2007-2008第一学期数值计算方法A卷标准答案_第1页
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一. 填空题（每空2分，共34分）1. 设 是真值 的近似值，则 有3 位有效数字。2.求方程根的牛顿迭代格式是。3 迭代法收敛于，此迭代格式是阶收敛的。4. 设，则 。5. 形如 的插值型求积公式, 其代数精度至少可达次，至多可达次。6. 向量 ，, 矩阵 ，则 _36_，Cond。7对矩阵A作如下的LU分解： ，则 ，8. 设 ，要使，与应满足。9. 解初值问题的公式 是几步几阶方法？ 二步二阶。10. 设为互异节点，为对应的5次Lagrange插值基函数，则=11. 已知 是三次样条函数，则 ，。12. 按最小二乘法拟合三点的直线是。二. (12分)设函数在区间上具有四阶连续导数，试求满足下列插值条件的一个次数不超过3的插值多项式，并写出其余项 的表达式0121294解： （5分） （8分） （10分）令，作辅助函数则在上也具有4阶连续导数且至少有4个零点：反复利用罗尔定理可得：，所以 (12分)三（12分） 求积公式 又知其误差余项为 试确定系数，使该求积公式有尽可能高的代数精度，指出其代数精确度的次数并确定误差式中的 值。解：将分别代入公式得： （6分）当时，左边等于，右边等于，所以求积公式最高代数精度为2。 （9分）将代入有误差项中的积分式中 （12分）四(12分)分别用雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法求解方程组 写出迭代格式，并判断收敛性。若将原方程组变为 再用上述两种迭代法求解是否收敛？说明原因。解: 雅可比迭代格式为 发散 （4分） 高斯-赛德尔迭代格式为 发散 (8分)方程组变为形式后 方程均严格对角占优，则收敛。 （12分）五. （16分）1.（8分） 用Gauss列主元消去法解方程组：解： （3分） (6分) (8分)2（8分）取步长，求解初值问题 用改进的欧拉法求的值；用经典的四阶龙格库塔法求的值。解：改进的欧拉法：（2 分） 所以；（4分）经典的四阶龙格库塔法：（6分） ，所以。 （8分）六.（下列2题任选一题，8分） 1设，试建立计算 的牛顿迭代公式，并分析其收敛性。2推导求解常微分方程初值问题 形式为 的公式，使其精度尽量高，并指出方法的阶数。(其中)解：1. 1. 解：问题转换为求解的正根。牛顿迭代公式为 （2分）下面证明对任何初值迭代过程收敛。 根据定理2.8, 对于任何，迭代公式收敛。（5分）当时，由f的单调性知 对任何初值迭代过程收敛。 （8分）2. 局部截断误差= （4分）令，得，计算公式为，i=0,1,2, (6分)局部截断
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