高三数学(理科)综合内切球和外接球问题(附习题)

高考数学中的内切球和外接球问题高考数学中的内切球和外接球问题 一 一 有关外接球的问题有关外接球的问题 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上 那么称这个多面体是球的内接多面体 这个球称为多面体的外接球 有关多面体外接球的问题 是立体几何的一个重点 也是高考 考查的一个热点 一 直接法一 直接法 公式法公式法 1 求正方体的外接球的有关问题求正方体的外接球的有关问题 例 1 若棱长为 3 的正方体的顶点都在同一球面上 则该球的表面积为 解析 球的半径可转化为先求正方体的体对角线长 再计算半径 故表面积为27 例 2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上 若该正方体的表面积为24 则该球 的体积为 4 3 2 求长方体的外接球的有关问题 求长方体的外接球的有关问题 例 3 2007 年天津高考题 一个长方体的各顶点均在同一球面上 且一个顶点上的三 条棱长分别为1 2 3 则此球的表面积为 解析 体对角线正好为球的直径 长方体体对角线长为 14 故球的表面积为14 例 4 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4 体积为 16 则这个球的表面积 为 C A 16 B 20 C 24 D 32 解析 长 宽 高分别为 2 2 4 3 求多面体的外接球的有关问题求多面体的外接球的有关问题 例 5 一个六棱柱的底面是正六边形 其侧棱垂直于底面 已知该六棱柱的顶点都在同 一个球面上 且该六棱柱的体积为 底面周长为 则这个球的体积为 9 8 解 设正六棱柱的底面边长为 高为 则有 xh 2 63 1 2 93 6 3 84 x x x h h 正六棱柱的底面圆的半径 球心到底面的距离 外接球的半径 1 2 r 3 2 d 22 1Rrd 4 3 V 球 小结 本题是运用公式求球的半径的 该公式是求球的半径的常用公式 222 Rrd 二 构造法二 构造法 补形法补形法 1 构造正方体 构造正方体 例 5 若三棱锥的三条侧棱两两垂直 且侧棱长均为 3 则其外接球的表面积是 9 解 把这个三棱锥可以补成一个棱长为的正方体 于是正方体的外接球就是三棱 3 锥的外接球 则有 故表面积 222 2 23339R 2 9 4 R 2 49SR 小结 一般地 若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直 且其长度分别为 则就 abc 可以将这个三棱锥补成一个长方体 于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的 直径 设其外接球的半径为 则有 R 222 2Rabc 出现 墙角 结构利用补形知识 联系长方体 例 6 一个四面体的所有棱长都为 2 四个顶点在同一球面上 则此球的表面积为 A A 3 B 4 C 3 3 D 6 解析 联想只有正方体中有这么多相等的线段 所以构造一个正方体 再寻找棱长相 等的四面体 如图 2 四面体满足条件 由此可求得正方体的棱长为 1 体对角线为 3 从而外接球的直径也为 3 例 7 2006 年山东高考题 在等腰梯形ABCD中 AB 2DC 2 0 DAB 60 E为AB的中点 将ADE 与 BEC 分布沿ED EC向上折起 使A B 重合于点P 则三棱锥P DCE的外接球的体积为 C A 4 3 27 B 6 2 C 6 8 D 6 24 解析 如图 3 AE EB BC DC DE CE 1AD 即三棱锥P DCE为正四面体 至此 这与例 6 就完全相同了 例 8 2008 年浙江高考题 已知球O的面上四点 A B C D DA ABC 平面 AB BC DA AB BC 3 则球O的体积等于 解析 DA AB BC 3 则此长方体为正方体 所以CD长即为外接球的直径 利 A B E D C D C E P 图 3 用直角三角形解出CD 3 故球O的体积等于 9 2 如图 4 2 构造长方体 构造长方体 例 9 已知点 A B C D 在同一个球面上 BBCDA 平面 BC DC 若 6 AC 2 13 AD 8AB 则球的体积是 解析 构造下面的长方体 于是AD为球的直径 如图 5 三三 寻求轴截面圆半径法寻求轴截面圆半径法 例 4 正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为 点都 SABCD 2SABCD 在同一球面上 则此球的体积为 解 球心必在所在的直线上 O1SO C D A B S O1 图 3 D A CB O 图 4 A C B D O 图 5 的外接圆就是外接球的一个轴截面圆 外接圆的半径就是外接球的半径 ASC 在中 由 得 ASC 22SASCAC 222 SASCAC ASCAC 是以为斜边的R t 是外接圆的半径 也是外接球的半径 故 1 2 AC 4 3 V 球 五五 确定球心位置法确定球心位置法 例 5 在矩形中 沿将矩形折成一个直二面角 ABCD 4 3ABBC ACABCD 则四面体的外接球的体积为 C BACD ABCD A B C D 125 12 125 9 125 6 125 3 解 点到四面体的四个顶点的距离相等 即点 OABCD 为四面体的外接球的球心 故 O 5 2 ROA 3 4125 36 VR 球 例题 已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上 且 求球的体积 解 所以知所以 取斜边的中点 即为该四面体的外接球的球心 所以该外接球的体积为 C AO D B图 4 1 1 陕西理 陕西理 6 6 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 1 的球面上 其中底面的三个顶 点在该球的一个大圆上 则该正三棱锥的体积是 A 4 33 B 3 3 C 4 3 D 12 3 答案答案 B B 2 直三棱柱 111 ABCABC 的各顶点都在同一球面上 若 1 2ABACAA 120BAC 则此球的表面积等于 解 在ABC 中2ABAC 120BAC 可得2 3BC 由正弦定理 可得ABC 外接圆半径 r 2 设此圆圆心为 O 球心为O 在RT OBO 中 易得球半径5R 故此球的表面积为 2 420R 3 正三棱柱 111 ABCABC 内接于半径为2的球 若 A B两点的球面距离为 则正三棱 柱的体积为 答案 8 4 4 表面积为2 3 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上 则此球的体积为 A 2 3 B 1 3 C 2 3 D 2 2 3 答案答案 A 解析解析 此正八面体是每个面的边长均为a的正三角形 所以由 2 3 82 3 4 a 知 1a 则此球的直径为2 故选 A 5 5 已知正方体外接球的体积是 3 32 那么正方体的棱长等于 A 22 B 3 32 C 3 24 D 3 34 答案答案 D 6 6 20062006 山东卷 山东卷 正方体的内切球与其外接球的体积之比为 A 1 3 B 1 3 C 1 33 D 1 9 答案答案 C 7 7 2008 海南 宁夏理科 海南 宁夏理科 一个六棱柱的底面是正六边 形 其侧棱垂直底面 已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上 且该六棱柱的体积为 9 8 底面周长为 3 则这个球的体积为 答案答案 3 4 8 2007 天津理天津理 12 一个长方体的各顶点均在同一球的球面上 且一个顶点上的三条棱 的长分别为 1 2 3 则此球的表面积为 答案答案 14 9 2007 全国全国 理理 15 一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为 2 cm 的球面上 如果正四 棱柱的底面边长为 1 cm 那么该棱柱的表面积为 cm2 答案答案 24 2 10 2006 辽宁辽宁 如图 半径为 2 的半球内有一内接正六棱锥PABCDEF 则此正六棱 锥的侧面积是 答案答案 6 7 11 11 辽宁省抚顺一中 辽宁省抚顺一中 20092009 届高三数学上学期第一次月考届高三数学上学期第一次月考 棱长为 2 的正四面体的四个顶点都在同一个 球面上 若过该球球心的一个截面如图 则图中 三角形 正四面体的截面 的面积是 答案答案 2 12 2009 枣庄一模 一个几何体的三视图如右图所示 则该几何体外接球的表面积为 A 3B 2 C 3 16 D 以上都不对 答案 C 13 吉林省吉林市吉林省吉林市 2008 届上期末届上期末 设正方体的棱长为 则它的外接球的表面积为 2 3 3 A B C P D E F A 3 8 B 2 C 4 D 3 4 答案答案 C 1 2012