刚体转动习题课

第四章习题课 内容提要 1 刚体的平动和转动 1 平动刚体上任意两点的确定的直线在运动中保持不变 刚体平动时 各点的 相同 可以用一组线量描述 所以刚体的平动可用质心为代表 用质点力学处理 2 定轴转动刚体上所有点绕某一固定直线作圆周运动 刚体定轴转动时 各点的 相同 可以用一组角量来描述 线量与角量的关系 2 力矩和转动惯量 力矩 转动惯量 3 转动定律 对应同一转轴 两种解法 1 根据定义的普通解法 应注意dm的取法 2 利用已有结果解 匀质细杆 园盘等 4 角动量 角动量定理及角动量守恒 刚体角动量 角动量定理 5 转动动能定理 刚体 质点的角动量 L 恒量 7 刚体定轴转动和质点运动对照表 质点运动 刚体定轴转动 位移 角位移 速度 角速度 加速度 角加速度 质量 转动惯量 力 力矩 牛顿定律 转动定律 质点运动 刚体定轴转动 动量 角动量 角动量 角动量定理 动量定理 角动量守恒定律 动量守恒定律 力矩的功 力的功 质点运动 刚体定轴转动 动能 动能定理 转动动能定理 转动动能 重力势能 重力势能 机械能守恒 机械能守恒 P142习题 4 1 B 4 2 B 4 3 C 4 4 C 4 4 B 09 1 花样滑冰运动员绕通过自身的坚直轴转动 开始时两臂伸开 转动惯量为J0 角速度为 0 然后将两臂收回使转动惯量减少为J0 3 此时她转动的角速度变为 09 2 如图所示 一质量为m半径为R的薄圆盘 可绕通过其一直径的光滑固定轴AA 转动 转动惯量为J mR2 4 该园盘从静止开始在恒力矩M作用下转动 t秒后位于圆盘边缘上与轴AA 的垂直距离为R的B点的切向加速度at 法向加速度an A A 1 D B 09 3 地球的自转角速度可以认为是恒定的 地球对于自转轴的转动惯量为J 9 8X1037kg m2 地球对于自转轴的角动量L 09 4 一轻绳跨过一具有水平光滑轴质量为M的定滑轮 绳的两端分别悬挂质量为m1 m2的物体 m1 m2 轻绳不可伸缩且与滑轮间无相对滑动 若某时刻滑轮沿逆时针方向转动 则绳中的张力 T2 T1 A 处处相等 B 左边大于右边 C 右边大于左边 D 哪边大无法判断 09 5 一飞轮作匀减速转动 在5s内角速度从40 rad s减到10 rad s 则飞轮在5s内总共转了圈 飞轮再经的时间才能停止转动 4答 C 09 6 一转动惯量为J的圆盘绕一固定轴转动 初角速度为 0 设它所受阻力矩与转动角速度成正比M k k为正常数 求圆盘的角速度从 0变为 0 2时所需的时间 5分 解 据转动定律 09 7 一块宽L 0 60m 质量M 1kg的均匀薄木板可绕水平固定轴OO 无摩擦自由转动 当木板静止在平衡位置时 有一质量为m 10 10 3kg子弹垂直击中木板A点 A点离转轴距离 0 36m 子弹击中木板前的速度为500m s 穿出木板后的速度为200m s 已知绕OO 轴的转动惯量为J ML2 3 10分 求 1 子弹给予木板的冲量 2 木板获得的角速度 O O L A 解 1 子弹受到的冲量为 O O L 子弹对木板的冲量方向与相同 2 由角动量定理 09 8 一质量为m的物体悬于一条轻绳的一端 绳的另一端绕在一轮轴的轴上 如图所示 轴水平且垂直于轮轴面 其半径为r 整个装置架在光滑的固定轴承之上 当物体从静止释放后 在时间t内下降了一段距离S 度求整个轮轴的转动惯量 用m r t s表示 10分 m O r 解 受力分析如图所示 m O r T mg a T 08 1 一自由悬挂的匀质细棒OA 可绕O端在竖直平面内自由转动 现使棒从水平位置由静止开始自由下落 在棒摆动到竖直位置的过程中 下述说法哪个正确 A 角速度从小到大 角加速度从大到小 B 角速度从小到大 角加速度从小到大 C 角速度从大到小 角加速度从大到小 D 角速度从大到小 角加速度从小到大 O A 08 2 可绕水平轴转动的飞轮 直径为1 0m 一条绳子绕在飞轮的外周边缘上 如果飞轮从静止开始做匀角加速度运动且在4s内绳被展开10m 则飞轮的角加速度为 3 一个作定轴转动的物体 转动惯量为J 正以角速度10rad s匀速转动 现对物体加一恒定制动力矩M 0 5N m 经过5s后物体停止转动 物体的转动惯量J 1 A 1 3题各3分 08 4 两个匀质圆盘 一大一小 同轴地粘结在一起 构成一个组合轮 小圆盘的半径为r 质量为m 大圆盘的半径为r 2r 质量为m 2m 组合轮可绕通过其中心垂直于盘面的光滑水平固定轴O转动 转动惯量J 9mr2 2 两圆盘边缘上分别绕有轻质细绳 下端各悬挂质量为m的物体A和B 如图所示 这一系统从静止开始运动 绳与盘无相对滑动 绳长不变 已知r 10m 求 10分 1 组合轮的角加速度 2 当物体A上升h 40cm时 组合轮的角速度 A B m r m r O A B m r m r O T T 解 1 2 设过 为组合轮转过的角度 08 5 如图所示 一半径为R的匀质小木球固结在一长度为的匀质细棒的下端 且可绕水平光滑固定轴O转动 今有一质量为m 速度为的子弹 沿着与水平面成角的方向射向球心 且嵌于球心 已知小木球 细棒对轴转动惯量总和为J 求子弹嵌入球心后系统的共同角速度 5分 O R O R 解 选子弹 细棒 小木球为系统 子弹射入时系统所受合外力矩为零 系统对转轴的角动量守恒 07 1 一个作定轴转动的轮子 转动惯量为J 2 0kg m2 正以角速度 0匀速转动 现对轮子加一恒定力矩M 12N m 经过8s后轮子的角速度 0 则 0 07 2 一质量为15kg 半径为0 30m的圆柱体可绕与其几何轴重合的水平固定轴转动 现以一不能伸长的轻绳绕于柱面 而在绳的下端悬一质量m 8 0kg的物体 不计圆柱与轴的摩擦求 1 物体自静止下落 5s内下落的距离 2 绳中的张力 mg T Mg F 0709 3 一均匀木杆质量为m1 1kg 长 0 4m 可绕通过它的中点且与杆身垂直的光滑水平固定轴在竖直平面内转动 设杆静止于竖直位置时 一质量为m2 10g的子弹在距杆中点 4处穿透木杆 穿透所用时间不计 子弹初速度的大小为 200m s 方向与杆和轴均垂直 穿出后子弹速度大小减为 50m s方向不变 求子弹刚穿出的瞬时 杆的角速度的大小 木杆绕通过中点垂直轴的转动惯量J m1l2 12 O 解 子弹与杆系统外力矩为霍 角动量守恒 1 有一长方形的匀质薄板 长为a 宽为b 质量为m 分别求此薄板以下列直线为轴的转动惯量 1 长边 2 短边 3 通过其中心而垂直与板面 1 另解 2 竖分 2 1 据定义的普通解法 2 据已有结果解 3 解 2 取 补偿法 要注意质量 一个大园盘挖去一个小园盘后绕中心垂直轴的J 2 如图所示 一均匀细棒 长为l 质量为m 可绕过棒端且垂直于棒的光滑水平固定轴O在竖直平面内转动 棒被拉到水平位置从静止开始下落 当它转到竖直位置时 与放在地面上一静止的质量亦为m的小滑块碰撞 碰撞时间极短 小滑块与地面间的摩擦系数为 碰后滑块移动距离S后停止 而棒继续沿原转动方向转动 直到达到最大摆角 求 碰撞后棒的中点C离地面的最大高度h 过程 棒下落过程 棒 地球系统 机械能守恒 过程 棒与滑块系统碰撞过程中 对O轴的角动量守恒 过程 对滑块由动能定理 对棒 地球系统 棒上升过程中 机械能守恒 选细棒和两个小物体为一系统 角动量守恒 不变 4 空心圆环可绕光滑的竖直轴自由转动 转动惯量为 环的半径为 初始时 环的角速度为 质量为的小球静止在环内最高处点 由于某种微小干扰 小球沿环向下滑动 问小球滑到与环心在同一高度的点和环的最低处的点时 环的角速度及小球相对于环的速度各为 设环的内壁和小球都是光滑的 小球可视为质点 环截面积 选环和小球为一个系统 角动量守恒 选环 小球和地球为一个系统 机械能守恒 以点为势能零点 联立解得B处环的角速度及小球相对于环的速度 同理可得C点的速度 选环 小球和地球为一个系统 机械能守恒 以点为势能零点 选环和小球为一个系统 角动量守恒 5 一根放在水平光滑桌面上的匀质棒 可绕通过其一端的竖直固定光滑轴转动 棒的质量为长度为对轴的转动惯量为 初始时棒静止 今有一水平运动的子弹垂直地射入棒的另一端 并留在棒中 子弹的质量速率 问 1 棒开始和子弹一起转动时角速度 2 若棒转动时受到大小为的恒阻力矩作用 棒能转过的角度 1 角动量守恒 o 2 转动定律 转动定律 6 一轻绳绕过一定滑轮 滑轮的质量为M 4 均匀分布在其边缘上 绳子的端有一质量为的人抓住绳端 而在另一端系着一个质量为的重物 人从静止开始以相对绳匀速向上爬时 绳与滑轮间无相对滑动 求端重物上升的加速度 滑轮对过滑轮中心且垂直与轮面的轴的转动惯量 选重物为研究对象 地面为参考系 选滑轮为研究对象 地面为参考系 选人为研究对象 绳子为参考系 只介绍注意点 如以地为参考系 7 一轴承光滑的定滑轮 质量为 半径为 一根不能伸展的轻绳 一段固定在定滑轮上 在另一端系一质量为的物体 定滑轮的转动惯量 已知定滑轮的初角速度 其方向垂直纸面向里 求 1 定滑轮的角加速度 2 定滑轮的角速度等于零时物体上升的高度 3 当物体回到原位置时定滑轮的角速度 对物体 滑轮 1 T T 2 3 因机械能守恒 故 一长为的轻质细杆 两端分别固定质量为和的小球 此系统在竖直平面内可绕过中点且与杆垂直的水平光滑固定轴 轴 转动 开始时杆与水平成角 处于静止状态 无初转速地释放以后 杆球这一刚体系统绕轴转动 系统绕轴的转动惯量为释放后 当杆转到水平位置时 刚体的合外力矩为角加速度为 填空题 取转轴的正方向为垂直纸面向里 由转动定律 8 一匀质的薄圆盘状飞轮 质量为m 半径为R 绕过盘心且垂直盘面的竖直轴转动 轴的摩擦忽略不计 当它以初角速度 0转动时 由于上下表面受到空气的摩擦阻力矩的作用 会慢慢停下来 假设空气对盘表面任意点附近单位面积上的摩擦力正比于该点处的线速度大小 比例常数为k 求它一共能转多少圈 X 解此题的关键是求出摩擦阻力矩 为此首先要明确摩擦阻力矩有什么特点 因为单位面积受到的摩擦阻力 正比于该点处的线速度 所以飞轮转动时 距转轴距离相等的各点处 单位面积的摩擦力大小一样 方向不同 但它们产生的力矩方向相同 转动过程中 由于角速度 不断变化 所以同一点处摩擦力的大小也要随时间变化 是一个变力矩的问题 方法 一种是应用转动定律 一种是应用角动量定理 方法一 应用转动定律 单位面积元所受的摩擦力为 圆环上所有面元的力矩方向相同 即均向里 由转动定律 方法二 角动量定理 因为力矩和角动量方向在同一直线上 例9 试求阿特武德机两侧悬挂的质量分别为m1 m2的重物的加速度及绳中的张力