合金厂的生产规划(数学建模相关习题)

数学实验 合金工厂的生产规划 上海交大数学系乐经良 数学既不严峻 也不遥远 她和几乎所有的人类活动有关 还让每个对她感兴趣的人受益 R C Buck 数学是理解世界及其发展的一把主要钥匙 里约热内卢宣言 数学规划是运筹学和管理科学中应用级广泛的分支 在多数情况下 数学规划的使用如此成功以至它超出运筹学的范畴 成为人们日常的规划工具 数学规划包括线性规划 非线性规划 整数规划 几何规划和多目标规划等 每种规划包含无数的实例 由于计算量的巨大 算法问题是极为重要的 实际问题 由于A B C三种元素都是原料市场上十分紧缺的货品 工厂每月所能得到的这些元素的供应量分别为200kg 200kg和360kg 工厂生产每吨甲种合金的利润为30万元 生产每吨乙种合金的利润为40万元 某合金工厂生产甲 乙两种合金 生产每 A元素20kg B元素40kg和C元素90kg 吨甲种合金需用 而生产每吨乙种合金需用 A元素100kg B元素80kg和C元素60kg 试问 该工厂应如何安排生产 才能获得最大利润 数学模型 设每月生产甲种合金x1吨 乙种合金x2吨 利润为u万元 那么u 30 x1 40 x2要求何时有maxu max 30 x1 40 x2 x1 x2满足约束条件 线性规划问题 求最优解 二元一次方程a1x1 a2x2 b代表x1x2平面上的一条直线 而二元一次不等式a1x1 a2x2 b则代表了以此直线为界的半平面 图解法 a1x1 a2x2 b a1x1 a2x2 b 这问题中约束条件意味着五个半平面的交集 它是一个包含边界的凸多边形OPQRS 线性规划的容许集 x2pQR0Sx1 x2pQR0Sx1 30 x1 40 x2 u 将u视作参数 则30 x1 40 x2 u代表一条直线 随着u的增或减 直线向右上或左下方平移 若直线经过容许集的某顶点时再增减将使直线离开容许集 则此临界状态直线所对应的u的就是所求的最大值 所过顶点的坐标就是问题的最优解 从图看出最优解应为R点 最优解在R点 由R是直线40 x1 80 x2 200与直线90 x1 60 x2 360的交点 可得最优解为x1 3 5 x2 0 75 此时有最大值为u 135 说明安排月生产甲 乙种合金分别为3 5吨 0 75吨t 才能获得最大利润135万元 问题的解答 图解法的局限 画图并不方便 可以不画图而求出容许集所有的顶点 再将目标函数在这些顶点上的值加以比较来求出最优解 但在约束条件多或多变量时 也是难以做到的 单纯形法 基本思路是 线性规划 通常是求最小值的形式 若有最优解 其必定在容许集 在相应几何空间中是一个凸多面体 的顶点达到 故从某一个顶点出发 沿着凸多面体的棱向另一顶点迭代 使得目标函数的值下降 经过有限次迭代 将达到最优解点 利用Mathematica 单纯形法的计算是线性规划算法中极为重要的内容 In 1 ConstrainedMin 30 x1 40 x2 20 x1 100 x2 x2 24 关于线性规划的数学软件 Matlab不仅有处理线性规划的功能 而且有处理非线性规划的功能 在工具箱optimizationtoolbox 当变量和约束条件个数增加时 数百甚至数千个是 小规模 的 往往是几万或几十万个 需要更有效的软件 Soplex GULF PCx为免费软件 基于Kamarker算法的Bell实验室的商用软件价格昂贵 实验任务 1 药房有两种复合维生素制剂 甲种每粒含维生素A B各1克 D E各4克和C5克 乙种每粒含维生素A3克 B2克 D1克 E3克和C2克 一顾客每天需摄入维生素A不超过18克 B不超过13克 D不超过24克和E至少12克 问 1 每天应服两种维生素各多少才能满足需要而且尽可能摄入较多的维生素C 2 甲种复合维生素每粒1 5元 乙种复合维生素每粒1元 选择怎样的服法才能花最少的钱而又满足每天的需要 此时顾客摄入的维生素C是多少 2 某工厂准备制造一批设备 每件设备需要7根2m长和2根7m长的钢梁 钢梁由150根长15m的钢材截成 问如何截取钢材能使产生的废料最少 以上两题 至少第1题 用图解法求解 3 农场有A B和C三块地 分别是200km2 400km2和600km2 计划种植水稻 大豆和玉米 要求三种作物的最低收获量分别为375t 120t和750t 估计各块地种植三种作物的单产 单位 t km2 如表所示ABC水稻11 2509 7509 000大豆6 0006 7505 250玉米15 00013 50012 750 4 铸铁厂要生产一种规格的铸件共10t 其成分要求为 锰含量至少达到0 45 硅含量允许在3 25 5 5 市场有充分的锰和三种不同型号的生铁可供作铸件的炉料使用 它们价格是锰每千克75元 A种生铁每吨1700元 B种生铁每吨1900元 C种生铁每吨1400元 三种生铁含锰和硅的成分百分比 如表所示ABC锰0 40 50 35硅410 5若不计冶炼铸造过程中的损耗 问工厂怎样选择炉料能使成本最低 应如何制订种植计划能使总产量最高 又若作物的售价为水稻元 t 大豆元 t 玉米950元 t 那么应如何制订种植计划能使总收益最高 6 某牧场所饲养一批动物 平均每头动物每天至少需要700g蛋白质 30g矿物质和100g维生素 现在有甲 乙 丙 丁和戊五种饲料可选用 每千克饲料的营养成分