数学必修4知识点归纳总结

第 1 页 共 45 页 数学必修数学必修 4 4 知识点归纳总结知识点归纳总结 第一章第一章 三角函数三角函数 周期现象与周期函数周期现象与周期函数 周期函数定义的理解要掌握三个条件 即存在不为 0 的常数 T x 必须是定义域内的任意 值 f x T f x 练习练习 1 已知函数 f x 对定义域内的任意 x 满足 存在非零常数 T 使得 f x T f x 恒成 立 求 f x 2T f x 3T 解 f x 2T f x T T f x T f x f x 3T f x 2T T f x 2T f x 2 已知函数 f x 是 R 上的周期为 5 的周期函数 且 f 1 2005 求 f 11 解 f 11 f 6 5 f 6 f 1 5 f 1 2005 3 已知函数 f x 是 R 上的奇函数 且 f 1 2 f x 3 f x 求 f 8 解 f 8 f 2 2 3 f 2 f 1 3 f 1 f 1 2 角的概念的推广角的概念的推广 1 正角 负角 零角的概念 一条射线由原来的位置 绕着它的端点按逆时针方向 或顺时针方向 旋转到终止位 OAO 置 就形成角 旋转开始时的射线叫做角的始边 叫终边 射线的端点叫 OB OAOBO 做叫的顶点 规定 按逆时针方向旋转形成的角叫做正角 按顺时针方向旋转形成的角叫做负角 如果 一条射线没有作任何旋转 我们认为这时它也形成了一个角 并把这个角叫做零角 如果 是零角 那么 0 钟表的时针和分针在旋转时所形成的角总是负角 过去我们研究了 0 0 360 360 范围的角 如果我们将角 的终 00 0360 0 30 边 OB 继续按逆时针方向旋转一周 两周 而形成的角分别得到 390 750 的角 角的概念经过这样的推广以后就成为任意角 任意角包括正角 负角和零角 2 象限角 坐标轴上的角的概念 由于角是一个平面图形 所以今后我们常在直角坐标系内讨论角 我们使角的顶点与 第 2 页 共 45 页 原点重合 角的始边与 x 轴的非负半轴 包括原点 重合 那么角的终边 除端点外 落在第 几象限 我们就说这个角是第几象限角 300 60 角都是第四象限角 585 角是第 三象限角 如果角的终边落在坐标轴上 就认为这个角不属于任一象限 这时称这个角为 象限界角或轴线角 例如 等等都是轴线角 0 90 0 270 0 0 0 180 3 终边相同的角的表示方法 如果将终边 OB 按逆时针方向旋转一圈 两圈 分别得到 390 750 的角 这 些角的终边与 30 角的终边相同 只是转过的圈数不同 它们可以用 30 角来表示 如 390 30 十 360 750 30 十 2 360 由此可以发现 上面旋转所得到的所有的 角 记为 都可以表示成一个 0 0 360 360 的角与 k k Z 个周角的和 即 30 十 k 360 k Z 如果我们记集合 S 30 十 k 360 k Z 容易看出 所 有与 30 角终边相同的角 连同 30 角 k 0 在内 都是集合 S 的元素 反过来 集合 S 中的任何一个元素显然都与 30 角的终边相同 一般的 我们有 所有与角所有与角终边相同的角 连同角终边相同的角 连同角在内 可构成一个集合在内 可构成一个集合 即任意一个与角即任意一个与角终边相同的角 都可以表示成角终边相同的角 都可以表示成角与整数个周角的和 与整数个周角的和 巩固深化 发展思维巩固深化 发展思维 例 1 判断下列各角是第几象限角 1 60 2 585 3 950 12 例 2 在直角坐标系中 写出终边在 y 轴上的角的集合 用 0 360 的角表示 例 3 写出与 60 角终边相同的角的集合 S 并把 S 中适合不等式 360 270 的 元素 写出来 弧度制弧度制 1 1 弧度的角的定义 我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角 叫做 1 弧度的角 弧 AB 的长等于半径 r 则弧 AB 所对的圆心角就是 1 弧度的角 弧度的单位记作 rad 2 弧度制的定义 一般地 正角的弧度数是一个正数 负角的弧度数是一个负数 零角 第 3 页 共 45 页 的弧度数是 0 0 角的弧度数的绝对值 其中 l 是以角作为圆心角时所对弧的 r l 长 r 是圆的半径 这种以弧度作为单位来度量角的单位制 叫做弧度制 3 角度制与弧度制的换算 现在我们知道 1 周角 360 r 所以 360 2 rad 由此可以得到 180 r 2 rad 1 0 01745rad 1rad 57 30 57 18 180 180 说明 在进行角度与弧度的换算时 关键要抓住 180 rad 这一关系式 巩固深化 发展思维巩固深化 发展思维 1 例题剖析 例 1 把 45 化成弧度 例 2 把rad 化成度 5 3 例 3 利用弧度制证明扇形面积公式 S lr 其中 l 是扇形的弧长 r 是圆的半径 2 1 2 课堂练习 3 1 填表 度 0 45 60 180 360 弧度 6 2 2 3 说明 一些特殊角的弧度数 大家要熟记 免得每次遇到都要去进行换算 2 用弧度制写出终边落在 y 轴上和 x 轴上的角集合 练习练习 1 1 1 已知锐角终边上一点 3 4 求角的正弦值 P 2 已知是角终边上一点 求的值 32 P sin 3 已知角的终边落在直线上 求的值 xy2 sin 练习练习 2 2 1 下列角中终边与 330 相同的角是 A 30 B 30 C 630 D 630 2 下列命题正确的是 A A 终边相同角一定相等 B B 第一象限的角都是锐角 C C 锐角都是第一象限的角 D D 小于的角都是锐角 90 3 如果一扇形的弧长为 半径等于 则扇形所对圆心角为 2 cm2cm 第 4 页 共 45 页 A B C D 2 2 3 2 4 若是第四象限角 则 180 一定是 A 第一象限角 B 第二象限角 C 第三象限角 D 第四象限角 5 一个半径为的扇形 它的周长为 则这个扇形所含弓形的面积为 R4R A B C D 2 11 2sin2 22 R 2 1 sin2 2 R 2 1 2 R 22 1 sin2 2 RR 6 若角的终边落在第三或第四象限 则的终边落在 2 A 第一或第三象限B 第二或第四象限 C 第一或第四象限 D 第三或第四象限 二 填空题二 填空题 7 若三角形的三个内角的比等于 则各内角的弧度数分别为 2 3 7 8 将时钟拨快了 10 分钟 则时针转了 度 分针转了 弧度 9 若角的终边为第二象限的角平分线 则的集合为 10 已知是第二象限角 且则的范围是 4 2 三 解答题三 解答题 11 在与范围内 找出与下列各角终边相同的角 并判断它们是第几象限角 0 360 1 2 3 120 640 95012 12 写出角的终边在下图中阴影区域内角的集合 这括边界 1 2 3 13 单位圆上两个动点 同时从点出发 沿圆周运动 点按逆时针方向旋MN 10 P M 转弧度 秒 点按顺时针方向旋转弧度 秒 试求它们出发后第三次相遇时的位置 6 N 3 和各自走过的弧度 14 如图 圆上一点以逆时针方向作匀速圆周运动 已知点每分钟转过角 AA 经过 2 分钟到达第三象限 经过 14 分钟回到原来位置 求的大小 0 第 5 页 共 45 页 15 在扇形中 弧的长为 求此扇形内切圆的面AOB90AOB ABl 积 单位圆与正弦函数单位圆与正弦函数 在初中 我们学习了锐角的正弦函数值 如图 在直角三角形中 sin 斜边 对边 如图 sinA 由于 a 是直角边 c 是斜边 所 sinA 0 1 c a 由于我们通常都是将角放到平面直角坐标系中 我们来看看会发生 什么 第 6 页 共 45 页 在直角坐标系中 如图所示 设角 0 的终边与半经为 r 的圆交于点 2 P a b 则角的正弦值是 sin 根据相似三角形的知识可知 对于确定的角 r b 都不会随圆的半经的改变而改变 为简单起见 令 r 1 即为单位圆 那么 r b sin b 也就是说 若角的终边与单位圆相交于 P P 则点 P P 的纵坐标 b 就是角的正 弦函数 直角三角形显然不能包含所有的角 那么 我们可以仿照锐角正弦函数的定义 你认 为该如何定义任意角的正弦函数 一般地 在直角坐标系中 如上图 对任意角 它的终边与单位圆交于点 P a b 我们可以唯一确定点 P a b 的纵坐标 b 所以 P 点的纵坐标 b 是角的函 数 称为正弦函数 记作 y sin R 通常我们用 x y 分别表示自变量与因变量 将正弦函数表示为 y sinx 正弦函数值有时也叫正弦值 终边相同的角的正弦函数值相等 即 sin 2k sin k Z 说明对于任意一个 角 每增加 2 的整数倍 其正弦函数值不变 所以 正弦函数是随角的变化而周期性 变化的 正弦函数是周期函数 2k k Z k 0 为正弦函数的周期 2 是正弦函数的正周期中最小的一个 称为最小正周期 一般地 对于周期函数 f x 如果它所有的周期中存在一个最小的正数 那么这个最小的正数就叫作 f x 的最小正周期 注意 有些周期函数没有最小正周期 例如注意 有些周期函数没有最小正周期 例如 C C 为常数为常数 是周期函数 其周期是周期函数 其周期 x Cf T TR R T 0T 0 没有最小正周期 没有最小正周期 例 1 若点 P 3 y 是终边上一点 且 sin 求 y 值 3 2 例 2 若角的顶点为坐标原点 始边与 x 轴正半轴重合 终边在函数 y 3x x 0 的图像上 则 sin 1 4 21 4 2 正弦函数正弦函数 y y sinxsinx 的图像的图像 1 正弦函数线 MP 正弦函数的一种几何表示 如右图所示 第 7 页 共 45 页 MP 是带有方向的线段 这样的线段叫有向线段 MP 是从 M P MP 与 y 轴正向相同为正 数 反之为负数 依正弦定义 有 sin MP y 我们把 MP 叫做的正弦线 3 五点作图法 由上图我们不难发现 在函数 y sinx x 0 2 的图像上 起着关键作 用的有以下五个关键点关键点 0 0 1 0 1 2 0 描出这五个点后 2 2 3 函数 y sinx x 0 2 的图像的形状就基本上确定了 因此 在精确度要求不太高时 我 们常常先找出这五个关键点 然后用光滑曲线将它们连接起来 就得到这个函数的简图 我们称这种画正弦曲线的方法为 五点法 巩固深化 发展思维 1 例题剖析 例 1 用 五点法 画出下列函数在区间 0 2 上的简图 1 y sinx 2 y 1 sinx 解 1 列表 x0 2 2 3 2 y sinx 0 10 10 描点得 y sinx 的图像 略 见教材 P22 x y o y sinx 第 8 页 共 45 页 正弦函数诱导公式正弦函数诱导公式 1 公式 1 sin 360 k sin 2 对于任一 0 到 360 的角 有四种可能 其中 为不大于 90 的非负角 以下设 为任意角 为第四象限角 当 为第三象限角 当 为第二象限角 当 为第一象限角 当 360270360 270180180 18090180 900 3 公式 2 设 的终边与单位圆交于点 P x y 则 180 终边与单位圆交于点 P x y 由正弦线 可知 sin 180 sin 4 公式 3 如图 在单位圆中作出 与 角的终边 同样可得 sin sin 5 公式 4 由公式 2 和公式 3 可得 sin 180 sin 180 sin sin 同理可得 sin 180 sin 6 公式 5 sin 360 sin 巩固深化 发展思维巩固深化 发展思维 1 例题剖析 例 1 求下列函数值 1 sin 1650 2 sin 150 15 3 sin 4 7 例 2 化简 sin3sinsin 3sin2sin 正弦函数的性质正弦函数的性质 归纳得出结论 1 定义域 y sinx 的定义域为 R x y o P x y P x y M x y o P x y P x y 第 9 页 共 45 页 2 值域 引导回忆单位圆中的正弦函数线 结论 sinx 1 有界性 再看正弦函数线 图象 验证上述结论 所以 y sinx 的值域为 1 1 3 最值 1 对于 y sinx 当且仅当 x 2k k Z 时 ymax 1 2 当且仅当时 x 2k k Z 时 ymin 1 2 2 当 2k x 2k 1 k Z 时 y sinx 0 当 2k 1 x 2k k Z 时 y sinx 0 4 周期性 观察图象 1 正弦函数的图象是有规律不断重复出现的 2 规律是 每隔 2 重复出现一次 或者说每隔 2k k Z 重复出现 3 这个规律由诱导公式 sin 2k x sinx 也可以说明 结论 y sinx 的最小正周期为 2 5 奇偶性 sin x sinx x R y sinx x R 是奇函数 6 单调性 增区间为 2k 2k k Z 其值从 1 增至 1 2 2 减区间为 2k 2k k Z 其值从 1 减至 1 2 2 3 例 利用五点法画出函数 y sinx 1 的简图 根据函数图像和解析式讨论它的性质 练习 练习 1 若 则 3 3 6 sin 6 5 sin 2 若是方程的根 求的值 sin012 2 xx sin 3sin 3 化简 sin 3sin sin 5sin 2sin 4 已知 A B C 是的内角 求证 ABC ACBAsin 2sin x 2 0 2 2 3 sinx 1 010 1 第 10 页 共 45 页 5 若点 P 在的终边上 且 OP 2 则点 P 的坐标 3 2 A B C D 3 1 1 3 3 1 3 1 6 若是三角形的内角 且 则等于 2 1 sin A B 或C D 或 30 30 150 60 120 60 7 下列函数中 最小值为 1 的是 A B C D 1sin2 xy1cos yxysin21 xycos2 8 将函数的图象向左平移个单位 得到的图象 则等于xy4sin 12 4sin xy A B C D 12 3 3 12 9 下列四个命题中 正确的是 A 第一象限的角必是锐角B 锐角必是第一象限的角 C 终边相同的角必相等D 第二象限的角必大于第一象限 的角 10 用五点法作的图象时 首先应描出的五点的横坐标可以是 xy2sin2 A B C D 2 2 3 2 0 4 3 4 0 4 3 2 0 3 2 2 3 6 0 11 的取值范围是则ttx 3sin 12 函数取最大值时的集合是 6 2sin xyx 13 函数的周期是 值域是 1 6 2sin 3 xy 14 函数的周期是 则常数 2 6 sin 3 xy 2 15 函数的递增区间是 递减区间是 xysin 16 函数的递增区间是 递减区间是 xysin 17 函数的递增区间是 1 4 2sin xy 18 函数的递增区间是 注意 7 8 两题的区1 3 2sin xy 第 11 页 共 45 页 别 19 下列函数中 奇函数是 偶函数是 非奇非偶函数是 1 2 3 4 xysin 1sin xyxxysin xxysin 2 5 6 7 xxy 2 sin5sin xy 2 sinsinsinxxx 余弦函数的概念和诱导公式余弦函数的概念和诱导公式 1 余弦函数的定义 在直角坐标系中 设任意角 与单位圆交于点 P a b 那么点 P 的横坐标 a 叫做角余弦函数 记作 a cos R 通常我们用 x y 分别表示自变量与因变量 将余弦函数表示 为 y cosx x R 如图 有向线段 OM 称为角 的余弦线 其实 由相似三角形的知识 我们知道 只要已知角 的终边上任意一点 P 的坐标 a b 求出 OP 记为 r 则 角 的正弦和余弦分别为 sin cos y r b r a 2 余弦函数的诱导公式 从右图不难看出 角 和角 2 2 的终边 x 与单位圆的交点的横坐标是相同的 所以 它们的余弦函数值相等 角 和角 的终边与单位圆的交点的横坐标是相反数 所以 它们的余弦函数值互为相反数 由此归纳出公式 cos 2 cos cos cos cos 2 cos cos cos O r x y P a b M x y o P P x y MM M 第 12 页 共 45 页 cos cos 观察右图 角 与角 的正弦 余弦函数值可以得到 2 sin cos cos sin 2 2 以上公式统称为诱导公式 其中可以是任意角 利用诱导公式 可以将任意角的正 余 弦函数问题转化为锐角的正 余弦函数问题 巩固深化 发展思维巩固深化 发展思维 1 例题剖析 例 1 已知角 的终边经过点 P 2 4 如图 求角 的余弦 函数值 解 x 2 y 4 r OP 2 cos 5 r x 5 5 例 2 如果将例 1 中点 P 的坐标改为 2t 4t t 0 那么怎样求角 的余弦函数值 解 提示 在 r OP 2 t 中 分 t 0 和 t 0 两种情况 5 例 3 求值 1 cos 2 cos 3 cos 6 11 8 9 4 3 例 4 化简 cos3coscos 3cos2cos 余弦函数的图像与性质余弦函数的图像与性质 探究新知探究新知 1 余弦函数 y cosx 的图像 1 y cosx x R 与函数 y sin x x R 的图象相同 2 2 将 y sinx 的图象向左平移即得 y cosx 的图象 2 3 也同样可用五点法作图 y cosx x 0 2 的五个点关键是 0 1 0 2 1 0 2 1 2 3 2 y 4 P x 2 2 3 2 2 第 13 页 共 45 页 4 类似地 由于终边相同的三角函数性质 y cosx x 2k 2 k 1 k Z k 0 的图 像与 y cosx x 0 2 图像形状相同只是位置不同 向左右每次平移 2 个单位长度 2 余弦函数 y cosx 的性质 观察上图可以得到余弦函数 y cosx 有以下性质 1 定义域 y cosx 的定义域为 R 2 值域 y cosx 的值域为 1 1 即有 cosx 1 有界性 3 最值 对于 y cosx 当且仅当 x 2k k Z 时 ymax 1 当且仅当时 x 2k k Z 时 ymin 1 当 2k x0 2 2 当 2k x 2k k Z 时 y cosx0 且 A 1 的图象可以看作把正数曲线上的所有点的纵坐标伸长 A 1 或缩短 0 A 1 到原来的 A 倍得到的 2 若 A0 个单位或向右平移 个单位 0 得到的 性质讨论 不变的有定义域 值域 最值 周期 变化的有奇偶性 单调区间与单调性 由上例和练习可以看出 在函数 y sin x x R 0 中 决定了 x 0 时的 函数 通常称 为初相 x 为相位 1 作函数 y Asin x 的图象 1 用 五点法 作图 2 利用变换关系作图 2 函数 y sinx 的图象与函数 y Asin x 的图象间的变换关系 3 函数 y Asin x 中 A 的物理意义 4 函数 y Sinx 向左或右平移 个单位 y Sin x 的图象横坐标缩短或伸长原来 的 y Sin x 的图象纵坐标伸长或缩短到原来的 A 倍 y ASin x 的图 1 象 5 函数 Y 3sin 3X 3 振幅 3 周期 2 3 频率 3 2 初相 3 练习练习 1 已知函数 y 3sin x 5 x R 的图象为 C 1 为了得到函数 y 3sin x 5 x R 的图象 只需把 C 上所有的点 A 向左平行移动 5 个单位长度 B 向右平行移动 5 个单位 x 3 6 3 2 6 7 3 5 sin x 3 01 0 10 y sin x 4 y sin x 3 2 y sinx 第 21 页 共 45 页 长度 C 向左平行移动 2 5 个单位长度 D 向右平行移动 2 5 个单 位长度 2 为了得到函数 y 3sin 2x y 3sin 2x 5 5 x Rx R 的图象 只需把 C 上所有的点 A 横坐标伸长到原来的 2 倍 纵坐标不变 B 横坐标缩短到原来的 1 2 倍 纵坐标不变 C 纵坐标伸长到原来的 2 倍 横坐标不变 D 纵坐标伸长到原来的 1 2 倍 横坐标不变 3 为了得到函数 y 4sin x 5 x R 的图象 只需把 C 上所有的点 A 横坐标伸长到原来的 4 3 倍 纵坐标不变 B 横坐标缩短到原来的 3 4 倍 纵坐标不变 C 纵坐标伸长到原来的 4 3 倍 横坐标不变 D 纵坐标伸长到原来的 3 4 倍 横坐标不变 4 用五点法作出函数的图象并说明这个图象可由余弦函数的图象经过如何变换 得到 1 3cos 24 yx 函数函数 y y Asin xAsin x 的性质的性质 函数的物理意义 0 0 0 sin AxxAy其中 函数表示一个振动量时 A 这个量振动时离开平衡位置的最大距离 称为 振幅 T 往复振动一次所需的时间 称为 周期 2 T f 单位时间内往返振动的次数 称为 频率 2 1 T f 称为相位 x 0 时的相位 称为 初相 x 例例 1 1 函数的最小值是 2 其图象最高点与最 2 0 0 sin AxAy 低点横坐标差是 3 又 图象过点 0 1 求函数解析式 解 易知 A 2 半周期 T 6 即 从而 3 2 T 6 2 3 1 设 令x 0 有 3 1 sin 2 xy1sin2 又 所求函数解析式为 2 6 63 1 sin 2 xy 例 2 求下列函数的最大值 最小值 以及达到最大值 最小值时 x 的集合 第 22 页 共 45 页 1 y sinx 2 2 y sinx 3 y cos 3x 3 4 2 1 2 1 4 解 1 当 x 2k k Z 时 sinx 取最大值 1 此时函数 y sinx 2 取最大值 2 1 当 x 2k k Z 时 sinx 取最小值 1 此时函数 y sinx 2 取最小值 3 2 3 2 3 略 见教材 P59 例 3 1 求函数 y 2sin x 的递增区间 2 求函数 y cos 4x 的递 2 1 3 3 1 6 5 减区间 同角的两个重要公式同角的两个重要公式 1cossin 22 tan cos sin 三角函数三角函数 全章全章 知识综合总结知识综合总结 正角 按逆时针方向旋转形成的角 1 任意角负角 按顺时针方向旋转形成的角 零角 不作任何旋转形成的角 2 角的顶点与原点重合 角的始边与轴的非负半轴重合 终边落在第几象 x 限 则称为第几象限角 第一象限角的集合为 36036090 kkk 第二象限角的集合为 36090360180 kkk 第三象限角的集合为 360180360270 kkk 第四象限角的集合为 360270360360 kkk 终边在轴上的角的集合为x 180 kk 终边在轴上的角的集合为y 18090 kk 终边在坐标轴上的角的集合为 90 kk 3 与角终边相同的角的集合为 360 kk 4 已知是第几象限角 确定所在象限的方法 先把各象限均分 n n 第 23 页 共 45 页 P v x y A O M T 等份 再从轴的正半轴的上方起 依次将各区域标上一 二 三 四 则nx 原来是第几象限对应的标号即为终边所落在的区域 n 5 长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 弧度 1 6 半径为 的圆的圆心角所对弧的长为 则角的弧度数的绝对值是r l l r 7 弧度制与角度制的换算公式 2360 1 180 180 157 3 8 若扇形的圆心角为 半径为 弧长为 周长为 面积为 为弧度制rlC 则 Slr 2Crl 2 11 22 Slrr 9 设是一个任意大小的角 的终边上任意一点的坐标是 它与原 x y 点的距离是 则 22 0r rxy sin y r cos x r tan0 y x x 10 三角函数在各象限的符号 第一象限全为正 第二象限正弦为正 第三象 限正切为正 第四象限余弦为正 11 三角函数线 sin cos tan A 12 同角三角函数的基本关系 22 1 sincos1 2222 sin1 cos cos1 sin sin 2tan cos sin sintancos cos tan 13 三角函数的诱导公式 1 sin 2sink cos 2cosk tan 2tankk 2 sinsin coscos tantan 3 sinsin coscos tantan 4 sinsin coscos tantan 口诀 函数名称不变 符号看象限 5 sincos 2 cossin 2 6 sincos 2 cossin 2 第 24 页 共 45 页 口诀 正余弦互换 符号看象限 14 函数的图象上所有点向左 右 平移个单位长度 得到函数sinyx 的图象 再将函数的图象上所有点的横坐标伸长 sinyx sinyx 缩短 到原来的倍 纵坐标不变 得到函数的图象 再将 1 sinyx 函数的图象上所有点的纵坐标伸长 缩短 到原来的倍 横 sinyx A 坐标不变 得到函数的图象 sinyx A 函数的图象上所有点的横坐标伸长 缩短 到原来的倍 纵坐标不sinyx 1 变 得到函数 的图象 再将函数的图象上所有点向左 右 平移个单sinyx sinyx 位长度 得到函数的图象 再将函数的图象上所 sinyx sinyx 有点的纵坐标伸长 缩短 到原来的倍 横坐标不变 得到函数A 的图象 sinyx A 函数的性质 sin0 0yx A A 振幅 周期 频率 相位 初A 2 1 2 f x 相 函数 当时 取得最小值为 当时 取得 sinyx A 1 xx min y 2 xx 最大值为 则 max y maxmin 1 2 yyA maxmin 1 2 yy 2112 2 xxxx 15 正弦函数 余弦函数和正切函数的图象与性质 sinyx cosyx tanyx 图 象 定 义 域 RR 2 x xkk 函 数 性 质 第 25 页 共 45 页 值 域 1 1 1 1 R 最 值 当时 2 2 xk k 当 max 1y 2 2 xk 时 k min 1y 当时 2xkk 当 max 1y 2xk 时 k min 1y 既无最大值也无最小值 周 期 性 2 2 奇 偶 性 奇函数偶函数奇函数 单 调 性 在2 2 22 kk 上是增函数 在 k 3 2 2 22 kk 上是减函数 k 在上 2 2kkk 是增函数 在 2 2kk 上是减函数 k 在 22 kk 上是增函数 k 对 称 性 对称中心 0kk 对称轴 2 xkk 对称中心 0 2 kk 对称轴 xkk 对称中心 0 2 k k 无对称轴 三角函数三角函数 全章综合测试全章综合测试 一 选择题 每小题一 选择题 每小题 5 5 分 共计分 共计 6060 分 分 1 则的终边在 6 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 2 把角化成的形式 其中 正确的是 18 7 2 k 02 k Z A B C D 11 7 4 2 7 3 3 7 10 4 7 3 角的终边过 则下列结论正确的是 43Paa 0a A B C D 3 sin 5 4 cos 5 4 tan 3 3 tan 4 4 若 则的终边在 5 sin 13 12 tan 5 第 26 页 共 45 页 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 5 是定义在上的奇函数 且 则 f xR 5f xf x 175f 2f A 5 B C 0 D 5 1 5 6 函数的值域为 sinyx 2 33 x A B C D 1 1 1 1 2 13 22 3 1 2 7 函数的对称轴方程为 3sin 2 4 yx A B C D 4 x 4 x 8 x 8 x 8 若的终边关于轴对称 则必有 y A B 21 kk Z 2 C D2 kk Z 2 2 kk Z 9 下列关系式中 不正确的是 A B C D 4 2 sinsin 55 cos cos3 tan1sin1 sin1cos1 10 函数为增函数的区间是 2sin2 0 6 yxx A B C D 0 3 7 1212 5 36 5 6 11 若 且 则 0 2 sincos0 A B C D 2 2 12 若 则的取值范围是 2 sin1 log x x A B C D 14 1 1 4 24 1 4 4 二 填空题 每小题二 填空题 每小题 5 5 分 共计分 共计 2525 分 分 13 与角终边相同的最大负角是 1680 14 已知扇形的周长为 圆心角为 则该扇形的面积为 10cm3rad 15 若函数的最小正周期为 则正数 sin 5 f xkx 2 3 k 16 已知的终边经过点 且 则的取值范围是 392aa sin0cos0 17 关于函数 有下列命题 4sin 2 3 f xxx R 由可得必是的整数倍 12 0f xf x 12 xx 的表达式可改写为 yf x 4cos 2 6 yx 的图象关于点对称 的图象关于直线对称 yf x 0 6 yf x 6 x 第 27 页 共 45 页 其中正确的命题的序号是 注 把你认为正确的命题的序号都填上 三 解答题三 解答题 6565 分 分 18 12 分 已知 求的值 1 cos 45 x 3 cos 4 x 19 13 分 已知 且 求和的值 1 sincos 5 0 sincos sincos 20 12 分 求函数的最大值 2 sincosyxaxa 21 14 分 已知函数 3sin 2 4 yx 求该函数的递增区间 求该函数的最小值 并给出此时的取值集合x 22 14 分 已知函数 2 sinsinf xxxa 当有实数解时 求的取值范围 0f x a 若 有 求的取值范围x R 17 1 4 f x a 第 28 页 共 45 页 第二章 平面向量 基本知识回顾 1 向量的概念 既有大小又有方向的量叫向量 有二个要素 大小 方向 例 下列物理量中 不能称为向量的是 A 质量 B 速度 C 位移 D 力 2 向量的表示方法 用有向线段表示 几何表示法 AB 用字母 等表示 字母表示法 a b 平面向量的坐标表示 坐标表示法 分别取与轴 轴方向相同的两个单位向量 作为基底 任作一个向xyi j 量 由平面向量基本定理知 有且只有一对实数 使得 a xya xiyj 叫做向量的 直角 坐标 记作 其中叫做在轴上的坐 yxa ax y xax 标 叫做在轴上的坐标 特别地 yayi 1 0 j 0 1 0 0 0 若 则 22 axy 11 yxA 22 yxB 1212 yyxxAB 22 2121 ABxxyy 3 零向量 单位向量 长度为 0 的向量叫零向量 记为 0 长度为 1 个单位长度的向量 叫单位向量 注 就是单位向量 a a 4 平行向量 方向相同或相反的非零向量叫平行向量 我们规定与任一向量平行 向量 平行 记作 共线向量0 a b c a b c 与平行向量关系 平行向量就是共线向量 性质 是唯一 0 ab bab ba ba ab 0 与同向 方向 0 与反向 长度 第 29 页 共 45 页 其中 1221 0 0ab bx yx y 1122 ax ybxy 5 相等向量和垂直向量 相等向量 长度相等且方向相同的向量叫相等向量 垂直向量 两向量的夹角为 2 性质 0aba b A 其中 1212 0abx xy y 1122 ax ybxy 6 向量的加法 减法 求两个向量和的运算 叫做向量的加法 向量加法的三角形法则和平行四边 形法则 平行四边形法则 起点相同的两向量相加 常要构造平行四边形 ACab DBab 三角形法则 加法首尾相连 减法终点相连方向指向被减数 加法法则的推广 112n ABABB B 1nn BB 即个向量 首尾相连成一个封闭图形 则有 n 12 a a n a 12 aa 0 n a 向量的减法向量加上的相反向量 叫做与的差 即 a b a b a b a b 差向量的意义 则 OAa OBb BAa b 平面向量的坐标运算 若 则 11 ax y 22 bxy ab 2121 yyxx ab 2121 yyxx axy 向量加法的交换律 向量加法的结合律 abbaabcab c 常用结论 1 若 则 D 是 AB 的中点 1 2 ADABAC 2 或 G 是 ABC 的重心 则0GAGBGC 第 30 页 共 45 页 7 向量的模 1 定义 向量的大小 记为 或 a AB 2 模的求法 若 则 ax y a 22 xy 若 则 1122 A x yB xyAB 22 2121 xxyy 3 性质 1 实数与向量的转化关系 2 2 aa 22 0 ab bab 2 反之不然 22 abab 3 三角不等式 ababab 4 当且仅当共线时取 a ba b A a b 即当同向时 即当同反向时 a b a ba b A a b a ba b A 5 平行四边形四条边的平方和等于其对角线的平方和 即 2222 2 2 ababab 8 实数与向量的积 实数 与向量的积是一个向量 记作 a a 1 a a 2 0 时 与方向相同 0 当与异向时 a b a b b b 且a a与b b同向 则a a b b D 对于任意向量a a b b 必有 a a b b a a b b 解析 向量既有大小又有方向 向量不能比较大小 向量的模可以比较大小 方向相同或相反的非零向量叫平行向量 即共线向量 答案 D 2 两个非零向量的模相等是两个向量相等的什么条件 A 充分不必要 B 必要不充分 C 充要 D 既不充分也不必要 解析 向量相等向量的模相等 但向量的模相等向量相等 答案 B 3 在四边形ABCD中 则 ADABAC A ABCD是矩形 B ABCD是菱形 C ABCD是正方形 D ABCD是平行四边形 解析 由可知AC就是以AB AD为邻边的平行四边形的对角线 ADABAC 所以四边形ABCD为平行四边形 答案 D 4 已知 a a 5b b 2a a 8b b 3 a a b b 则 ABBCCD A A B D三点共线 B A B C三点共线 第 39 页 共 45 页 C B C D三点共线 D A C D三点共线 解析 a a 13b b 2a a 10b b 2 a a 5b b 2 BCABAC CDACAD AB 与共线 且共点A A B D三点共线 答案 AADAB 5 当 a a b b 0 且a a b b不共线时 a a b b与a a b b的关系是 A 平行 B 垂直 C 相交但不垂直 D 相等 解析 当a a与b b不共线时 a a b b与a a b b分别是以a a b b为邻边的平行四边形的两 条对角线 由 a a b b 0 可知该平行四边形为菱形 a a b b与a a b b垂直 答案 B 6 在ABCD中 错误的式子是 A B C D BDABAD DBABAD ACBCAB 答案 BACABAD 7 设a a是非零向量 是非零实数 下列命题中是真命题的是 A a a与 a a的方向相反 B a a a a C a a与 2a a的方向相同 D a a a a 解析 1 a a a a 2 当 0 时 a a与a a方向相同 当 0 时 a a与a a方向相反 答案 C 8 已知正方形的边长为 1 a a b b c c 则 a a b b c c 等于 ABBCAC A 0 B 3 C D 222 解析 a a b b c c 2c c 2 c c 答案 D22112 22 第三章 三角恒等变换 1 两角和与差的正弦 余弦和正切公式 coscoscossinsin coscoscossinsin sinsincoscossin sinsincoscossin tantan tan 1tantan tantantan1tantan 第 40 页 共 45 页 tantan tan 1 tantan tantantan1 tantan 2 二倍角的正弦 余弦和正切公式 sin22sincos 2222 cos2cossin2cos1 1 2sin 2 cos21 cos 2 2 1 cos2 sin 2 26 其中 2 2tan tan2 1 tan 22 sincossin A A tan A 基础练习基础练习 1 1 1 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 已知 则 0 2 x 4 cos 5 x x2tan A 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 B 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 C 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 D 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 24 7 24 7 7 24 7 24 2 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 函数 的最小正周期是 3sin4cos5yxx A 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 B 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 C 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 D 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 5 2 2 3 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 在 ABC 中 则 ABC 为 coscossinsinABAB A 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 锐角三角形 B 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 直角三角形 C 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 钝角三角形 D 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 无法判定 4 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 设 00 sin14cos14a 00 sin16cos16b 6 2 c 则大小关系 a b c A 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 B 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 abc bac C 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 D 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 cba acb 5 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 函数 是 2sin 2 cos 2 yxx A 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 周期为 的奇函数 B 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 周期为 的偶函数 C 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 周期为 的奇函数 D 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 周 4 4 2 期为的偶函数 2 6 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 已知 则的值为 2 cos2 3 44 sincos A 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 B 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 C 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 D 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 18 13 18 11 9 7 1 7 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 求值 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 0000 tan20tan403tan20 tan40 8 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 若 则 头 头