普通物理学-第二章

第二章运动的守恒量和守恒定律 2 1质点系的内力和外力质心质心运动定理 2 2动量定理动量守恒定律 2 3功能量动能定理 2 4保守力成对力的功势能 2 5质点系的功能原理机械能守恒定律 2 6碰撞 2 7质点的角动量和角动量守恒定律 2 8对称性和守恒定律 2 1质点系的内力和外力质心质心运动定理 一 质点系的内力与外力 系统内 内力是成对出现的 质点系内各个质点间的相互作用 内力 internalforce 外力 externalforce 质点系外物体对系统内质点所施加的力 2 1质点系的内力和外力质心质心运动定理 二 质心 质心 centerofmass 是与质量分布有关的一个代表点 它的位置在平均意义上代表着质量分布的中心 对于N个质点组成的质点系 直角坐标系中的分量式 质心的位矢 对于质量连续分布的物体 分量式 面分布 体分布 线分布 质心的位矢 质心与重心 centerofgravity 是两个不同的概念 重心是地球对物体各部分引力的合力 即重力 的作用点 质心与重心的位置不一定重合 例2 1求腰长为a的等腰直角三角形均匀薄板的质心位置 取宽度为dx的面积元 设薄板每单位面积的质量为 则此面积元的质量为 解 取坐标轴如图 根据对称性分析可知 三 质心运动定理 由质心位矢公式 质心的速度为 质心的加速度为 由牛顿第二定律得 对于系统内成对的内力 质心的运动等同于一个质点的运动 这个质点具有质点系的总质量 它受到的外力为质点系所受的所有外力的矢量和 质心运动定理 2 2动量定理动量守恒定律 一 动量定理 由牛顿运动定律 表示力对时间的累积量 叫做冲量 impulseofforce 其中 质点在运动过程中 所受合外力的冲量等于质点动量的增量 说明 1 冲量的方向是所有元冲量的合矢量的方向 动量定理反映了力在时间上的累积作用对质点产生的效果 逆风行舟的分析 动量定理 theoremofmomentum 2 动量定理中的动量和冲量都是矢量 符合矢量叠加原理 或以分量形式进行计算 3 在冲击 碰撞问题中估算平均冲力 implusiveforce 4 动量定理是牛顿第二定律的积分形式 只适用于惯性系 5 动量定理在处理变质量问题时很方便 研究锤对工件的作用过程 在竖直方向利用动量定理 取竖直向上为正 例2 2质量m 0 3t的重锤 从高度h 1 5m处自由落到受锻压的工件上 工件发生形变 如果作用的时间 1 0 1s 2 0 01s 试求锤对工件的平均冲力 以重锤为研究对象 分析受力 作受力图 解 解法一 解法二 研究锤从自由下落到静止的整个过程 其动量变化为零 重力作用时间为 支持力的作用时间为 由动量定理 例2 3一绳跨过一定滑轮 两端分别拴有质量为m及m 的物体A和B m 大于m B静止在地面上 当A自由下落距离h后 绳子才被拉紧 求绳子刚被拉紧时两物体的速度 以及能上升的最大高度 作绳拉紧时的受力图 绳子刚好拉紧前的瞬间 物体A的速度为 解 经过短暂的冲击过程 两物体速率相等 对两物体分别应用动量定理 取向上为正 考虑到绳不可伸长 有 平均冲力FT1 FT2 重力 因而忽略重力 绳子拉紧后 A B系统的加速度为 即为绳子刚被拉紧时两物体的速度 速度为零时 物体B达到最大高度H 二 变质量物体的运动方程 设t时刻 某物体质量为m 速度为 c 另有一质元dm 速度为 t dt时刻合并后的共同速度为 把物体与质元作为系统 由动量定理 略去二阶小量 变质量物体运动方程 注意 dm可正可负 当dm取负时 表明物体质量减小 例2 4质量为m的均质链条 全长为L 手持其上端 使下端离地面的高度为h 然后放手让它自由下落到地上 求链条落到地上的长度为l时 地面所受链条作用力的大小 解 用变质量物体运动方程求解 落在地面上链段ml速度为零 作用在未落地部分 m ml 上的外力有重力和地面给它的冲力 取向下为正 即 自由下落 地面所受链条作用力为 已落地部分链条的重力 例2 5矿砂从传送带A落到另一传送带B 其速度v1 4m s 方向与竖直方向成30 角 而传送带B与水平成15 角 其速度v2 2m s 如传送带的运送量恒定 设为k 20kg s 求落到传送带B上的矿砂在落上时所受到的力 解 设在某极短的时间 t内落在传送带上矿砂的质量为m 即m k t 这些矿砂动量的增量为 其大小为 设这些矿砂在时间 t内所受的平均作用力为 由动量定理 方向由 近似竖直向上 常矢量 常矢量 根据质心运动定律 若 三 动量守恒定律 即 如果系统所受的外力之和为零 则系统的总动量保持不变 这个结论叫做动量守恒定律 lawofconservationofmomentum 则 2 当外力作用远小于内力作用时 可近似认为系统的总动量守恒 如 碰撞 打击过程等 1 动量守恒是指系统动量总和不变 但系统内各个质点的动量可以变化 通过内力进行传递和交换 说明 3 分量式 4 定律不仅适合宏观物体 同样也适合微观领域 四 火箭飞行 设t时刻 火箭质量为m 速度为v 向上 在dt内 喷出气体dm 0 喷气相对火箭的速度 称喷气速度 为u 向下 使火箭的速度增加了dv 若不计重力和其他外力 由动量守恒定律可得 略去二阶小量 设u是一常量 设火箭开始飞行的速度为零 质量为m0 燃料烧尽时 火箭剩下的质量为m 此时火箭能达到的速度是 火箭的质量比 多级火箭 最终速度 例2 6如图所示 设炮车以仰角 发射一炮弹 炮车和炮弹的质量分别为m 和m 炮弹的出口速度为v 求炮车的反冲速度v 炮车与地面间的摩擦力不计 解 选取炮车和炮弹组成系统 内 外力分析 炮车与地面间的摩擦力不计 系统水平方向动量守恒 得炮车的反冲速度为 思考 竖直方向动量守恒吗 系统水平方向动量守恒 炸裂时爆炸力是物体内力 它远大于重力 故在爆炸中 可认为动量守恒 例2 7一个静止物体炸成三块 其中两块质量相等 且以相同速度30m s沿相互垂直的方向飞开 第三块的质量恰好等于这两块质量的总和 试求第三块的速度 大小和方向 解 即和及都成 且三者都在同一平面内 例2 8质量为m1和m2的两个小孩 在光滑水平冰面上用绳彼此拉对方 开始时静止 相距为l 问他们将在何处相遇 把两个小孩和绳看作一个系统 水平方向动量守恒 任取两个小孩连线上一点为原点 向右为x轴为正向 解 设开始时小孩的坐标分别为x10 x20 在任意时刻的速度分别v1为v2 坐标为x1和x2 由运动学关系 相遇时 x1 x2 由动量守恒 1 代入式 1 得 结果表明 两小孩在纯内力作用下 将在他们共同的质心相遇 上述结果也可直接由质心运动定律求出 相遇时有 一 功的概念 物体在力的作用下发生一无限小的位移 元位移 时 此力对它做的功 work 定义为 可以写成两个矢量的标积 scalarproduct 功是标量 没有方向 但有正负 单位 N m J 焦耳 功率 power 单位 J s W 2 3功能量动能定理 为力与位移的夹角 能量是反映各种运动形式共性的物理量 各种运动形式的相互转化可以用能量来量度 各种运动形式的相互转化遵守能量守恒定律 与机械运动直接相关的能量是机械能 它是物体机械运动状态 即位置和速度 的单值函数 包括动能和势能 二 能量 能量是物体状态的单值函数 物体状态发生变化 它的能量也随之变化 三 动能定理 设质点在变力的作用下沿曲线从a点移动到b点 变力所做的功为 由牛顿第二定律 定义质点的动能 kineticenergy 则有 动能定理 theoremofkineticenergy 合外力对质点所做的功等于质点动能的增量 3 功是一个过程量 而动能是一个状态量 1 4 微分形式 例2 9装有货物的木箱 重量G 980N 要把它运上汽车 现将长l 3m的木板搁在汽车后部 构成一斜面 然后把木箱沿斜面拉上汽车 斜面与地面成30 角 木箱与斜面间的滑动摩擦因数 0 20 绳的拉力与斜面成10 角 大小为700N 求 1 木箱所受各力所做的功 2 合外力对木箱所做的功 3 如改用起重机把木箱直接吊上汽车能不能少做些功 木箱所受的力分析如图所示 拉力F所做的功 重力所做的功 解 1 每个力所做的功 正压力所做的功 根据牛顿第二定律 摩擦力所做的功 2 合力所做的功 3 如改用起重机把木箱吊上汽车 所用拉力F 至少要等于重力 这时拉力所做的功为 等于重力所做的功 而符号相反 这时合外力所做的功为零 与 1 中F做的功相比较 用了起重机能够少做功 1 中推力F所多做的功 其中 435J的功用于克服摩擦力 转变成热量 余下165J的功将使木箱的动能增加 例2 10柔软均质物体以初速v0送上平台 物体前端在平台上滑行s距离后停止 设滑道上无摩擦 物体与台面间的摩擦因数为 且s 求初速度v0 解 由动能定理 一 保守力 根据各种力做功的特点 可将力分为保守力和非保守力 保守力 conservativeforce 如 重力 万有引力 弹性力以及静电力等 非保守力 non conservativeforce 如 摩擦力 回旋力等 做功与路径无关 只与始末位置有关的力 做功不仅与始末位置有关 还与路径有关的力 2 4保守力成对力的功势能 重力的功 重力做功只与质点的起始和终了位置有关 而与所经过的路径无关 重力是保守力 设物体m从a点沿任一曲线移动到b点 在元位移中 重力所做的元功为 如果物体沿闭合路径abcda运动一周 容易计算重力所做的功为 讨论 表明保守力沿任何闭合路径做功等于零 L为任意闭合路径 或 弹性力的功 弹性力做功只与质点的起始和终了位置有关 而与质点运动的路径无关 弹性力是保守力 设光滑水平桌面一端固定的轻弹簧 k 另一端连接质点m 当质点由a点运动到b点的过程中 万有引力的功 设质量为m 的质点固定 另一质量为m的质点在m 的引力场中从a点运动到b点 万有引力的功仅由物体的始末位置决定 与路径无关 万有引力是保守力 摩擦力的功 摩擦力做功与路径有关 摩擦力是非保守力 质量为m的物体在桌面上沿曲线路径从a点运动到b点 设物体与桌面的摩擦因数为 其中sab为物体经过的路程 与物体的运动路径有关 二 成对力的功 设有两个质点m1和m2 存在一对相互作用力和 在dt时间内分别经过元位移和 这一对力所做的元功为 相对元位移 成对力的功 讨论 1 成对作用力和反作用力所做的总功只与作用力及相对位移有关 而与每个质点各自的运动无关 2 质点间的相对位移和作用力都是不随参考系而变化的 因此 任何一对作用力和反作用力所做的总功具有与参考系选择无关的不变性质 3 可以由相对位移来分析系统中成对内力的功 三 势能 与物体的位置相联系的系统能量称为势能 potentialenergy 常用Ep表示 保守力的功是势能变化的量度 物体在保守力场中a b两点的势能Epa Epb之差等于质点由a点移动到b点过程中保守力做的功Aab 成对保守内力的功等于系统势能的减少 保守力的功只与物体的始末位置有关 而与参照系无关 弹性势能 重力势能 引力势能 如 若选势能零点 势能的大小只有相对的意义 相对于势能零点而言 势能零点可以任意选取 势能差有绝对意义 势能是相互作用有保守力的系统的属性 说明 已知势能函数 可以计算保守力 由 又 保守力沿某坐标轴的分量等于势能对此坐标的导数的负值 四 势能曲线 1 根据势能曲线的形状可以讨论物体的运动 2 利用势能曲线 可以判断物体在各个位置所受保守力的大小和方向 解 例2 11已知双原子分子的势函数为 a b为正常数 函数曲线如图所示 如果分子的总能量为零 求 1 双原子之间的最小距离 2 双原子之间平衡位置的距离 3 双原子之间最大引力时的两原子距离 4 画出与势能曲线相应的原子之间的相互作用力曲线 1 当动能Ek 0时 Ep为最大 两原子之间有最小距离 平衡位置的条件为F 0 最大引力的条件为 2 双原子之间平衡位置的距离 3 双原子之间最大引力时的两原子距离 在位置x1处 保守力F为零 在势能曲线的拐点位置x2处 保守力F有最小值 4 画出与势能曲线相应的原子之间的相互作用力曲线 一 质点系的动能定理 设系统由两个质点m1和m2组成 对质点1和2分别应用动能定理 相加 得 系统外力的功Ae 系统内力的功Ai 2 5质点系的功能原理机械能守恒定律 质点系的动能定理 系统的外力和内力做功的总和等于系统动能的增量 二 质点系的功能原理 内力的功可分为保守内力的功和非保守内力的功 质点系的功能原理 当系统从状态1变化到状态2时 它的机械能的增量等于外力的功与非保守内力的功的总和 与动能定理比较 运用功能原理时由于保守力所做的功已为系统势能的变化所代替 因此不必再计算保守内的功 例2 12一汽车的速度v0 36km h 驶至一斜率为0 010的斜坡时 关闭油门 设车与路面间的摩擦阻力为车重G的0 05倍 问汽车能冲上斜坡多远 解法一 取汽车为研究对象 受力分析如图所示 解 设汽车能冲上斜坡的距离为s 此时汽车的末速度为0 根据动能定理 解法二 取汽车和地球这一系统为研究对象 运用系统的功能原理 以下同解法一 物体受力 重力的作用 摩擦力和正压力 用功能原理进行计算 把物体和地球作为系统 例2 13如图所示 一质量m 2kg的物体从静止开始 沿四分之一的圆周从A滑到B 已知圆的半径R 4m 设物体在B处的速度v 6m s 求在下滑过程中 摩擦力所作的功 解 摩擦力和正压力都是变力 正压力不做功 三 机械能守恒定律 若 由质点系的功能原理 则 机械能守恒定律 lawofconservationofmechanicalenergy 如果系统内非保守内力与外力做的功都为零 则系统内各物体的动能和势能可以互相转化 但机械能的总值保持不变 四 能量守恒定律 对孤立系统 能量守恒定律 lawofconservationofenergy 一个孤立系统经历任何变化时 该系统的所有能量的总和是不变的 能量只能从一种形式变化为另外一种形式 或从系统内一个物体传给另一个物体 它是自然界最普遍的定律之一 则 由质点系的功能原理 例2 14起重机用钢丝绳吊运一质量为m的物体 以速度v0做匀速下降 如图所示 当起重机突然刹车时 物体因惯性进行下降 问使钢丝绳再有多少微小的伸长 设钢丝绳的劲度系数为k 钢丝绳的重力忽略不计 这样突然刹车后 钢丝绳所受的最大拉力将有多大 研究物体 地球和钢丝绳所组成的系统 系统的机械能守恒 解 首先讨论起重机突然停止的瞬时位置处的机械能 设物体因惯性继续下降的微小距离为h 并以这最低位置作为重力势能的零点 则有 设这时钢丝绳的伸长量为x0 则有 再讨论物体下降到最低位置时的机械能 机械能守恒 物体做匀速运动时 钢丝绳的伸长量x0满足 最低位置时相应的伸长量x x0 h是钢丝绳的最大伸长量 所以钢丝绳所受的最大拉力 1 第一宇宙速度 已知 地球半径为R 质量为mE 人造地球卫星质量为m 要使卫星在距地面h高度绕地球做匀速圆周运动 求其发射速度 设发射速度为v1 绕地球的运动速度为v 机械能守恒 万有引力提供向心力 例2 15讨论宇宙速度 得 第一宇宙速度 2 第二宇宙速度 宇宙飞船脱离地球引力而必须具有的发射速度 1 脱离地球引力时 飞船的动能必须大于或等于零 2 脱离地球引力处 飞船的引力势能为零 由机械能守恒 得 3 第三宇宙速度 物体相对太阳的速度为 物体脱离太阳引力所需的最小速度应满足 地球相对太阳的速度 物体相对于地球的发射速度 从地面发射物体要飞出太阳系 既要克服地球引力 又要克服太阳引力 所以发射时物体的动能必须满足 第三宇宙速度 五 黑洞 任何物体都被它的引力所约束 不管用多大的速度都无法脱离 连光都跑不出来 称为黑洞 对于质量为mC的天体 若物体的逃逸速度为 质量为mC的黑洞的半径 史瓦西半径 第一个黑洞的侯选者 X射线双星天鹅座X 1 太阳质量 RS 3km 如果两个或几个物体在相遇中 物体之间的相互作用仅持续一个极为短暂的时间 这些现象就是碰撞 collision 如 撞击 打桩 锻铁等 以及微观粒子间的非接触相互作用过程即散射 scattering 等 讨论两球的对心碰撞或称正碰撞 directimpact 即碰撞前后两球的速度在两球的中心连线上 1 碰撞过程系统动量守恒 2 6碰撞 2 牛顿的碰撞定律 碰撞后两球的分离速度 v2 v1 与碰撞前两球的接近速度 v10 v20 成正比 比值由两球的材料性质决定 即恢复系数 coefficientofrestitution 完全非弹性碰撞 perfectinelasticcollision e 0v2 v1 非弹性碰撞 inelasticcollision 0 e 1 完全弹性碰撞 perfectelasticcollision e 1v2 v1 v10 v20 完全弹性碰撞 机械能损失 完全弹性碰撞过程 系统的机械能 动能 也守恒 1 当m1 m2时 则 质量相等的两个质点在碰撞中交换彼此的速度 2 若v20 0 且m2 m1 则 质量很小的质点与质量很大的静止质点碰撞后 调转运动方向 而质量很大的质点几乎保持不动 3 若v20 0 且m2 m1 则 质量很大的质点与质量很小的静止质点碰撞后速度几乎不变 但质量很小的质点却以近两倍的速度运动起来 讨论 非弹性碰撞 碰后两球的速度为 机械能损失 完全非弹性碰撞 损失的机械能 如打桩 打铁时 例2 16光滑桌面上 质量为m1的小球以速度u碰在质量为m2的静止小球上 u与两球的连心线成 角 称为斜碰obliqueimpact 设两球表面光滑 它们相互撞击力的方向沿着两球的连心线 已知恢复系数为e 求碰撞后两球的速度 x y方向动量分别守恒 解 设碰后两球速度分别为v1 v2 方向如图所示 恢复系数 两个质量相等的小球发生弹性斜碰 m1 m2 e 1时 有 联立三个方程后求解 得 讨论 引入质点对参考点O的角动量 angularmomentum 大小 方向 右手螺旋定则确定 一 角动量 动量矩 由于动量不能描述转动问题 2 7质点的角动量和角动量守恒定律 特例 做圆周运动时 由于 质点对圆心的角动量大小为 大小不变 方向不变 质点对圆心O的角动量为常量 二 角动量守恒定律 定义合力对参考点O的力矩 上式又写为 角动量守恒定律 lawofconservationofangularmomentum 如果作用在质点上的外力对某给定点的力矩为零 则质点对该点的角动量在运动过程中保持不变 由 表明小球对圆心的角动量保持不变 实验 质量为m的小球系在轻绳的一端 绳穿过一竖直的管子 一手握管 另一手执绳 实验发现 则 解释 作用在小球上的有心力对力心的力矩为零 故小球的角动量守恒 行星绕太阳的运动 作用在行星上的万有引力 有心力 对太阳 力心 的力矩为零 因此 行星在运动过程中 对太阳的角动量保持不变 在有心力场中 关于力心的角动量守恒 解 例2 17发射宇宙飞船去考