概率与数理统计2

一 点估计 二 区间估计 3 5参数估计 思考 从一片桃园中随机抽取10颗桃树 测得其产量 单位 kg 分别为422 402 406 445 462 473 394 433 501 458 假设桃树的产量服从正态分布 那么能否用这10颗桃树的平均产量来推断该桃园的平均产量 因样本是从总体中随机抽出来的 所以样本能够不同程度地反映总体的信息 故可以考虑用这10颗桃树的平均产量来推断该桃园的平均产量 因为这10颗桃树的平均产量为440kg 所以 我们可以认为该桃园的平均产量约为440kg 这种用样本值计算出一个估计值用以估计总体参数值的方法就叫点估计 一 点估计 所谓点估计就是由样本 确定一个统计量 用它来估计总体的未知参数 称为总体参数的估计量 当具体的样本抽出后 可求出样本统计量的值 用它作为总体参数的估计值 称作总体参数的点估计 总体平均数和总体方差可以用样本平均数和方差来估计 估计公式分别为 例1某灯泡厂某天生产了一大批灯泡 从中抽取了10个进行寿命实验 得数据如下 单位 小时 问该天生产的灯泡平均寿命是多少 解计算出 1147 以此作为总体期望值 的估计 由于样本带有随机性 由一个样本得到的点估计值不一定恰是估计的参数真值 也不能给出估计误差的大小及可靠程度 如果我们能够找出一个变化区间 它既能告诉我们参数的真正数值在什么范围内 又能告诉我们下此结论有多大的把握 就能弥补点估计的不足 这就是参数的区间估计问题 由于样本带有随机性 由一个样本得到的点估计值不一定恰是估计的参数真值 也不能给出估计误差的大小及可靠程度 如果我们能够找出一个变化区间 它既能告诉我们参数的真正数值在什么范围内 又能告诉我们下此结论有多大的把握 就能弥补点估计的不足 这就是参数的区间估计问题 对总体未知参数 的区间估计 就是要确定的两个统计量 对于给定值 0 1 使得 则称区间 为 的置信度为1 的置信区间 1 2已知时 总体均值的区间估计设总体是来自总体的样本 根据区间估计的定义 在1 置信度下 总体均值 的置信区间为 1 正态总体均值的区间估计 则且 即 从而有 即在1 置信度下 的置信区间为 例2已知某零件的直径服从正态分布 从该批产品中随机抽取10件 测得平均直径为202 5mm 已知总体标准 2 5mm 试确定该种零件平均直径的置信区间 给定置信度为0 95 解 已知 202 5 n 10 1 0 95 查标准正态分布表 得 2 1 96 所以在1 置信度下 的置信区间为 即 计算结果为 200 95 204 05 5 2 2单个总体参数的区间估计 2 2未知时 总体均值 的估计当方差未知时 可以用样本方差来代替总体方差 所以 的1 a置信区间为 即得 例3假定初生婴儿 男孩 的体重服从正态分布 随机抽取12名婴儿 测其体重为3100 2520 3000 3600 3160 3560 3320 2880 2600 3400 2540 试以0 95的置信度估计新生婴儿的平均体重 单位 g 解 方差 2未知 估计 的置信区间 对于给定的 查表确定 的置信度为0 95置信区间是 根据样本值计算 设是来自总体的样本 2 总体方差的区间估计 m未知 估计 2 查表确定的值 使 s2的置信度为1 的置信区间为 例4根据例3测的数据对新生男婴儿体重的方差进行区间估计 0 05 解 未知 估计方差 2的置信区间 对于给定的 0 05 查表确定 则 2的置信度为1 的置信区间为 70752 405620 2 用样本方差估计总体方差 1 一天随机测了6次气温 数据如下 27 30 38 37 35 31 试估计该天的平均气温及离散程度 2 某厂生产的某种玻璃试管 从以往的经验可以认为其口径 单位 mm 服从正态分布 从某天的产品中随机抽取6个 测得口径如下 14 6015 2114 9014 9115 3215 32若已知该天产品的口径方差是0 05 试求平均口径的置信度为0 99的置信区间 练习 3 对某种飞机轮胎的耐磨性进行试验 8只轮胎起落一次后测得磨损量 单位 mg 4900 5220 5500 6020 6340 7660 8650 4870 假定轮胎的磨损量服从正态分布 试求磨损量方差的置信区间 取 0 05 一 假设检验的基本概念 二 单个正态总体均值的假设检验 3 6单个正态总体的均值与方差的假设检验 三 单个正态总体方差的假设检验 引言 与点估计一样 假设检验也是一种重要的统计推断方法 在点估计中 我们利用样本信息给出待估参数的一个估计值 而假设检验则是先对总体的未知参数提出某种假设 然后再利用样本信息验证此假设是否成立 例如 食盐工厂要求食盐包装是500克一包 在一批产品生产出来之后 先要通过抽样检验是否是500克一包 只有确认了是500克一包之后才能出厂 否则只好收回重包 这个问题也就是利用样本信息检验假设H0 500是否成立 若用 表示食盐重量 假设 N 2 一 假设检验的基本概念 假设检验就是先对总体的未知参数提出某种假设 然后再利用样本信息验证此假设是否成立 为了说明上述原则 我们举个例子 例如 某厂有产品200件 按国家规定次品率p不超过1 才能出厂 今在其中任抽5件产品发现有次品 问这批产品能否出厂 若H0成立 则200件产品中至多含2件次品 假设检验的原理 实际推断原则 小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的 解 假设H0 任抽的5件产品中不含次品的概率p为 由此可见在任抽的5件产品中不含次品的概率大于0 95 而含次品的概率小于0 05 这就是说在任抽的5件产品中含次品是小概率事件 根据实际推断原则 小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的 如果发生了 我们就认为是不合理的 现在的问题是小概率事件在一次试验中竟然发生了 我们认为这是不合理的 而导致这种不合理现象发生的原因在于假设H0 因而我们认为假设H0是不可接受的 故这批产品不能出厂 一般地 假设H0称为原假设 与原假设对立的假设称为备择假设记为H1 一般地 在假设检验中将小概率值记为 称为显著性水平 通常取为0 01 0 05 假设检验基本步骤 1 提出原假设 确定备择假设 2 根据已知条件选取合适的统计量 3 由给定的检验水平 查表确定在H0成立的条件下的临界值 确定拒绝域 4 计算检验量的值并判断 得出结论 当统计量的值落入拒绝域时拒绝原假设 否则接受原假设 二 单个正态总体均值的假设检验1 方差已知的均值检验 设是来自正态总体N 2 的样本 假设H0 0 H1 0 构造统计量 由 U检验 如果统计量的观测值 则拒绝原假设 否则接受原假设 确定拒绝域 例1由经验知某零件的重量 N 2 15 0 05 技术革新后 抽出6个零件 测得重量为 单位 克 14 7 15 1 14 8 15 0 15 2 14 6 已知方差不变 试统计推断 平均重量是否仍为15克 0 05 解由题意可知 零件重量 N 2 且技术革新前后的方差不变 2 0 052 要求对均值进行检验 采用U检验法 假设H0 15 H1 15 构造U统计量 得 因为4 9 1 96 即观测值落在拒绝域内 所以拒绝原假设 而样本均值为 故U统计量的观测值为 2 方差未知的均值检验 假设H0 0 H1 0 构造T统计量 由 T检验 如果统计量的观测值 则拒绝原假设 否则接受原假设 确定拒绝域 设是来自正态总体N 2 的样本 例2化工厂用自动包装机包装化肥 每包重量服从正态分布 额定重量为100公斤 某日开工后 为了确定包装机这天的工作是否正常 随机抽取9袋化肥 称得平均重量为99 978 均方差为1 212 能否认为这天的包装机工作正常 0 1 解由题意可知 化肥重量 N 2 0 100方差未知 要求对均值进行检验 采用T检验法 假设H0 100 H1 100 由 0 1得临界值 因为0 0545 1 86 即观测值落在接受域内 所以接受原假设 即可认为这天的包装机工作正常 而样本均值 标准差分别为 故T统计量的观测值为 三 单个正态总体方差的假设检验 构造 2统计量 由 如果统计量的观测值 则拒绝原假设 否则接受原假设 确定临界值 或 2检验 假设 设是来自正态总体N 2 的样本 例3某炼铁厂的铁水含碳量X在正常情况下服从正态分布 现对工艺进行了某些改进 从中抽取5炉铁水测得含碳量如下 4 421 4 052 4 357 4 287 4 683 据此是否可判断新工艺炼出的铁水含碳量的方差仍为0 1082 0 05 解这是一个均值未知 正态总体的方差检验 用 2检验法 由 0 05 得临界值 假设 计算 2统计量的观测值为17 8543 因为 所以拒绝原假设 即可判断新工艺炼出的铁水含碳量的方差不是0 1082 因为假设检验是根据一次试验得到的样本作出的判断 由于样本的随机性 有可能犯两类性质的错误 一类是尽管是正确的 但根据样本值计算统计量的结果却落到了拒绝域 从而拒绝 这时我们就犯了 弃真 错误 又称第一类错误 另一类 假如是错误的 但根据样本值计算统计量的结果却落到了接受域 从而接受 这时我们就犯了 存伪 错误 又称第二类错误 因为样本容量一定的情况下 要想同时减少两类错误是不可能的 所以实际问题中 通常预先控制犯第一类错误的概率 比如0 01 0 05 等 通过增加样本容量来减少犯第二类错误的概率 练习 1 根据长期经验知道 某零件重量服从正态分布 且总体均值为15 方差是0 05 技术革新后抽取6个样品 测得重量 单位 克 为14 7 15 1 14 8 15 0 15 2 14 6已知方差不变 问零件的平均重量是否仍为15克 0 05 2 某种零件的尺寸服从正态分布 随机抽取6件 得尺寸 单位 mm 数据为31 56 29 66 31 64 30 00 31 87 31 03 在显著性水平0 05时 能否认为这批零件的理论尺寸是32 50mm 3 一种自动机床生产产品的某个尺寸服从正态分布 方差为100 现随机取5件产品 测得样本标准差为13 5mm 试判断机床精度有无显著变化 0 05 一 一元线性回归方程的确定 二 一元线性回归方程的检验与预测 3 7一元线性回归 在一次对母女身高关系的研究中 研究人员获得了一组样本数据 单位 cm 如何通过这些数据说明两者之间的定量关系 在这个问题中 女儿身高不仅受母亲身高的影响 还受到其他其它不少因素 饮食营养 体育锻炼等 的影响 所以 女儿身高与母亲身高之间不具备严格的函数关系 我们称女儿身高y与母亲身高x这两个变量之间的关系为相关关系 为了探求两者之间的定量关系 我们可以母亲身高为x轴 女儿身高为y轴 将表中的10对数据 作为点的坐标描绘在xoy平面上 如图所示 这样的图形叫做散点图 由图可见 所有散点都分布在图中画出的一条直线附近 显然这样的直线还可以画出许多条 而我们希望找出其中的一条 它能最好地反映x与y之间的关系 记此直线方程为 显然 这里并不能准确反映y的实际值 但是却可以为我们预测y值提供很有价值的参考 我们把这个方程叫做y对x的回归直线方程 其中a b叫做回归系数 一 一元线性回归方程的确定设x和y是两个存在相关关系的变量 x与y且与的一组观察值为 作出其散点图如果散点图中的n个点大致分布在一条直线附近 那么x和y的相关关系就可以用回归直线方程 若来近似描述 利用有关知识可以求出 当 直线能最好的反映y与x之间的关系 其中 于是得到方程 我们称此方程为y关于x的一元线性回归方程 把任务引入中的数据代入上面的公式 或者利用计算器 得故女儿身高y关于母亲身高x的回归直线方程为y 11 33 0 93x 二 一元线性回归方程的检验与预测从上面回归直线方程的计算过程可以看出 只要给出x和y的n对数据 即使两变量之间根本没有线性相关关系 也可以得到一个一元线性回归方程 当然这样的回归方程毫无意义 所以求得回归方程后 必须要检验x和y之间是否存在线性相关关系 1 相关显著性检验定义设变量x和y的一组观察值为 称为y对x的相关系数 通过分析得出y和x之间线性相关关系的密切程度 令查附表得则当时 y和x的线性相关关系特别显著 当时 y和x的线性相关关系显著 当时 y和x的线性相关关系不显著 其中 为在显著性水平 下的临界值 可查附录V得到 通过计算可知 女儿身高与母亲身高在显著性水平0 01下的的线性相关关系特别显著 2 预测在建立了回归直线方程并通过显著性检验后 就可以用方程来预测y的值 1 点预测点预测就是根据给定的x0 代入回归方程后 将求得的作为y0的预测值 2 区间预测区间预测就是在给定的x0 利用区间估计的方法 求出y0的置信区间 可以证明 对于给定的显著性水平 y0的置信度1 的置信区间为其中 若给定显著性水平 0 01 求当母亲身高x0 157时 女儿身高y的预测区间 计算A 0 83 t0 05 8 3 355 157 34 故预测区间为 157 340 83 3 355 157 34 0 83 3 355 即 154 57 160 11 例110名国外优秀400米男运动员的100米与400米成绩如下 试分析他们的100米与400米成绩之间的关系 解 画出散点图 计算100米与400米成绩之间的相关系数与一元线性回归方程 故两者的线性相关关系特别显著 一元线性回归方程为 1 以下数据给出了9个销售商某月获得的代理收入以及他们销售经历的年数 求 1 销售额对销售经历的年数的回归直线方程 2 置信度为0 95时 销售额与销售经历的年数的相关程度 3 由10年销售经历的销售商预计会有多少销售额 练习 2 上网搜集1993年至2006年中国的国内生产总值 GDP 的数据 根据搜集的数据分析GDP与年份的关系 并建立GDP与年份的回归方程 利用回归方程预测2007年的GDP是多少 与2007年实际的GDP比较误差是多少 1 抛掷两枚均匀的骰子 求下列事件的概率 1 点数和为1 2 点数和为6 3 点数和大于10 4 点数和不超过11 2 制造一种零件 甲车床的废品率是0 04 乙车床的废品率是0 05 从它们制造的产品中各任抽一件 其中恰有一件废品的概率是多少 3 在10000张有奖储蓄的奖券中 设有1个一等奖 5个二等奖 10个三等奖 从中买一张奖券 求 1 分别获得一等奖 二等奖 三等奖的概率 2 中奖的概率 复习题三 4 某物业公司负责40家住户的维修业务 已知每家住户在一周内向该物业公司报修的概率为0 1 求在一周内有3 5家住户向物业公司报修的概率 5 一批蚕豆种子的发芽率为0 9 现从中任选5粒播种 计算 1 其中恰有4粒