力偶矩 四 内力 扭矩 第四章扭转 1 内力的大小 截面法 m T 取右段为研究对象 扭矩 7 2 内力的符号规定 以变形为依据 按右手螺旋法则判断 右手的四指代表扭矩的旋转方向 大拇指代表其矢量方向 若其矢量方向背离所在截面则扭矩规定为正值 反之为负值 第四章扭转 8 4 内力图 扭矩图 表示构件各横截面扭矩沿轴线变化的图形 作法 同轴力图 例 已知 一传动轴 n 300r min 主动轮输入P1 500kW 从动轮输出P2 150kW P3 150kW P4 200kW 试绘制扭矩图 1 截开面上设正值的扭矩方向 2 在采用截面法之前不能将外力简化或平移 第四章扭转 9 求扭矩 扭矩按正方向设 解 计算外力偶矩 例 已知 一传动轴 n 300r min 主动轮输入P1 500kW 从动轮输出P2 150kW P3 150kW P4 200kW 试绘制扭矩图 第四章扭转 10 m2m3m1m4 ABCD T1 T2 T3 第四章扭转 绘制扭矩图 BC段为危险截面 1 1截面 2 2截面 3 3截面 11 实验 变形规律 应力的分布规律 应力的计算公式 1 实验 4 2薄壁圆筒轴的扭转 一 薄壁圆筒横截面上的应力 壁厚 r0 为平均半径 第四章扭转 12 第四章扭转 13 认为剪应力沿壁厚均匀分布 而且方向垂直于其半径方向 2 变形规律 圆周线 形状 大小 间距不变 各圆周线只是绕轴线转动了一个不同的角度 纵向线 倾斜了同一个角度 小方格变成了平行四边形 3 剪应变 角应变 直角角度的改变量 4 定性分析横截面上的应力 1 2 因为圆周上剪应变相同 所以剪应力沿圆周均匀分布 3 第四章扭转 14 5 剪应力的计算公式 dA dA dA r0 dA r0d t 二 剪切虎克定律 在弹性范围内剪应力与剪应变成正比关系 第四章扭转 15 在相互垂直的两个面上 剪应力总是成对出现的 并且大小相等 方向同时指向或同时背离两个面的交线 三 剪应力互等定理 第四章扭转 16 一 圆轴扭转时横截面上的应力 超静定问题 几何关系 由实验找出变形规律 应变的变化规律 物理关系 由应变的变化规律 应力的分布规律 静力关系 由横截面上的扭矩与应力的关系 应力的计算公式 一 几何关系 1 实验 4 3圆轴扭转应力 第四章扭转 2 变形规律 圆周线 形状 大小 间距不变 各圆周线只是绕轴线转动了一个不同的角度 17 2 变形规律 圆轴线 形状 大小 间距不变 各圆周线只是绕轴线转动了一个不同的角度 纵向线 倾斜了同一个角度 小方格变成了平行四边形 3 平面假设 变形前的横截面 变形后仍为平面 且形状 大小 间距不变 半径仍为直线 4 定性分析横截面上的应力 第四章扭转 1 2 因为同一圆周上剪应变相同 所以同一圆周上剪应力大小相等 并且方向垂直于其半径方向 18 5 剪应变的变化规律 第四章扭转 二 物理关系 弹性范围内 方向垂直于半径 19 应力分布 T t max t max t max T 实心截面 空心截面 第四章扭转 20 三 静力关系 令 代入物理关系式得 圆轴扭转时横截面上任一点的剪应力计算式 第四章扭转 21 横截面上 抗扭截面模量 整个圆轴上 等直杆 三 公式的使用条件 1 等直的圆轴 2 弹性范围内工作 Ip 截面的极惯性矩 单位 二 圆轴中 max的确定 第四章扭转 单位 22 四 的确定 1 实心圆截面 2 空心圆截面 第四章扭转 23 例 功率为150kW 转速为15 4转 秒的电动机转子轴如图所示 许用剪应力 30MPa 试校核其强度 T 1 55kN m 解 求扭矩及扭矩图 计算并校核剪应力强度 x 第四章扭转 24 复习 1 扭转的概念 受力特点 杆两端作用着大小相等方向相反的力偶 且作用面垂直杆的轴线 变形特点 杆任意两截面绕轴线发生相对转动 2 外力 m 外力偶矩 P千瓦 3 内力 T 扭矩 P马力 n转 分 截面法求内力 画内力图 第四章扭转 4 薄壁圆筒横截面上的应力 5 剪切虎克定律 25 6 圆轴扭转时横截面上的应力 第四章扭转 7 极惯性矩及抗扭截面模量 实心轴 当 26 五 圆轴扭转时斜截面上的应力 低碳钢试件 沿横截面断开 铸铁试件 沿与轴线约成45 的螺旋线断开 因此还需要研究斜截面上的应力 第四章扭转 27 第四章扭转 t 方法 取单元体 单元体上的应力认为是均匀分布的 28 设 ef边的面积为dA则 eb边的面积为dAcos ef边的面积为dAsin 第四章扭转 29 若材料抗拉压能力差 构件沿45斜截面发生破坏 脆性材料 结论 若材料抗剪切能力差 构件沿横截面发生破坏 塑性材料 分析 第四章扭转 横截面上 30 1 强度条件 2 强度计算 1 校核强度 第四章扭转 4 4圆轴扭转强度 2 设计截面尺寸 3 确定外荷载 31 已知 P 7 5kW n 100r min 许用剪应力 40MPa 空心圆轴的内外径之比 0 5 求 实心轴的直径d1和空心轴的外径D2 解 第四章扭转 1 求实心轴的直径 32 40MPa 0 067 m 67mm 第四章扭转 2 求空心轴的直径 33 一 变形 相对扭转角 4 5圆轴扭转时的变形 刚度计算 单位 弧度 rad GIP 抗扭刚度 第四章扭转 单位长度的扭转角 34 二 刚度条件 三 刚度计算 1 校核刚度 第四章扭转 3 确定外荷载 2 设计截面尺寸 35 例 长L 2m的圆杆受均布力偶m 20Nm m的作用 杆的内外径之比为 0 8 G 80GPa 许用剪应力 30MPa 试设计杆的外径 若 2 m 试校核此杆的刚度 并求右端面转角 解 1 画扭矩图 第四章扭转 2 设计杆的外径 D 0 0226m 36 3 由扭转刚度条件校核刚度 4 右端面转角为 第四章扭转 37 例 某传动轴设计要求转速n 500r min 输入功率P1 500马力 输出功率分别P2 200马力及P3 300马力 已知 G 80GPa 70MPa 1 m 试确定 AB段直径d1和BC段直径d2 若全轴选同一直径 应为多少 主动轮与从动轮如何安排合理 解 扭矩图 第四章扭转 38 由刚度条件得 由强度条件 第四章扭转 39 综上 全轴选同一直径时 轴上的绝对值最大的扭矩越小越合理 所以 1轮和2轮应该换位 换位后 轴的扭矩如图所示 此时 轴的最大直径才为75mm 第四章扭转 40 4 6等直圆杆的扭转超静定问题 解扭转超静定问题的步骤 平衡方程 几何方程 变形协调方程 物理方程 力与变形的关系 求解方程组 第四章扭转 41 例 长为L 2m的圆杆受均布力偶m 20Nm m的作用 如图 若杆的内外径之比为 0 8 外径D 0 0226m G 80GPa 试求 固定端的反力偶 解 杆的受力图 几何方程 第四章扭转 物理方程 42 由平衡方程得 另 此题可由对称性直接求得结果 第四章扭转 43 第四章扭转 4 7非圆截面杆的扭转 一 非圆截面杆与圆截面杆的区别 圆杆扭转时 横截面保持为平面 非圆杆扭转时 横截面由平面变为曲面 发生翘曲 44 二 非圆截面杆扭转的研究方法 弹性力学的方法研究 三 非圆截面杆扭转的分类 1 自由扭转 纯扭转 2 约束扭转 四 分析两种扭转 1 自由扭转 各横截面翘曲程度不受任何约束 可自由凹凸 任意两相邻截面翘曲程度相同 受力特点 两端受外力偶作用 变形特点 相邻两截面翘曲完全相同 纵向长度不变 所以纵向应变等于零 应力特点 横截面上正应力等于零 剪应力不等于零 2 约束扭转 由于约束条件或受力限制 造成杆各横截面翘曲程度不同 约束的受力特点 两端受外力偶及其它力的作用 第四章扭转 45 约束扭转变形特点 相邻两截面翘曲不相同 纵向长度发生变化 所以纵向应变不等于零 约束应力特点 横截面上正应力不等于零 剪应力不等于零 五 矩形截面杆的自由扭转 1 剪应力分布 2 应力计算 整个横截面上最大的剪应力 短边中点 3 变形 长边中点 b h T 第四章扭转 与周边相切 P101 46 4 在凸角处的剪应力等于零 第四章扭转 对于狭长矩形 又 47 3 两者的比值 例 均相同的两根轴 分别为圆截面和正方形截面 试求 两者的最大扭转剪应力与扭转变形 并进行比较 第四章扭转 解 1 圆截面circular 2 矩形截面square 结论 无论是扭转强度 还是扭转刚度 圆形截面比正方形截面要好 48 截面中心线 薄壁杆横截面壁厚平分线 主要注意的问题 开口薄壁杆件的抗扭性能很差 4 8开口和闭合薄壁截面在自由扭转时的应力 第四章扭转 闭口薄壁杆 截面中心线为闭合曲线 开口薄壁杆 截面中心线为非闭口曲线 49 一 闭口薄壁杆的扭转应力 第四章扭转 1 剪应力流的方向与扭矩的方向一致 2 剪应力沿壁厚均匀分布 与薄壁圆管相似 3 剪应力与中心线相切 截面中心线所围截面积 50 例 椭圆形薄壁截面杆 横截面尺寸为 a 50mm b 75mm 厚度t 5mm 杆两端受扭转力偶T 5000N m 试求此杆的最大剪应力 解 闭口薄壁杆自由扭转时的最大剪应力 b a t 第四章扭转 51 二 闭口薄壁截面杆扭转时的变形 第四章扭转 对于等厚度的薄壁杆 截面中线的长度 薄壁截面中线围成的面积 其中 52 第四章扭转 三 开口薄壁截面杆的扭转 53 2 沿截面周边形成 环流 第四章扭转 1 开口薄壁截面杆在自由扭转时的剪应力分布如图 a a 4 壁厚很小 3 薄壁厚度中点处 应力为零 小 抗扭性能很差 力偶臂 截面发生明显翘曲 b 54 第四章扭转 因此 对于受扭构件 尽量不要采用开口薄壁杆 若实在必要采用开口薄壁杆 必须采取局部加强措施 5 等厚度开口薄壁杆 截面中线长度 6 变厚度开口薄壁杆 各狭长矩形的高度与宽度 55 例 已知试确定扭力矩的许可值 第四章扭转 解 1 由强度条件 2 由刚度条件 56 第四章扭转 例 设有相同尺寸的无缝钢管和有缝钢管 承受相同的 试比较它们的剪应力和扭角 壁厚为 解 1 闭口薄环 2 开口薄环 57 第四章扭转 1 闭口薄环 2 开口薄环 展成一长为狭长矩形 如果 则 58 第四章扭转 例 为提高管的强度 将开口薄壁圆在开口处用盖板与铆钉连成闭口圆管 设铆钉总数为n 圆管长度为 壁厚为 试求铆钉剪切面上的剪力 解 1 研究对象 闭口薄壁圆管 4 铆钉上剪力为Q 用径向纵截面ab切开圆管 2 薄壁圆管横截面上的剪应力 3 ab纵截面的剪力为 59 第一次作业 4 1 c d 4 2 3 本次课作业 第四章扭转 第二次作业 4 9 10 12 4 17 60 扭转变形小结 一 扭转的概念 受力特点 杆两端作用着大小相等方向相反的力偶 且作用面垂直杆的轴线 变形特点 杆任意两截面绕轴线发生相对转动 二 外力 m 外力偶矩 功率P千瓦 转速n转 分 三 内力 T 扭矩 功率P马力 转速n转 分 1 内力的大小确定 画内力图 第四章扭转 61 2 内力的符号规定 右手的四指代表扭矩的旋转方向 大拇指代表其矢量方 若其矢量方向背离所在截面则扭矩规定为正值 反之为负值 四 薄壁圆筒横截面上的应力 五 剪切虎克定律 几何关系 由实验通过变形规律 应变的变化规律 1 公式推导 第四章扭转 62 静力关系 由横截面上的扭矩与应力的关系 应力的计算公式 圆轴扭转时横截面上任一点的剪应力计算式 等直杆 变直杆 2 圆轴中 max的确定 3 公式的使用条件 1 等直的圆轴 2 弹性范围内工作 第四章扭转 63 1 校核强度 2 设计截面尺寸 3 确定外荷载 七 圆轴扭转时斜截面上的应力 第四章扭转 64 平衡方程 补充方程 把物理方程 力与变形的关系 代入几何方程得 十二 非圆截面杆的概念 分类 特点 矩形截面自由扭转简介 十一 解扭转超静定问题的步骤 难点 第四章扭转 65 第四章结束 第四章扭转 66 4 8圆柱形密圈螺旋弹簧的计算 一 概述 弹簧的特点 变形大弹簧的用途 缓冲作用 控制机械运动 测量力的大小等 圆柱形密圈螺旋弹簧 外型为圆柱型 螺距很小 50 弹簧沿轴线方向成螺旋式 二 应力的计算 第四章扭转 67 近似值 前提条件 1 角很小 忽略 角的影响 认为簧丝横截面与弹簧轴线在同一平面内 与F力在同一平面 2 d D 忽略簧丝曲率内影响 按直杆计算 t Q t T Fs T T PD 2Fs P 第四章扭转 68 D 2R R为弹簧的平均半径 n为弹簧的有效圈数 讨论 1 d越小 越大 减震越好 但此时 将增大 2 n D越大 越大 减震越好 但n大时将引起侧向弯曲从而发生失稳破坏 解决方法 在中间加导杆 第四章扭转 69 三 强度条件 精确值 修正公式 考虑