全等三角形的提高拓展经典题(教师版)

1 全等三角形的提高拓展训练全等三角形的提高拓展训练 知识点睛知识点睛 全等三角形的性质 全等三角形的性质 对应角相等 对应边相等 对应边上的中线相等 对应边上的高相等 对应 角的角平分线相等 面积相等 寻找对应边和对应角 常用到以下方法 1 全等三角形对应角所对的边是对应边 两个对应角所夹的边是对应边 2 全等三角形对应边所对的角是对应角 两条对应边所夹的角是对应角 3 有公共边的 公共边常是对应边 4 有公共角的 公共角常是对应角 5 有对顶角的 对顶角常是对应角 6 两个全等的不等边三角形中一对最长边 或最大角 是对应边 或对应角 一对最短边 或最小 角 是对应边 或对应角 要想正确地表示两个三角形全等 找出对应的元素是关键 全等三角形的判定方法 全等三角形的判定方法 1 边角边定理 SAS 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 2 角边角定理 ASA 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 3 边边边定理 SSS 三边对应相等的两个三角形全等 4 角角边定理 AAS 两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等 5 斜边 直角边定理 HL 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 全等三角形的应用 全等三角形的应用 运用三角形全等可以证明线段相等 角相等 两直线垂直等问题 在证明的 过程中 注意有时会添加辅助线 拓展关键点 拓展关键点 能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系 而证明两 条线段或两个角的和 差 倍 分相等是几何证明的基础 例题精讲例题精讲 板块一 截长补短 例例 1 已知已知中 中 分别平分分别平分和和 交于点交于点 ABC 60A BDCEABC ACB BDCEO 试判断试判断 的数量关系 并加以证明 的数量关系 并加以证明 BECDBC D O E CB A 2 例例 2 如图 点如图 点为正三角形为正三角形的边的边所在直线上的任意所在直线上的任意MABDAB 一点一点 点点除外除外 作 作 射线 射线与与外外B60DMN MNDBA 角的平分线交于点角的平分线交于点 与与有怎样的数量关系有怎样的数量关系 NDMMN 变式拓展训练变式拓展训练 如图 点如图 点为正方形为正方形的边的边上任意一点 上任意一点 且与且与外角的平分线交于点外角的平分线交于点 MABCDABMNDM ABC N 与与有怎样的数量关系 有怎样的数量关系 MDMN 例例 3 已知 如图 已知 如图 ABCD 是正方形 是正方形 FAD FAE 求证 求证 BE DF AE 例例 4 以以的的 为边向三角形外作等边为边向三角形外作等边 连结 连结 相交于点相交于点ABC ABACABD ACE CDBE 求证 求证 平分平分 OOADOE N EBMA D F A B C D E OO E D C B A F E D C B A N C D E B M A 3 例例 5 如图所示 如图所示 是边长为是边长为 的正三角形 的正三角形 是顶角为是顶角为的等腰三角形 以的等腰三角形 以为为ABC 1BDC 120 D 顶点作一个顶点作一个的的 点 点 分别在分别在 上 求上 求的周长 的周长 60 MDN MNABACAMN 例例 6 五边形五边形 ABCDE 中 中 AB AE BC DE CD ABC AED 180 求证 求证 AD 平分平分 CDE 板块二 全等与角度 例例 7 如图 在如图 在中 中 是是的平分线 且的平分线 且 求 求ABC 60BAC ADBAC ACABBD 的度数的度数 ABC 例例 8 在等腰在等腰中 中 顶角 顶角 在边 在边上取点上取点 使 使 ABC ABAC 20A ABDADBC 求求 BDC DCB A N M D CB A C E D B A D CB A 4 例例 9 如图所示 在如图所示 在中 中 又 又在在上 上 在在上 且满足上 且满足ABC ACBC 20C MACNBC 求 求 50BAN 60ABM NMB 例例 10 在四边形在四边形中 已知中 已知 求 求ABCDABAC 60ABD 76ADB 28BDC 的度数的度数 DBC 例例 11 如图所示 在四边形如图所示 在四边形中 中 ABCD12DAC 36CAB 48ABD 求 求的度数的度数 24DBC ACD 例例 12 在正在正内取一点内取一点 使 使 在 在外取一点外取一点 使 使 ABC DDADB ABC EDBEDBC 且且 求 求 BEBA BED C D BA D C BA D E CB A N M C BA 5 例例 13 如图所示 在如图所示 在中 中 为为内一点 使得内一点 使得ABC 44BACBCA MABC 求 求的度数的度数 30MCA 16MAC BMC M CA B 6 全等三角形证明经典 50 题 含答案 1 已知 AB 4 AC 2 D 是 BC 中点 AD 是整数 求 AD 延长 AD 到 E 使 DE AD 则三角形 ADC 全等于三角形 EBD 即 BE AC 2 在三角形 ABE 中 AB BE AE AB BE 即 10 2 2AD 10 2 4 AD 6 又 AD 是整数 则 AD 5 2 已知 D 是 AB 中点 ACB 90 求证 1 2 CDAB 3 已知 BC DE B E C D F 是 CD 中点 求证 1 2 证明 连接 BF 和 EF 因为 BC ED CF DF BCF EDF 所以 三角形 BCF 全等于三角形 EDF 边角边 所以 BF EF CBF DEF 连接 BE 在三角形 BEF 中 BF EF 所以 EBF BEF 又因为 ABC AED 所以 ABE AEB 所以 AB AE 在三角形 ABF 和三角形 AEF 中 AB AE BF EF ABF ABE EBF AEB BEF AEF 所以 三角形 ABF 和三角形 AEF 全等 所以 BAF EAF 1 2 A B CD E F 2 1 D A BC A D BC 7 4 已知 1 2 CD DE EF AB 求证 EF AC 证明 过 E 点 作 EG AC 交 AD 延长线于 G 则 DEG DCA DGE 2 又 CD DE ADC GDE AAS EG AC EF AB DFE 1 1 2 DFE DGE EF EG EF AC 5 已知 AD 平分 BAC AC AB BD 求证 B 2 C 证明 在 AC 上截取 AE AB 连接 ED AD 平分 BAC EAD BAD 又 AE AB AD AD AED ABD SAS AED B DE DB AC AB BD AC AE CE CE DE C EDC AED C EDC 2 C B 2 C 12 如图 四边形 ABCD 中 AB DC BE CE 分别平分 ABC BCD 且点 E 在 AD 上 求证 BC AB DC 证明 在 BC 上截取 BF BA 连接 EF ABE FBE BE BE 则 ABE FBE SAS EFB A AB 平行于 CD 则 A D 180 又 EFB EFC 180 则 EFC D 又 FCE DCE CE CE 故 FCE DCE AAS FC CD 所以 BC BF FC AB CD A B A C D F 2 1 E C DB 8 13 已知 AB ED EAB BDE AF CD EF BC 求证 F C AB ED AE BD 推出 AE BD 又有 AF CD EF BC 所以三角形 AEF 全等于三角形 DCB 所以 C F 14 已知 AB CD A D 求证 B C 证明 设线段 AB CD 所在的直线交于 E 当 ADBC 时 E 点是射线 AB DC 的交点 则 AED 是等腰三角形 所以 AE DE 而 AB CD 所以 BE CE 等量加等量 或等量减等量 所以 BEC 是等腰三角形 所以 角 B 角 C 15 P 是 BAC 平分线 AD 上一点 AC AB 求证 PC PB AC AB 作 B 关于 AD 的对称点 B 因为 AD 是角 BAC 的平分线 B 在线段 AC 上 在 AC 中间 因为 AB 较短 因为 PC PB B C PC PB B C 而 B C AC AB AC AB 所以 PC PB三角形 ADC 全等于三角形 ABC 所以 BC 等于 DC 角 3 等于角 4 EC EC 三角形 DEC 全等于三角形 BEC 所以 5 6 34 已知AB DE BC EF D C在AF上 且AD CF 求证 ABC DEF 因为 D C 在 AF 上且 AD CF 所以 AC DF 又因为 AB 平行 DE BC 平行 EF 所以角 A 角 EDF 角 BCA 角 F 两直线平行 内错角相等 然后 SSA 角角边 三角形全等 35 已知 如图 AB AC BD AC CE AB 垂足分别为 D E BD CE 相交于点 F 求证 BE CD 证明 因为 AB AC 所以 EBC DCB 因为 BD AC CE AB 所以 BEC CDB BC CB 公共边 则有 三角形 EBC 全等于三角形 DCB D B C c A F E 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 E E D D C C B B A A A C B D E F 15 所以 BE CD 36 如图 在 ABC 中 AD 为 BAC 的平分线 DE AB 于 E DF AC 于 F 求证 DE DF AAS 证 ADF 37 已知 如图 ACBC 于 C DEAC 于 E ADAB 于 A BC AE 若 AB 5 求 AD 的长 角 C 角 E 90 度 角 B 角 EAD 90 度 角 BAC BC AE ABC DAE AD AB 5 38 如图 AB AC ME AB MF AC 垂足分别为 E F ME MF 求证 MB MC 证明 AB AC ABC 是等腰三角形 B C 又 ME MF BEM 和 CEM 是直角三角形 BEM 全等于 CEM MB MC 40 在 ABC 中 直线经过点 且于 90ACBBCAC MNCMNAD D 于 1 当直线绕点旋转到图 1 的位置时 求证 MNBE EMNCADC CEB BEADDE 2 当直线绕点旋转到图 2 的位置时 1 中的结论还成立吗 若成立 请给出证明 若MNC 不成立 说明理由 A E B D C F D CB A E B CM A F E 16 1 证明 ACB 90 ACD BCE 90 而 AD MN 于 D BE MN 于 E ADC CEB 90 BCE CBE 90 ACD CBE 在 Rt ADC 和 Rt CEB 中 ADC CEB ACD CBE AC CB Rt ADC Rt CEB AAS AD CE DC BE DE DC CE BE AD 2 不成立 证明 在 ADC 和 CEB 中 ADC CEB 90 ACD CBE AC CB ADC CEB AAS AD CE DC BE DE CE CD AD BE 41 如图所示 已知 AE AB AF AC AE AB AF AC 求证 1 EC BF 2 EC BF 1 证明 因为 AE 垂直 AB 所以角 EAB 角 EAC 角 CAB 90 度 因为 AF 垂直 AC 所以角 CAF 角 CAB 角 BAF 90 度 所以角 EAC 角 BAF 因为 AE AB AF AC 所以三角形 EAC 和三角形 FAB 全等 所以 EC BF 角 ECA 角 F 2 2 延长 FB 与 EC 的延长线交于点 G 因为角 ECA 角 F 已证 所以角 G 角 CAF 因为角 CAF 90 度 所以 EC 垂直 BF 42 如图 BE AC CF AB BM AC CN AB 求证 1 AM AN 2 AM AN 证明 1 BE AC CF AB ABM BAC 90 ACN BAC 90 ABM ACN BM AC CN AB ABM NAC AM AN F B C A M N E 1 2 3 4 AE B M C F 17 2 ABM NAC BAM N N BAN 90 BAM BAN 90 即 MAN 90 AM AN 43 如图 已知 A D AB DE AF CD BC EF 求证 BC EF 连接 BF CE 证明 ABF 全等于 DEC SAS 然后通过四边形 BCEF 对边相等的证得平行四边形 BCEF 从而求得 BC 平行于 EF 44 如图 已知 AC BD EA EB 分别平分 CAB 和 DBA CD 过点 E 则 AB 与 AC BD 相 等吗 请说明理由 在 AB 上取点 N 使得 AN AC CAE EAN AE 为公共边 所以三角形 CAE 全等三角形 EAN 所以 ANE ACE 又 AC 平行 BD 所以 ACE BDE 180 而 ANE ENB 180 所以 ENB BDE NBE EBN BE 为公共边 所以三角形 EBN 全等三角形 EBD 所以 BD BN 所以 AB AN BN AC BD 45 10 分 如图 已知 AD 是 BC 上的中线 且 DF DE 求证 BE CF 证明 AD 是中线 BD CD DF DE BDE CDF BDE CDF BED CFD BE CF 18 46 10 分 已知 如图 AB CD DE AC BF AC E F 是垂足 DEBF 求证 ABCD 证明 DE AC BF AC DEC AFB 90 在 Rt DEC 和 Rt BFA 中 DE BF AB CD Rt DEC Rt BFA C A AB CD 47 10 分 如图 已知 1 2 3 4 求证 AB CD 待定 48 10 分 如图 已知 AC AB DB A