专题05-数列求和和递推数列-2019年高考提升之数学考点讲解与真题分析(七)(原卷版)

数列的概念与简单表示法 2019 年高考提升之数学考点讲解与真题分析 七 第 1 页 共 10 页 数学的发展和至善和国家繁荣昌盛密切相关 20192019 年高考提升之数学考点讲解与真题分析年高考提升之数学考点讲解与真题分析 0505 数列求和和递推数列数列求和和递推数列 目标要求目标要求 学习目标目标解读 1 熟练掌握等差 等比数列 的求和公式 求和是数列问题中考查的一个 重要方面 而且常与不等式 函数等其他知识综合考查 求 和首先掌握等差 等比数列求 和公式 2 掌握非等差 等比数列求 和的几种常见方法 此类问题的解答离不开通性通 法 只要掌握了数列求和的基 本方法 善于观察 合理变形 正确求解就不难 考情链接考情链接 考点考点 来源来源 学学 考法考法命题角度命题角度 来源来源 学学 科科 网网 Z X X K Z X X K 难度难度 数列的通项公式在客观题解答题考查数列的通项公式 常见方法是累加 法 累乘法 待定系数法以及利用和的关系求解 n a n S 等 较小数列的 通项公 式和求 和 数列的求和考查数列求和的常见方法 裂项求和 分组求和 错位 相减法以及公式法等 中等 核心知识点核心知识点 来源来源 学学 ZXXK 1 公式法 1 直接应用等差 等比数列的求和公式 2 掌握一些常见的数列的前 n 项和 123 n 1 2 n n 1 3 5 2 n 来源 学 ZXXK 数列的概念与简单表示法 2019 年高考提升之数学考点讲解与真题分析 七 第 2 页 共 10 页 数学的发展和至善和国家繁荣昌盛密切相关 2 倒序相加法 如果一个数列 n a 与首末两端等 距离 的两项的和相等或等于同一个常数 那么求这 个数列前 n 项和即可用倒序相加发 如等差数列的前 n 项和就是此法推导的 3 错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的 那么这个数 列的前 n 项和即可用此法来求 如 等比 数列的前 n 项和就是用此法推导的 4 裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差 在求和时中间的一些项可以相互抵消 从而求得其和 常见 的拆项公式有 1 n nk 1 11 k nnk 1 nkn 1 nkn k 1 21 21 nn 111 2 2121nn 等 5 分组求和法 有一类数列 既不是等差数列 也不是等比数列 若将这类数列适当拆开 可分为几个 等差 等比或常见的数列 即先分别求和 然后再合并 形如 1 其中 nn ba 是等比数列 是等差数列 n n b a 2 2 12 Nkknng knnf an 活动思考 阅读拓展活动思考 阅读拓展 如何正确的作到数列求和 裂项求和 如果数列的通项公式可转化为 f n 1 f n 的形式 可尝试采用此法 使用此法时必 须注意有哪些项被消去 哪些项被保留 错项相消法 适用于求差比数列的前 n 项和 其中 为等差数列 为等比数 n a nnn cba n b n c 列 并项求和 即通过对通项结构特点的分析研究 将数列分解 转化为若干个能求和的新数列的和或差 从而求和的一种方法 倒序相加法求和 若一个数列和的各项系数是 首尾 对称的 则可采用此法 如 求和 321 1 4321 1 321 1 21 1 1 Nn n 首先研究最后一项的通项公式 有利于问题的解决 1 2 21 1 kkk ak 显然可以利用裂项求和法求解 即 1 11 2 1 2 kkkk 数列的概念与简单表示法 2019 年高考提升之数学考点讲解与真题分析 七 第 3 页 共 10 页 数学的发展和至善和国家繁荣昌盛密切相关 1n n 1 32 1 21 1 2Sn 1 2 1 1 12 1 11 3 1 2 1 2 1 1 2 n n nnn 2018 广东肇庆理科二模 设数列 an 的前n 项和为 Sn 且 Sn 1 2an 1 求 an 的通项公式 2 若 bn log2an 1 且数列 bn 的前 n 项和为 Tn 求 1 T1 1 T2 1 Tn 2018 山东菏泽高三理科一模 已知数列 an 的首项为 a1 1 其前 n 项和为 Sn 且数列是公差为 2 的等 差数列 1 求数列 an 的通项公式 数列的概念与简单表示法 2019 年高考提升之数学考点讲解与真题分析 七 第 4 页 共 10 页 数学的发展和至善和国家繁荣昌盛密切相关 2018 江西新余一中模拟 设数列 an 满足 a1 2 a2 6 且 an 2 2an 1 an 2 若 x 表示不超过 x 的最大整数 则 2018 届上海市长宁 嘉定区高三第一次质量调研 已知数列的前项和为 且 n an n S 1 1a 若 则数列的前项和 1 2 nnn Sa a nN 1 21 1 n n nn n b a a n bn n T 2018 四川内江高三一模 已知 Sn是等差数列 an 的前n 项和 a1 1 a8 3a3 则 2018 浙江省温州市普通高中高三一模 已知数列的前项和为 n an n S 1 3 2112 2 nn aSnan 数列的概念与简单表示法 2019 年高考提升之数学考点讲解与真题分析 七 第 5 页 共 10 页 数学的发展和至善和国家繁荣昌盛密切相关 1 求的通项公式 n a 2 设 数列的前项和为 证明 2 1 1 n n bnN a n bn n T 7 10 n TnN 2018 浙江 20 已知等比数列 an 的公比 q 1 且 a3 a4 a5 28 a4 2 是 a3 a5的等差中项 数列 bn 满 足 b1 1 数列 bn 1 bn an 的前 n 项和为 2n2 n 求 q 的值 求数列 bn 的通项公式 2018 安徽淮南高三一模 已知数列 an 为等差数列 且 a3 5 a5 9 数列 bn 的前 n 项和为 Sn 1 求数列 an 和 bn 的通项公式 2 设 cn an bn 求数列 cn 的前 n 项和 Tn 数列的概念与简单表示法 2019 年高考提升之数学考点讲解与真题分析 七 第 6 页 共 10 页 数学的发展和至善和国家繁荣昌盛密切相关 2018 北京海淀区高三二模 已知等差数列 an 满足 2an 1 an 2n 3 求数列 an 的通项公式 若数列 an bn 是首项为 1 公比为2 的等比数列 求数列 bn 的前 n 项和 2018 山东济南高三期中 等差数列 an 的前 n 项和为 Sn 数列 bn 是等比数列 满足 a1 3 b1 1 b2 S2 10 a5 2b2 a3 1 求数列 an 和 bn 的通项公式 2 若 cn Error Error 设数列 cn 的前 n 项和为 Tn 求 T2n 重难点突破重难点突破 考点一 错位相减 一般地 如果数列是等差数列 是等比数列 求数列的前 n 项和时 可采用错位 n a n b nn ba 相减法 用错位相减法求和时 应注意 要善于识别题目类型 特别是等比数列公比为负数的情形更值得 注意 在写出 与 q 的表达式时应特别注意将两式 错项对齐 以便于下一步准确写出 n S n S 的表达式 应用等比数列求和公式必须注意公比这一前提条件 如果不能确定公比 q 是 n S n qS 1 q 否为 1 应分两种情况讨论 这在以前高考中经常考查 例例 1 2018 山东烟台高三三月模拟考试 山东烟台高三三月模拟考试 已知点 1 2 是函数 01 x f xaaa 且 的图象上 一点 数列 n a 的前n项和 1 n Sf n 1 求数列 n a 的通项公式 2 若 1 log nan ba 求数列 nn a b 的前n项和 n T 数列的概念与简单表示法 2019 年高考提升之数学考点讲解与真题分析 七 第 7 页 共 10 页 数学的发展和至善和国家繁荣昌盛密切相关 变式训练题 变式训练题 2018 2018 杭州模拟 在等差数列杭州模拟 在等差数列 n a中 已知中 已知 123 9aaa 246 21aaa 求数列 求数列 n a的通项公式 的通项公式 设 设 n n n ab 2 求数列 求数列 n b的前的前n项和项和 n S 考点二 裂项相消法考点二 裂项相消法 如果数列的通项公式可转化为 f n 1 f n 的形式 常采用裂项求和的方法 特别地 当数列 形如 其中是等差数列时 可尝试采用此法 使用裂项法 要注意正负项相消时 消去了 1 1 nna a n a 哪些项 保留了哪些项 要注意由于数列中每一项均裂成一正一负两项 所以互为相反数的项合 n a n a 并为零后 所剩正数项与负数项的项数必是一样的 切不可漏写未被消去的项 未被消去的项有前后对称 的特点 实质上 正负项相消是此法的根源和目的 例 2 2018 广东梅州高三质检 已知数列的相邻两项是函数 n a 1 nn aa 的两个不同的零点 且 2 2 Nnbxxxf n n 1 1 a 1 求证 数列是等比数列 2 3 1 n n a 2 设是数列的前 n 项和 求 n S n a n S 来源 学 ZXXK 变式训练题 变式训练题 已知数列已知数列 n a的前的前n项和为项和为 n S 点 点 n n SnN 在函数在函数xxxf23 2 的图象上 的图象上 1 1 求数列 求数列 n a的通项公式 的通项公式 2 2 设 设 1 3 nn n aa b 求数列 求数列 n b的前的前n项和项和 n T 数列的概念与简单表示法 2019 年高考提升之数学考点讲解与真题分析 七 第 8 页 共 10 页 数学的发展和至善和国家繁荣昌盛密切相关 考点三 倒序相加法考点三 倒序相加法 变式训练题 变式训练题 已知函数 f x 对任意的都有Rx 2 1 1 xfxf 1 求和的值 2 1 f 1 1 Nn n n f n f 2 数列满足 求数列的 n a 1 1 2 1 0 f n n f n f n ffan n a 通项公式 n a 课堂巩固 夯实基础课堂巩固 夯实基础 一 选择题 2 1 1 可以用倒序相加法求和定值 项相加和为由于首末两项等距的两若求和时 ni n in f n i f 2 1 2 1 2 1 33 3 f x 3 21 222111 x x n n f n f n f P P PPP yxPyxP 求 并求出这个值点的纵坐标为定值求证 点的横坐标为且的中点为若 的图象上有两点设函数例 数列的概念与简单表示法 2019 年高考提升之数学考点讲解与真题分析 七 第 9 页 共 10 页 数学的发展和至善和国家繁荣昌盛密切相关 1 等差数列 an 中 a2 6 a5 15 若 bn a2n 则数列 bn 的前 5 项和等于 A 30B 45C 90D 186 2 如果数列 an 满足 a1 2 a2 1 且 1 1 1 1 n nn n nn a aa a aa n 2 那么这个数列的第 10 项等于 A 10 2 1 B 9 2 1 C 10 1 D 5 1 3 数列 an bn 都是公差为 1 的等差数列 若其首项满足 a1 b1 5 a1 b1 且 a1 b1 N 则数列 n b a 前 10 项的和等于 A 100B 85C 70D 55 4 已知等差数列 n a的公差为正数 且12 73 aa 4 64 aa 则 20 S为 A180 B180 C90 D90 5 设函数axxxf m 的导函数12 xxf 则数列 1 Nn nf 的前n项和是 A 1 n n B 1 2 n n C 1 n n D n n1 二 填空题二 填空题 6 设等比数列的公比为 q 前 n 项和为 Sn 若 Sn 1 Sn Sn 2成等差数列 则 q 的值为 n a 7 用砖砌墙 第一层 低层 用去了全部砖块的一半多一块 第二层用去了剩下砖块的一半多一块 依 次类推 每一层都去了上次剩下砖块的一半多一块 到第十层恰好把砖用完 则此次砌墙共用去了砖块数 为 8 已知等比数列 an 中 a1 3 a4 81 若数列 bn 满足 bn log3 an 则数列 1 1 nnb b 的前 n 项和 Sn 9 在数列中 且则 n a 1 1a 2 2a 2 11 n nn aanN 100 S 三 解答题三 解答题 10