数学教学要把数学思想放在首位.doc

数学教学要把数学思想放在首位毛美玲人类在长期解决数学问题的进程中，总结了很多解题方法(如待定系数法、数学归纳法等等) ，形成了许多的数学思想(如数形结合、分类思想、函数与方程思想、化归思想等) 。形象地说，一个方法就像一把钥匙，而一把钥匙只能开一把锁，如待定系数法，仅能解决知道结果形式的问题;数学归纳法只能解决与自然数有关的问题。而数学思想就相当于制造钥匙的原理。如果把技巧比作交通工具，方法比作方式，那么思想就是指示方向的路标和灯塔，解决任何问题无不是在某种思想的指导下进行。在教学实践中，我深深地体会到:只有用数学思想武装起来的学生解决问题才有远见和洞察力；只有把人类知识积累的思想财富运用于课堂教学的始终，才能使人们的教学朝气蓬勃，充满生机，才能叩开学生思维大门，培养他们的创造意识，才能把课堂变为同学们吐露才华的幸福乐园。下面就是我在教学中的初步做法。1. 把分类讨论的思想贯穿于教学之中。中学生有个弱点，那就是害怕讨论问题。虽然他们有时也把一个问题分成几种情况加以解决，但在大多数情形下，这都是一种机械的、被动的模仿。比如我们在分析形如一元二次函数的表达式时二次项的系数为参数，要求对二次项的系数要分类讨论（是否为零），当问及为什么要那样分类时，他们往往答不上来，或解答不全的情况时有发生。以至于遇到一个要分几种情况讨论的新问题，大多会没有思路，束手无策。或者纯机械的模仿，一看到题中有时就讨论它是否为零。通过观察，我发现学生不能自己独立地讨论问题，是因为同学们不了解讨论背后的思想分类，于是无法对症下药。首先讲清楚人类解决任何问题，都是在一定的范围内进行的，这个范围就是问题的论域。当人们在整个论域里解决问题遇到困难时，往往先把论域划分为若干种情况，然后对各种情况一一作答。由于划分后的每个解决问题的范围小了，且各自情况都有自身的特征，因此解决起来往往容易些。当这种办法重复使用于各类问题中后就形成了一种思想分类思想。显然，分类的作用就是化整为零，分而治之，各个击破。数学问题的论域往往表现为一个大集合全集，分类就是将大集合分为一些小集合，每个小集合叫一个类，这里还必须讲清楚科学分类不准重复，不准遗漏（即常说的不重不漏）的要求及分类要选取一定的标准(依据) ，不同的标准就产生了不同的分类。在教学中我们要有意识地灌输分类的思想。如讲函数的奇偶性的标准是把函数全体分为(l)奇函数，(2)偶函数，(3)非奇非偶函数，(4)既奇又偶函数四大类。又以周期性为标准把它们可分为周期函数与非周期函数两大类。又如在研究直线与平面的位置关系时，我们选取公共点的个数作为标准将其分为平行、相交和直线在平面内三大类，然后再逐步研究就顺利达到了目的。把数学问题的论域进行分类，然后逐一求解的过程叫讨论。显然分类是讨论的先导和源泉。教学中需要讨论的问题是很多的，我们在教学中，每次都站在分类思想的高度对学生解题的过程进行思维的指导，经过长期的培养，学生的思维能力有了很大的提高，他们害怕讨论问题的程度就大大降低了。事实上，给每个事物进行一种分类而数集通常用于分类，这样就能使学生获得统一的思想认识，在以后的解题中就能化为一个自觉的指导。2. 用化归思想驾驭教材。所谓化归就是把面临的问题化解开来，归结为一个或几个已解决了的问题或简单易解决的问题。人们解决问题时都自觉不自觉地用到了化归的思想，当我们遇到一个陌生的问题时，我们总是把它与我们熟悉的模式、方式方法挂钩。一般地说，人类知识向前演进的过程中，无不是化新知识为旧知识，化未知为已知的。从这个意义上讲，化归是一种具有广泛的普遍性的深刻的数学思想，也是我们解决数学问题的总策略。它不但在科学家的发明创新中显示了巨大的作用，就是在学生日常的解题过程中也有普遍的指导意义。在教学中，我十分注意化归思想的教学。在宏观上，我们指出了解决立体几何问题总是把空间问题转化为平面问题，再去用平面几何已有的结论去解决(这个平面一般是几何体的某一个面所在平面或是我们作的辅助平面) ；解决解析几何问题， 又总是通过建立坐标系把几何问题化归为代数问题去解决；解复数问题，总是用代数形式或三角形式把其化归成实数问题或三角问题加以解决的。在上面的例子中作辅助平面建立坐标系及用代数(三角)式都是在创造化归的条件，由此可见，创造一定条件是实现化归的技术和关键。在微观层次上，我们已十分注意对学生化归意识的培养。比如我们在讲加法定理一节时，指导学生用化归思想去进行推导，并指出:加法定理公式系统中几十个公式全是用母公式通过化归的方法推导出来的，从而使学生体验数学思想的和谐的美。通过多次这样的训练，同学思维的灵活性、变通性都有了较大的提高，且对后面的知识学习造成了深远的影响。我们还在证明射影的面积公式、过一点有且只有一条直线垂直于已知平面等命题及求解半圆内最大矩形等题目中成功地运用化归的思想，使同学们感到化归确实是一个应用十分广泛的数学思想，并能自觉地把它作为一种思考新问题的思想原则。3. 教会学生使用数学的逻辑原则。人类在数学领域的长期社会实践中，总结出了许多的知识及逻辑原则，这些原则在推动数学的运行和发展方面显示了强有力的作用。我们在教学中运用这些原则也取得了较好的效果。例如在讲立体几何时，我跟同学们讲，数学中任何一个概念必须经过严格的定义后才能运用，一组命题宣布为公理系统，必须具有完备性、独立性与和谐性。但是有时为了教育的需要把某些直观的结论、证明困难的命题也当作公理，这就破坏了独立性。这样的公理系统叫扩大的公理系统。有了这些知识后，同学们自学地调整知识的结构，并发现现行立体几何教材中平行线概念的应用发生在定义之前的倒置情况，并认清了教材使用的公理系统是扩大了的公理系统。又如，告诉学生在使用名字的存在唯一性原则，即明知不存在的东西(对象)不是适合定义的。用作名字的每一个符号表示的对象不多于一个。同学们懂了这一原则再去读出书的背后的东西，读出了字里行间蕴藏的新意。比如，同学们能完全理解在给直线与平面，两平行平面的距离下定义之前的两例题的作用，并知道了为什么直线与平面相交时没有距离的概念。也知道了直线与平面所成的角及二面角的平面角都有证唯一的内在要求，这能在学到异面直线的公垂线之时，自动提出异面直线的公垂线存在且唯一命题加以证明。反复的实践使我们认识到，数学思想是数学的灵魂。思想和方法是数学的重要的基础知识，也是学好数学的思想武器。只有在教学过程中不断暴露思维的过程，用思想驾驭教学内容，才能提高思维水平，减少思考问题的