二次函数的图像及一元二次方程与二次函数的关系

第十五讲 二次函数的图像与性质二次函数图象的画法1、二次函数的表示方法：1. 一般式：（，为常数，）；2. 顶点式：（，为常数，）；五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，=由此可见函数的图像与函数的图像的形状、开口方向均相同，只是位置不同，可以通过平移得到。2、二次函数的图像特征（1）二次函数 ( a0)的图象是一条抛物线；3、二次函数的性质 1. 当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为 当时，随的增大而减小； 当时，随的增大而增大； 当时，有最小值 2. 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小； 当时，有最大值 3. 常数项 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正； 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为； 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负 总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置例1已知函数y= x2 -2x -3 , （1）把它写成的形式； 并说明它是由怎样的抛物线经过怎样平移得到的？ （2）写出函数图象的对称轴、顶点坐标、开口方向、最值；（3）求出图象与坐标轴的交点坐标；（4）画出函数图象的草图； ( 5 ) 设图像交x轴于A、B两点，交y 轴于P点，求APB的面积；（6） 根据图象草图，说出 x取哪些值时， y=0; y0.例2、求抛物线的对称轴和顶点坐标。变式：2、例3、已知关于x的二次函数的图像的顶点坐标为（-1，2），且图像过点（1，-3）。（1）求这个二次函数的解析式；（2）求这个二次函数的图像与坐标轴的交点坐标。变式：二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交点情况）：一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.图象与轴的交点个数： 当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根这两点间的距离. 当时，图象与轴只有一个交点； 当时，图象与轴没有交点. 当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有； 当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有 2. 抛物线的图象与轴一定相交，交点坐标为，； 3. 二次函数常用解题方法总结： 求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； 根据图象的位置判断二次函数中，的符号，或由二次函数中，的符号判断图象的位置，要数形结合； 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式本身就是所含字母的二次函数；下面以时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：抛物线与轴有两个交点二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根抛物线与轴只有一个交点二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根抛物线与轴无交点二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根.二次函数解析式的表示方法1. 一般式：（，为常数，）；2. 顶点式：（，为常数，）；3. 两根式：（，是抛物线与轴两交点的横坐标）.二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标， 一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值， 一般选用顶点式；3. 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标， 一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点， 常选用顶点式例1、抛物线y=x2-8x+c的顶点在x轴上，则c等于( ) A.16 B.4 C.8 D.16例2、已知抛物线（k为常数，且k0）证明：此抛物线与x轴总有两个交点；练习1、已知关于x的二次函数y=2x（3m+1）xm（m1）. 证明使y=0的x的值有两个；例3、已知关于x的二次函数yx2（2m1）xm23m4.探究m满足什么条件时，二次函数y的图象与x轴的交点的个数.例4、已知：关于x的函数的图象与x轴总有交点，的取值范围是（ ） A、 B、且0 C、 D、且0练习1、关于x的一元二次方程没有实数根，则抛物线的顶点在（ ）。A第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限例5、抛物线的部分图象如图所示，则方程的两根为 .练习：二次函数y=ax2bxc（a0）的图像如图所示，根据图像解答下列问题：（1） 写出方程ax2bxc =0的两个根；（2） 写出不等式ax2bxc 0的解集；（3） 写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范值；（4） 若方程ax2bxc =k有两个不相等的实数根，求k的取什范围。 3221例7：抛物线与