高中数学教学设计大赛教学案例设计汇编

第 1 页 高中数学教学案例设计汇编高中数学教学案例设计汇编 下 下 部 部 19 正弦定理 正弦定理 2 一 教学内容分析一 教学内容分析 本节内容安排在 普通高中课程标准实验教科书 数学必修 5 人教 A 版 第一章 正弦定理第一课时 是在高二学生学习了三角等知识之后 显然是对 三角知识的应用 同时 作为三角形中的一个定理 也是对初中解直角三角形 内容的直接延伸 因而定理本身的应用又十分广泛 根据实际教学处理 正弦定理这部分内容共分为三个层次 第一层次教师 通过引导学生对实际问题的探索 并大胆提出猜想 第二层次由猜想入手 带 着疑问 以及特殊三角形中边角的关系的验证 通过 作高法 等积法 外接圆法 向量法 等多种方法证明正弦定理 验证猜想的正确性 并得 到三角形面积公式 第三层次利用正弦定理解决引例 最后进行简单的应用 学生通过对任意三角形中正弦定理的探索 发现和证明 感受 观察 实验 猜想 证明 应用 这一思维方法 养成大胆猜想 善于思考的品质 和勇于求真的精神 二 学情分析二 学情分析 对普高高二的学生来说 已学的平面几何 解直角三角形 三角函数 向量 等知识 有一定观察分析 解决问题的能力 但对前后知识间的联系 理解 应用有一定难度 因此思维灵活性受到制约 根据以上特点 教师恰当引导 提高学生学习主动性 多加以前后知识间的联系 带领学生直接参与分析问题 解决问题并品尝劳动成果的喜悦 三 设计思想 三 设计思想 本节课采用探究式课堂教学模式 即在教学过程中 在教师的启发引导下 以学生独立自主和合作交流为前提 以问题为导向设计教学情境 以 正弦定 理的发现和证明 为基本探究内容 为学生提供充分自由表达 质疑 探究 讨论问题的机会 让学生通过个人 小组 集体等多种解难释疑的尝试活动 在知识的形成 发展过程中展开思维 逐步培养学生发现问题 探索问题 解 决问题的能力和创造性思维的能力 四 教学目标 四 教学目标 1 让学生从已有的几何知识出发 通过对任意三角形边角关系的探索 共 同探究在任意三角形中 边与其对角的关系 引导学生通过观察 实验 猜想 验证 证明 由特殊到一般归纳出正弦定理 掌握正弦定理的内容及其证明方 法 理解三角形面积公式 并学会运用正弦定理解决解斜三角形的两类基本问 题 第 2 页 A B C 2 通过对实际问题的探索 培养学生观察问题 提出问题 分析问题 解 决问题的能力 增强学生的协作能力和交流能力 发展学生的创新意识 培养 创造性思维的能力 3 通过学生自主探索 合作交流 亲身体验数学规律的发现 培养学生勇 于探索 善于发现 不畏艰辛的创新品质 增强学习的成功心理 激发学习数 学的兴趣 4 培养学生合情合理探索数学规律的数学思想方法 通过平面几何 三角 形函数 正弦定理 向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系 与辩证统一 五 教学重点与难点五 教学重点与难点 教学重点 教学重点 正弦定理的发现与证明 正弦定理的简单应用 教学难点 教学难点 正弦定理的猜想提出过程 教学准备 教学准备 制作多媒体课件 学生准备计算器 直尺 量角器 六 教学过程 六 教学过程 一 结合实例 激发动机 师生活动 教师 展示情景图如图 1 船从港口 B 航行到港口 C 测得 BC 的距离为 600m 船在港口 C 卸货后继续向港口 A 航行 由于船员的疏忽没有测得 CA 距离 如果 船上有测角仪我们能否计算出 A B 的距 离 学生 思考提出测量角 A C 教师 若已知测得 75BAC 要计算 A B 两地距离 你 图 图 1 1 45ACB 有办法解决吗 学生 思考交流 画一个三角形 使得为 6cm A B C B C 75B A C 量得距离约为 4 9cm 利用三角形相似性质可知 AB 约为45A C B A B 490m 老师 对 很好 在初中 我们学过相似三角形 也学过解直角三角形 大家还记得吗 师生 共同回忆解直角三角形 直角三角形中 已知两边 可以求第三边 及两个角 直角三角形中 已知一边和一角 可以求另两边及第三个角 教师 引导 是斜三角形 能否利用解直角三角形 精确计算 AB 呢 ABC 学生 思考 交流 得出过作于如图 2 把分为两个直AADBC DABC 角三角形 解题过程 学生阐述 教师板书 解 过作于AADBC D 在中 Rt ACD sin AD ACB AC A B C D 图 2 第 3 页 2 sin600300 2 2 ADACACBm A 45ACB 75BAC 18060ABCACBACB 在中 Rt ABD sin AD ABC AB 300 2 200 6 sin3 2 AD ABm ABC 教师 表示对学生赞赏 那么刚才解决问题的过程中 若 ACb 能否用 表示 呢 ABc BbCc 教师 引导学生再观察刚才解题过程 学生 发现 sin AD C b sin AD B c sinsinADbCcB sin sin bC c B 教师 引导 在刚才的推理过程中 你能想到什么 你能发现什么 学生 发现即然有 那么也有 sin sin bC c B sin sin aC c A sin sin bA a B 教师 引导 我们习惯写成对称形式 sin sin bC c B sin sin aC c A sin sin bA a B 因此我们可以发现 sinsin cb CB sinsin ca CA sinsin ab AB sinsin ab AB 是否任意三角形都有这种边角关系呢 sin c C 设计意图 兴趣是最好的老师 如果一节课有良好的开头 那就意味着成功 的一半 因此 我通过从学生日常生活中的实际问题引入 激发学生思维 激 发学生的求知欲 引导学生转化为解直角三角形的问题 在解决问题后 对特 殊问题一般化 得出一个猜测性的结论 猜想 培养学生从特殊到一般思想 意识 培养学生创造性思维能力 二 数学实验 验证猜想 教师 给学生指明一个方向 我们先通过特殊例子检验 是否成立 举出特例 sinsin ab AB sin c C 1 在 ABC 中 A B C 分别为 对应 60 60 60 第 4 页 的边长 a b c 为 1 1 1 对应角的正弦值分别为 2 3 2 3 2 3 引导学生考察 的关系 学生回答它们相等 A a sinB b sinC c sin 2 在 ABC 中 A B C 分别为 45 45 90 对应的边长 a b c 为 1 1 对应角的正弦值分别为 2 2 2 1 学生回答它们相等 2 2 3 在 ABC 中 A B C 分别为 30 60 90 对应的边长 a b c 为 1 2 对应角的正弦值分别为 3 2 1 1 学生回答它们相等 图 3 2 3 60 30 90 45 45 90 60 60 60 b c c aa b CB C A B A B C A 图 图 3 3 教师 对于呢 Rt ABC 学生 思考交流得出 如图 4 在 RtABC 中 设 BC a AC b AB c 则有 又 si n a A c si n b B c si n1 c C c 则 sinsinsin abc c ABC 从而在直角三角形 ABC 中 si nsi nsi n abc ABC 教师 那么任意三角形是否有呢 学生按事先安排 sinsinsin abc ABC 分组 出示实验报告单 让学生阅读实验报告单 质疑提问 有什么不明白的 地方或者有什么问题吗 如果学生没有问题 教师让学生动手计算 附实验 报告单 学生 分组互动 每组画一个三角形 度量出三边和三个角度数值 通过实 Ba A C c b 图 4 第 5 页 验数据计算 比较 的近似值 sin a Asin b Bsin c C 教师 借助多媒体演示随着三角形任意变换 值仍然 sin a Asin b Bsin c C 保持相等 我们猜想 A a sinB b sinC c sin 设计意图 让学生体验数学实验 激起学生的好奇心和求知欲望 学生自 己进行实验 体会到数学实验的归纳和演绎推理的两个侧面 三 证明猜想 得出定理 师生活动 教师 我们虽然经历了数学实验 多媒体技术支持 对任意的三角形 如何 用数学的思想方法证明呢 前面探索过程对我们有没有启发 sinsinsin abc ABC 学生分组讨论 每组派一个代表总结 以下证明过程 根据学生回答情况进行 叙述 学生 思考得出 在中 成立 如前面检验 Rt ABC 在锐角三角形中 如图 5 设 BCa CAb ABc 作 垂足为ADBC D 在中 Rt ABD sin AD B AB sinsinADABBcB 在中 Rt ADC sin AD C AC sinsinADACCbC sinsincBbC sinsin cb CB 同理 在中 ABC sinsin ac AC sinsinsin abc ABC 在钝角三角形中 如图 6 设为钝角 C BCa CAb ABc 作交的延长线于ADBC BCD 在中 Rt ADB sin AD B AB sinsinADABBcB 在中 Rt ADC sin AD ACD AC sinsinADACACDbACB A BCD 图 6 A B C D 图 5 第 6 页 sinsincBbACB sinsin cb ACBB 同锐角三角形证明可知 sinsin ac AC sinsinsin abc ABACB 教师 我们把这条性质称为正弦定理 在一个三角形中 各边和它所对角的 正弦的比相等 即 sinsinsin abc ABC 还有其它证明方法吗 学生 思考得出 分析图形 图 7 对于任意 ABC 由初中所学过的面积公式 可以得出 111 222 ABC SACBDCBAEBA CF 而由图中可以看出 sin BD BAC AB sin AE ACB AC sin CF ABC BC sin sin sinBDABBAC AEACACB CFBCABC 111 222 ABC SACBDCBAEBA CF 111 sinsinsin 222 ACABBACCB CAACBBA BCABC 111 sinsinsin 222 b cBACa bACBc aABC 等式中均除以 111 sinsinsin 222 b cBACa bACBc aABC 后可得 abc 2 1sinsinsinBACABCACB abc 即 sinsinsin abc BACABCACB 教师边分析边引导学生 同时板书证明过程 第 7 页 图 7 A B C D E F b a c 图 图7 在刚才的证明过程中大家是否发现三角形高 sinsinAEcABCaABC 三角形的面积 能否得到新面积公式 1 2 ABC SaAE 学生 111 sinsinsin 222 ABC Sb cBACa bACBc aABC 得到三角形面积公式 111 sinsinsin 222 ABC SabCcaBbcA 教师 大家还有其他的证明方法吗 比如 都等于同 sin a Asin b Bsin c C 一个比值 那么它们也相等 这个到底有没有什么特殊几何意义呢 kk 学生 在前面的检验中 中 Rt ABC 恰为外接接圆的直径 即 sinsinsin abc c ABC c 所以作的外接圆 为圆心 连2ckR ABC OO 接并延长交圆于 把一般三角形转化为直角三BOO B 角形 证明 连续并延长交圆于BO B 90B AB BC 在中 Rt B AB sin AB B B B 2 sin sin ABAB B BR BC 即2 sin c R C 同理可证 2 sin a R A 2 sin b R B 2 sinsinsin abc R ABC A B C B O 图 8 第 8 页 教师 从刚才的证明过程中 显示正弦定理的比2 sinsinsin abc R ABC 值等于三角形外接圆的直径 我们通过 作高法 等积法 外接圆法 2R 等平面几何方法证明正弦定理 能否利用其他知识来证明正弦定理 比如 在 向量中 我也学过 这与边的长度和三角函数值有较为密切cosa bab 的联系 是否能够利用向量积来证明正弦定理呢 学生 思考 联系作高的思想 得出 在锐角三角形中 作单位向量垂直于 ABC ABBCAC j AC ACjABjBCj 即0cos 90 cos 90 cAaC sinsin0cAaC sinsin ca CA 同理 sinsin ba BA sinsinsin abc ABC 对于钝角三角形 直角三角形的情况作简单交代 教师 由于时间有限 对正弦定理的证明到此为止 有兴趣的同学回家再探 索 设计意图 经历证明猜想的过程 进一步引导启发学生利用已有的数学知识 论证猜想 力图让学生体验数学的学习过程 四 利用定理 解决引例 师生活动 教师 现在大家再用正弦定理解决引例中提出的问题 学生 马上得出 在中 ABC 18060 sinsin cb BAC CB sin600 sin45 200 6 sinsin60 bC cm B 五 了解解三角形概念 设计意图 让学生了解解三角形概念 形成知识的完整性 教师 一般地 把三角形的三个角 和它们的对边 叫做ABCabc 三角形的元素 已知 三角形的几个元素 求其他元素的过程叫做解三角形 设计意图 利用正弦定理 重新解决引例 让学生体会用新的知识 新的定 理 解决问题更方便 更简单 激发学生不断探索新知识的欲望 A B C 图 9 j j j 第 9 页 六 运用定理 解决例题 师生活动 教师 引导学生从分析方程思想分析正弦定理可以解决的问题 学生 讨论正弦定理可以解决的问题类型 如果已知三角形的任意两个角与一边 求三角形的另一角和另两边 如 si n si n bA a B 如果已知三角形任意两边与其中一边的对角 求另一边与另两角 如 si nsi n a AB b 师生 例 1 的处理 先让学生思考回答解题思路 教师板书 让学生思考主要 是突出主体 教师板书的目的是规范解题步骤 例 1 在中 已知 解三角形 ABC 30A 45B 6acm 分析 已知三角形中两角及一边 求其他元素 第一步可由三角 形内角和为求出第三个角 C 再由正弦定理求其他两边 180 例 2 在中 已知 解三角形 ABC 2 2a 2 3b 45A 例 2 的处理 目的是让学生掌握分类讨论的数学思想 可先让中等学生讲解解 题思路 其他同学补充交流 学生 反馈练习 教科书第 5 页的练习 用实物投影仪展示学生中解题步骤规范的解答 设计意图 自己解决问题 提高学生学习的热情和动力 使学生体验到成 功的愉悦感 变 要我学 为 我要学 我要研究 的主动学习 七 尝试小结 教师 提示引导学生总结本节课的主要内容 学生 思考交流 归纳总结 师生 让学生尝试小结 教师及时补充 要体现 1 正弦定理的内容 及其证明思想方法 2 sinsinsin abc R ABC 2 正弦定理的应用范围 已知三角形中两角及一边 求其他元素 已知三角形中两边和其中一边所对的角 求其他元素 3 分类讨论的数学思想 设计意图 通过学生的总结 培养学生的归纳总结能力和语言表达能力 八 作业设计 作业 第 10 页 习题 1 1 A 组第 1 2 题 思考题 例 2 在中 已知 解三角形 例 2ABC 2 2a 2 3b 45A 中分别改为 并解三角形 观察解的情况并解释出现一2 3b 2 6b 5b 第 10 页 解 两解 无解的原因 课外链接 课后通过查阅相关书籍 上网搜索 了解关于正弦定理的发展及 应用 相关网址 七 设计思路 七 设计思路 本节课 学生在不知正弦定理内容和证明方法的前提下 在教师预设的思路 中 学生积极主动参与一个个相关联的探究活动过程 通过 观察 实验 归纳 猜想 证明 的数学思想方法发现并证明定理 让学生经历了知 识形成的过程 感受到创新的快乐 激发学生学习数学的兴趣 其次 以问题 为导向设计教学情境 促使学生去思考问题 去发现问题 让学生在 活动 中学习 在 主动 中发展 在 合作 中增知 在 探究 中创新 1 结合实例 激发动机 数学源于现实 从学生日常生活中的实际问题引入 激发学生学习的兴趣 引导启发学生利用已有的知识解决新的问题 方法一通过相似三角形相似比相 等进行计算 方法二转化解直角三角形 让学在解决问题中发现新知识 提出 猜想 使学生在观察 实验 猜想 验证 推理等活动中 逐步形成创新意识 2 数学实验 验证猜想 通过特例检验 让学生动手实验 提高了学生实验操作 分析思考和抽象概 括的能 激发学生的好奇心和求知欲望 体会到数学实验的归纳和演绎推理的 两个侧面 3 证明猜想 得出定理 引导启发学生从角度进行证明定理 展示自己的知识 培养学生解决问题 的能力 增强学习的兴趣 爱好 在知识的形成 发展过程中展开思维 培养 推理的意识 附一 附一 实验报告单实验报告单 组长 组员 试验目的 研究三角形中各边和它对角的正弦值的比 是否 A a sinB b sinC c sin 相等 实验器材计算器 直尺 量角器 硬纸板 由老师统一发 实验方法画一个任意三角形 量取三边和三个角的值 并计算 实验内容 三边 a b c 三角 A B C 计算 A a sinB b sinC c sin 精确到小数点后两位 结论 第 11 页 福安一中福安一中 陈桢仔陈桢仔 林旭林旭 点评 点评 本节定理教学课 教师把重点放在定理的发现与证明上 符合新 课标重视过程与方法的理念 克服了传统教学只注重结论的倾向 首先 利用解决一个可测量两角一对边 求另一对边的实际问题引 入 在解决实际问题中 引导学生发现 三角形三边与其对应角的 正弦值的比相等 的规律 通过对特殊三角形的验证 大胆猜想对 任意三角形成立 接着证明了这个定理 在课堂上展示了定理的发 现过程 使学生感受到创新的快乐 激发学生学习数学的兴趣 同 时让学生体验了 观察 实验 归纳 猜想 证明 的数学思想方 法 经历了知识形成的过程 符合新课标重视过程与方法的理念 其次 在解决引例中的测量问题时利用用初中相似三角形知识 正 弦定理的不同证法 转化为直角三角形 辅助以三角形外接圆 向 量 等 都体现了 在已有知识体系的基础上去建构新的知识体系 的理念 加强了知识间的联系 培养了学生思维的灵活性 定理证 明的方法一 方法二 参透了分类 转化的数学思想 但是 本节 课的教学内容还是偏多 在时间分配上要有规划 突出重点 删繁 就简 引入的例题要注意条件更加明确直接 以免产生歧义 冲淡 主体 浪费时间 第 12 页 总之 本节课有效地采用了探究式教学 在教师的启发引导下 以学生独立自主和合作交流为前提 以问题为导向设计教学情境 以 正弦定理的发现和证明 为基本探究内容 为学生提供充分自 由表达 质疑 探究 讨论问题的机会 让学生通过个人 小组 集体等多种解难释疑的尝试活动 感受 观察 实验 猜想 证明 应用 等环节 教学过程流畅 在知识的形成 发展过 程中展开思维 逐步培养学生发现问题 探索问题 解决问题的能 力和创造性思维的能力 20 正弦定理 正弦定理 3 一 教学内容分析一 教学内容分析 正弦定理 是 普通高中课程标准数学教科书 数学 必修 5 人教版 第一章第一节的主要内容 它既是初中 解直角三角形 内容的直接延拓 也 是三角函数一般知识和平面向量等知识在三角形中的具体运用 是解可转化为 三角形计算问题的其它数学问题及生产 生活实际问题的重要工具 因此具有 广泛的应用价值 为什么要研究正弦定理 正弦定理是怎样发现的 其证明方 法是怎样想到的 还有别的证法吗 这些都是教材没有回答 而确实又是学生 所关心的问题 本节课是 正弦定理 教学的第一课时 其主要任务是引入并证明正弦定理 在课型上属于 定理教学课 因此 做好 正弦定理 的教学 不仅能复习巩 固旧知识 使学生掌握新的有用的知识 体会联系 发展等辩证观点 而且通 过对定理的探究 能使学生体验到数学发现和创造的历程 进而培养学生提出 问题 解决问题等研究性学习的能力 第 13 页 三 1 CB A 二 学生学习情况分析二 学生学习情况分析 学生在初中已经学习了解直角三角形的内容 在必修 4 中 又学习了三角 函数的基础知识和平面向量的有关内容 对解直角三角形 三角函数 平面向 量已形成初步的知识框架 这不仅是学习正弦定理的认知基础 同时又是突破 定理证明障碍的强有力的工具 正弦定理是关于任意三角形边角关系的重要定 理之一 课程标准 强调在教学中要重视定理的探究过程 并能运用它解决一 些实际问题 可以使学生进一步了解数学在实际中的应用 从而激发学生学习 数学的兴趣 也为学习正弦定理提供一种亲和力与认同感 三 设计思想三 设计思想 培养学生学会学习 学会探究是全面发展学生能力的重要前提 是高中新 课程改革的主要任务 如何培养学生学会学习 学会探究呢 建构主义认为 知识不是被动吸收的 而是由认知主体主动建构的 这个观点从教学的角度 来理解就是 知识不是通过教师传授得到的 而是学生在一定的情境中 运用 已有的学习经验 并通过与他人 在教师指导和学习伙伴的帮助下 协作 主 动建构而获得的 建构主义教学模式强调以学生为中心 视学生为认知的主体 教师只对学生的意义建构起帮助和促进作用 本节 正弦定理 的教学 将遵 循这个原则而进行设计 四 教学目标四 教学目标 1 知识与技能 通过对任意三角形的边与其对角的关系的探索 掌握正弦 定理的内容及其证明方法 2 过程与方法 让学生从已有的知识出发 共同探究在任意三角形中 边与 其对角的关系 引导学生通过观察 归纳 猜想 证明 由特殊到一般得到正 弦定理等方法 体验数学发现和创造的历程 3 情感态度与价值观 在平等的教学氛围中 通过学生之间 师生之间的 交流 合作和评价 实现共同探究 教学相长的教学情境 五 教学重点与难点五 教学重点与难点 重点 正弦定理的发现和推导 难点 正弦定理的推导 六 教学过程设计六 教学过程设计 一 设置情境 一 设置情境 利用投影展示 如图 1 一条河的两岸平行 河 宽 因上游暴发特大洪水 在洪峰到来之前 1dkm 第 14 页 F ED v v2 v1 三 2 CB A 急需将码头 A 处囤积的重要物资及留守人员用船尽快转运到正对岸的码头 B 处 或其下游的码头 C 处 请你确定转运方案 已知船在静水中的速度1km 水流速度 1 5 vkm h 1 3 vkm h 设计意图设计意图 培养学生的 数学起源于生活 运用于生活 的思想意识 同 时情境问题的图形及解题思路均为研究正弦定理做铺垫 二 提出问题 二 提出问题 师 为了确定转运方案 请同学们设身处地地考虑有关的问题 将各自的 问题经小组 前后 4 人为一小组 汇总整理后交给我 待各小组将问题交给老师后 老师筛选了几个问题通过投影向全班展示 经大家归纳整理后得到如下的五个问题 1 船应开往 B 处还是 C 处 2 船从 A 开到 B C 分别需要多少时间 3 船从 A 到 B C 的距离分别是多少 4 船从 A 到 B C 时的速度大小分别是多少 5 船应向什么方向开 才能保证沿直线到达 B C 设计意图设计意图 通过小组交流 提供一定的研究学习与情感交流的时空 培养 学生合作学习的能力 问题源于学生 突出学生学习的主体性 能激发学生学 习的兴趣 问题通过老师的筛选 确定研究的方向 体现教师的主导作用 师 谁能帮大家讲解 应该怎样解决上述问题 大家经过讨论达成如下共识 要回答问题 1 需要解决问题 2 要解决问题 2 需要先解决问题 3 和 4 问题 3 用直角三角形知识可解 所以重点是解决问 题 4 问题 4 与问题 5 是两个相关问题 因此 解决上述问题的关键是解决问题 4 和 5 师 请同学们根据平行四边形法则 先在练习本上做出与问题对应的示意 图 明确已知什么 要求什么 怎样求解 生 1 船从 A 开往 B 的情况如图 2 根据平行 四边形的性质及解直角三角形的知识 可求得船在 河水中的速度大小及与的夹角 v 1 v 2 v 2222 12 534vvv 用计算器可求得 1 2 3 sin 5 v v 37 F ED v v2 v1 三 3 CB A 第 15 页 船从 A 开往 C 的情况如图 3 易求得 1 5ADv 2 3DEAFv 还需求及 我还不知道怎样解这两个问题 45AEDEAF DAE v 师 请大家思考 这两个问题的数学实质是什么 部分学生 在三角形中 已知两边和其中一边的对角 求另一边的对角和 第三边 设计意图设计意图 将问题数学化 有助于加深学生对问题的理解 有助于培养学 生的数学意识 师 请大家讨论一下 如何解决这两个问题 生 3 不知道 师 图 2 的情形大家都会解 但图 3 的情形却有困难 那么图 2 与图 3 有 何异同点 生 4 图 2 和图 3 的情形都是已知三角形的两边和其中一边的对角 求另一 边的对角和第三边 但图 2 中是直角三角形 而图 3 中不是直角三ADE ADE 角形 不能象在直角三角形中可直接利用边角的关系求解 师 图 3 的情形能否转化成直角三角形来解呢 设计意图设计意图 通过教师的问题引导 启发学生将问题进行转化 培养学生的 化归思想 同时为下一步用特例作为突破口来研究正弦定理以及用作高的方法 来证明正弦定理做好铺垫 生 5 能 过点 D 作于点 G 如图 4 DGAE 1 sin sinDGvDAGDEAED 1 cosAGvDAG cosEGDEAED 1 sin3sin453 2 sin 510 DEAED DAG v vAGGE 师 很好 采取分割的方法 将一般三角形化为两个直角三角形求解 但 在生活中有许多三角形不是直角三角形 如果每个三角形都划分为直角三角形 求解 很不便 能不能象直角三角形一样直接利用边角关系求解呢 三角形中 任意两边与其对角之间有怎样的数量关系 设计意图设计意图 通过教师对学生的肯定评价 创造一个教与学的和谐环境 既 激发学生的学习兴趣 使紧接着的问题能更好地得到学生的认同 又有利于学 G F ED v v2 v1 三 4 CB A 第 16 页 生和教师的共同成长 三 解决问题 三 解决问题 1 正弦定理的引入 师 请同学们想一想 我们以前遇到这种一般问题时 是怎样处理的 众学生 先从特殊事例入手 寻求答案或发现解法 可以以直角三角形为 特例 先在直角三角形中试探一下 师 如果一般三角形具有某种边角关系 对于特殊的三角形 直角三角 形也是成立的 因此我们先研究特例 请同学们对直角三角形进行研究 寻找 一般三角形的各边及其对角之间有何关系 同学们可以参与小组共同研究 1 学生以小组为单位进行研究 教师观察学生的研究进展情况或参与学 生的研究 2 展示学生研究的结果 设计意图设计意图 教师参与学生之间的研究 增进师生之间的思维与情感的交 流 并通过教师的指导与观察 及时掌握学生研究的情况 为展示学生的研究 结论做准备 同时通过展示研究结论 强化学生学习的动机 增进学生的成功 感及学习的信心 师 请说出你研究的结论 生 7 sinsinsin abc ABC 师 你是怎样想出来的 生 7 因为在直角三角形中 它们的比值都等于斜边 c 师 有没有其它的研究结论 根据实际情况 引导学生进行分析判断结 论正确与否 或留课后进一步深入研究 师 对一般三角形是否成立呢 sinsinsin abc ABC 众学生 不一定 可以先用具体例子检验 若有一个不成立 则否定结论 若都成立 则说明这个结论很可能成立 再想办法进行严格的证明 师 这是个好主意 那么对等边三角形是否成立呢 sinsinsin abc ABC 生 9 成立 师 对任意三角形是否成立 现在让我们借助于 几何 sinsinsin abc ABC 画板 做一个数学实验 设计意图设计意图 引导学生的思维逐步形成 情境思考 提出问题 第 17 页 研究特例 归纳猜想 实验探究 理论探究 解决问题 的思维方式 进而形成解决问题的能力 2 正弦定理的探究 1 实验探究正弦定理 师 借助于电脑与多媒体 利用 几何画板 软件 演示正弦定理教学课 件 边演示边引导学生观察三角形形状的变化与三个比值的变化情况 结论 对于任意三角形都成立 sinsinsin abc ABC 设计意图设计意图 通过 几何画板 软件的演示 使学生对结论的认识从感性 逐步上升到理性 师 利用上述结论解决情境问题中图 3 的情形 并检验与生 5 的计算结果 是否一致 生 10 通过计算 与生 5 的结果相同 师 如果上述结论成立 则在三角形中利用该结论解决 已知两边和其中 一边的对角 求另一边的对角和第三边 的问题就简单多了 设计意图设计意图 与情境设置中的问题相呼应 间接给出了正弦定理的简单应 用 并强化学生学习探究 应用正弦定理的心理需求 2 点明课题 正弦定理 3 正弦定理的理论探究 师 既然是定理 则需要证明 请同学们与小组共同探究正弦定理的证明 探究方案 直角三角形 已验证 锐角三角形 课堂探究 钝角三角形 课后证明 设计意图设计意图 通过分析 确定探究方案 课堂只让学生探究锐角三角形的 情形 有助于在不影响探究进程的同时 为探究锐角三角形的情形腾出更多的 时间 钝角三角形的情形以课后证明的形式 可使学生巩固课堂的成果 师 请你 生 11 到讲台上 讲讲你的证 明思路 生 11 走上讲台 设法将问题转化成 直角三角形中的问题进行解决 通过作三角形 a b c 三 5 三 三 三 三 三 D CB A 第 18 页 的高 与生 5 的办法一样 如图 5 作 BC 边上的高 AD 则 sinsinADcBbC 所以 同理可得 sinsin bc BC sinsin ab AB 师 因为要证明的是一个等式 所以应从锐角三角形的条件出发 构造等 量关系从而达到证明的目的 注意 表示的几何意义是三角形sinsincBbC 同一边上的高不变 这是一个简捷的证明方法 设计意图设计意图 点明此证法的实质是找到一个可以作为证明基础的等量关系 为后续两种方法的提出做铺垫 同时适时对学生作出合情的评价 师 在三角形中还有哪些可以作为证明基础的等量关系呢 学生七嘴八舌地说出一些等量关系 经讨论 后确定如下一些与直角三角形有关的等量关系可 能有利用价值 三角形的面积不变 三角形 外接圆直径不变 在教师的建议下 学生分别利 用这两种关系作为基础又得出了如下两种证法 证法二 如图 6 设 AD BE CF 分别是 的三条高 则有ABC sinADbACB sinBEcBAC sinCFaABC 1 sin 2 ABC Sa bACB 1 sin 2 b cBAC 1 sin 2 c aABC sinsinsin abc BACABCACB 证法三 如图 7 设是外接2BDr ABC 圆的直径 则 90BAD ACBADB 2 sinsin cc BDr ACBADB 同理可证 2 sinsin ab r BACABC sinsinsin abc BACABCACB 设计意图设计意图 在证明正弦定理的同时 将两边及其夹角的三角形面积公式 及一并牵出 使知识的产生自然合理 2 sinsinsin abc r ABC F E a b c 三 6 D CB A 三 7 三 三 三 三 三 三 c b a D C B A 第 19 页 师 前面我们学习了平面向量 能否运用向量的方法证明呢 师 任意中 三个向量 间有什么关系 ABC AB BC CA 生 12 0ABBCCA 师 正弦定理体现的是三角形中边角间的数量关系 由转0ABBCCA 化成数量关系 生 13 利用向量的数量积运算可将向量关系转化成数量关系 师 在两边同乘以向量 有 这里的向量ABBCCA j 0ABBCCAj 可否任意 又如何选择向量 j j 生 14 因为两个垂直向量的数量积为 0 可考虑让向量与三个向量中的一j 个向量 如向量 垂直 而且使三个项的关系式转化成两个项的关系式 BC 师 还是先研究锐角三角形的情形 按以上思路 请大家具体试一下 看 还有什么问题 教师参与学生的小组研究 同时引导学生注意两个向量的夹角 最后让学 生通过小组代表作完成了如下证明 证法四 如图 8 设非零向量与向量垂直 j BC 因为 0ABBCCA 所以 0ABBCCAj 即0AB jCA j cos cos 0ABjAB jCAjCA j cos 90 cos 90 0cjBbjC sin sin0cjBbjC 所以 同理可得 sinsin bc BC sinsin ab AB 师 能否简化证法四的过程 留有一定的时间给学生思考 师 有什么几何意义 0AB jCA j 生 15 把移项可得 由向量数量积的几何意0AB jCA j CA jBA j 义可知与在方向上的投影相等 CA BA j 生 16 我还有一种证法 师 请你到讲台来给大家讲一讲 学生 16 上 台板书自己的证明方法 证法五 如图 9 作 则与在ADBC AB AC 方向上的投影相等 即AD AB ADAC AD j 三 8 三 三 C B A a bc a bc D 三 9 三 三 C B A 第 20 页 cos 90 cos 90 ABADBACADC sinsincBbC 故 同理可得 sinsin bc BC sinsin ab AB 师 利用向量在边上的高上的射影相等 证明了正弦定理 方法非常简捷 明了 设计意图设计意图 利用向量法来证明几何问题 学生相对比较生疏 不容易马上 想出来 教师通过设计一些递进式的问题给予适当的启发引导 将很难想到的 方法合理分解 有利于学生理解接受 四 小结 四 小结 师 本节课我们是从实际问题出发 通过猜想 实验 归纳等思维方法 最后发现了正弦定理 并从不同的角度证明了它 本节课 我们研究问题的突 出特点是从特殊到一般 利用了几何画板进行数学实验 我们不仅收获着结论 而且整个探索过程我们也掌握了研究问题的一般方法 五 作业 五 作业 1 回顾本节课的整个研究过程 体会知识的发生过程 2 思考 证法五与证法一有何联系 3 思考 能否借助向量的坐标的方法证明正弦定理 4 当三角形为钝角三角形时 证明正弦定理 设计意图设计意图 为保证学生有充足的时间来完成观察 归纳 猜想 探究和证 明 小结的时间花得少且比较简单 这将在下一节课进行完善 因此作业的布 置也为下节课做一些必要的准备 七 教学反思七 教学反思 为了使学生真正成为提出问题和解决问题的主体 成为知识的 发现者 和 创造者 使教学过程成为学生主动获取知识 发展能力 体验数学的过程 我想到了 情境 问题 教学模式 即构建一个以情境为基础 提出问题与 解决问题相互引发携手并进的 情境 问题 学习链 并根据上述精神 结 合教学内容 具体做出了如下设计 创设一个现实问题情境作为提出问题的 背景 注 该情境源于 普通高中课程标准数学教科书 数学 必修 4 人教 版 第二章习题 B 组第二题 我将其加工成一个具有实际意义的决策型问题 2 5 启发 引导学生提出自己关心的现实问题 逐步将现实问题转化 抽象成 过渡性数学问题 解决过渡性问题 4 与 5 时需要使用正弦定理 借此引发学生 的认知冲突 揭示解斜三角形的必要性 并使学生产生进一步探索解决问题的 第 21 页 动机 然后引导学生抓住问题的数学实质 将过渡性问题引伸成一般的数学问 题 已知三角形的两条边和一边的对角 求另一边的对角及第三边 解决这两 个问题需要先回答目标问题 在三角形中 两边与它们的对角之间有怎样的关 系 为了解决提出的目标问题 引导学生回到他们所熟悉的直角三角形中 得出目标问题在直角三角形中的解 从而形成猜想 然后使用几何画板对猜想 进行验证 进而引导学生对猜想进行严格的逻辑证明 总之 整个过程让学生通过自主探索 合作交流 亲身经历了 情境思考 提出问题 研究特例 归纳猜想 实验探究 理论探究 解决问题 反思总结 的历程 使学生成为正弦定 理的 发现者 和 创造者 切身感受了创造的苦和乐 从而使三维教学目标 得以实现 大田一中大田一中 陈永民陈永民 点评点评 本节课是典型合作探究课 教师先设计一个实际问题引导学生 讨论问题解决方案 将方案数学化 归纳出一类数学问题 在三角 形中 已知两边和其中一边的对角 求另一边的对角和第三边 顺 利地引入新课 实现了从 现象 到 本质 的飞跃 培养了学生 提出问题 分析问题 数学建模的能力 为寻求解决问题的普遍方 法 对三角形的边角关系进行探索 在特殊情况 直角三角形 下 得到正弦定理 又在等边三角形和一般三角形中验 sinsinsin abc ABC 证 坚定了结论成立的猜想 最后通过严格证明 得到了正弦定理 再返回到前面的引例中 利用正弦定理问题迎仞而解 从而使学生 亲身经历了 情境思考 提出问题 研究特例 归纳 猜想 实验探究 理论探究 解决问题 反思总 结 的历程 学会研究数学问题的方法 学生成为正弦定理的 发 第 22 页 现者 和 创造者 切身感受了创造的苦和乐 在对具体的一般三 角形验证成立的过程中 利用 几何画板 软件 sinsinsin abc ABC 不断变换三角形 观察上式成立 提高了效率 现代教育技术的运 用恰到好处 21 余 余 弦弦 定定 理理 一 教学内容一 教学内容分析 人教版 普通高中课程标准实验教科书 必修 五 第 2 版 第一章 解三角形 第一单元第二课 余弦定理 通过利用向量的数量积方法推导余 弦定理 正确理解其结构特征和表现形式 解决 边 角 边 和 边 边 边 问题 初步体会余弦定理解决 边 边 角 体会方程思想 激发学生探 究数学 应用数学的潜能 二 学生学习情况分析二 学生学习情况分析 本课之前 学生已经学习了三角函数 向量基本知识和正弦定理有关内容 对于三角形中的边角关系有了较进一步的认识 在此基础上利用向量方法探求 余弦定理 学生已有一定的学习基础和学习兴趣 总体上学生应用数学知识的 意识不强 创造力较弱 看待与分析问题不深入 知识的系统性不完善 使得 学生在余弦定理推导方法的探求上有一定的难度 在发掘出余弦定理的结构特 征 表现形式的数学美时 能够激发学生热爱数学的思想感情 从具体问题中 抽象出数学的本质 应用方程的思想去审视 解决问题是学生学习的一大难点 三 设计思想三 设计思想 新课程的数学提倡学生动手实践 自主探索 合作交流 深刻地理解基本 第 23 页 结论的本质 体验数学发现和创造的历程 力求对现实世界蕴涵的一些数学模 式进行思考 作出判断 同时要求教师从知识的传授者向课堂的设计者 组织 者 引导者 合作者转化 从课堂的执行者向实施者 探究开发者转化 本课 尽力追求新课程要求 利用师生的互动合作 提高学生的数学思维能力 发展 学生的数学应用意识和创新意识 深刻地体会数学思想方法及数学的应用 激 发学生探究数学 应用数学知识的潜能 四 教学目标四 教学目标 继续探索三角形的边长与角度间的具体量化关系 掌握余弦定理的两种表 现形式 体会向量方法推导余弦定理的思想 通过实践演算运用余弦定理解决 边 角 边 及 边 边 边 问题 深化与细化方程思想 理解余弦定理 的本质 通过相关教学知识的联系性 理解事物间的普遍联系性 五 教学重点与难点五 教学重点与难点 教学重点是余弦定理的发现过程及定理的应用 教学难点是用向量的数量 积推导余弦定理的思路方法及余弦定理在应用求解三角形时的思路 六 教学过程 教学过程 教学 环节 合作探究活动 学情分析与设计意 图 知识 回顾 1 一般三角形全等的四种判断方法是什么 2 三角形的正弦定理内容 主 C c A b A a sinsinsin 要解决哪几类问题的三角形 回顾旧知 防止遗 忘 第 24 页 创设 引入 你能判断下列三角形的类型吗 1 以 3 4 5 为各边长的三角形是 三角形 以 2 3 4 为各边长的三角形是 三角形 以 4 5 6 为各边长的三角形是 三角形 2 在 ABC 中 a 8 b 5 c 60 你能求 c 边长吗 引导学生从平面几何 实践作图方面进行估计判断 学生可能比较茫然 帮助学生分析相关 内容 从多角度看 待问题 用实践进 行检验 提出 问题 你能够有更好的具体的量化方法吗 帮助学生从平面几何 三角函数 向量知识 坐标 法等方面进行分析讨论 选择简洁的处理工具 引 发学生的积极讨论 引导学生从相关知 识入手 选择简洁 的工具 合作 探究 利用向量法推导余弦定理 如图 设 CABbCAaCB 由三角形法则有bac cabbacABC cabba babbaa babaccc cos2 cos2 2 222 22 2 中即 同理 让学生利用相同方法推导 BacabAbccbacos2 cos2 222222 学生对向量知识可 能遗忘 注意复习 在利用数量积时 角度可能出现错误 出现不同的表示形 式 让学生从错误 中发现问题 巩固 向量知识 明确向 量工具的作用 同 时 让学生明确数 学中的转化思想 化未知为已知 归纳 概括 余弦定理 Abccbacos2 222 Baccabcos2 222 Cabbaccos2 222 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减 去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 知识归纳比较 发 现特征 加强识记 A a c b B C 第 25 页 结构 分析 观察余弦定理 指明了三边长与其中一角的具体关 系 并发现 a 与 A b 与 B C 与 c 之间的对应表述 同时发现三边长的平方在余弦定理中同时出现 使学生明确对应关 系 树立方程思想 解决 边 角 边 问题 知识 联系 余弦定理的推论 bc acb A 2 cos 222 ac bca B 2 cos 222 ab cba C 2 cos 222 解决 边 边 边 问题 方法 应用 怎样准确地解答引入中的两个问题 怎样利用已知条件判断三角形的形状 用准确的量化关系 去解决问题 用边 长去判断三角形形 状 勾股定理是余 弦定理特例 知识 应用 例 1 在 ABC 中 已知 b 60cm c 34cm A 41 求解三角形 角度精确到 1 边长精确 到 1cm 例 2 在 ABC 中 已知 a 134 6cm b 87 8cm c 161 7cm 解三角形 角度精确到 1 应用数学知识求解 问题加强计算器的 运算功能 同时 巩固好正弦定理 余弦定理知识 发 现两种知识方法在 解三角形中的综合 应用 知识 深化 例 3 已知 ABC 中求 c 边 3 6 sin 3 3 Aba 长 分析 1 用正弦定理分析引导 2 应用余弦定理构Abccbacos2 222 造关于 C 的方程求解 3 比较两种方法的利弊 能用正弦定理解 决的问题均可以用余弦定理解决 更具有优越性 继续深化正弦 余 弦定理 尤其是余 弦定理的方程思想 求解问题优越于余 弦定理 并让学生 初步发现 边 边 角 问题解法 为 下节学习辅垫 第 26 页 练习 检测 1 某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来 他看 见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆 与第三辆车