2013研讨会---解析几何

高考命题中解析几何的通性通法研究 安阳市第二中学杨美清2013年4月10日 本讲提纲 一 高考命题的新变化二 高考题的通性通法研究三 如何上好高三的课 一 高考命题的新变化 具体表现 1题型在变 直线 圆锥曲线 二次曲线 二次曲线2考查解析几何思想 即几何问题转化为代数问题的曲线与方程思想 如 求轨迹问题3 几何元素 增多 如求距离 线段长 面积等几何量增多 2010年新课程卷 理 20 本小题满分12分 设分别是椭圆E a b 0 的左 右焦点 过斜率为1的直线与E相交于A B两点 且成等差数列 求E的离心率 设点P 0 1 满足PA PB 求E的方程 本题简单结合了一下数列知识 是一次 二次类型 2011年新课程卷 理 20 本题满分12分 在平面直角坐标系xOy中 已知点A 0 1 B点在直线y 3上 点M满足 M点的轨迹为曲线C I 求C的方程 II P为C上动点 为C在点P处的切线 求O点到距离的最小值 本题结合了向量 均值不等式法求最值等知识 2012年新课程卷 理 20 本题满分12分 设抛物线的焦点为 准线为 已知以为圆心 为半径的圆交于两点 1 若 的面积为 求的值及圆的方程 2 若三点在同一直线上直线与平行 且与只有一个公共点 求坐标原点到距离的比值 与前面比较 12年的题目有了较大变化 1 由一次 二次 二次 二次 2 明显体现几何思想 几何问题转化为代数问题 3 几何元素增多 解析几何学生的不足 1 基本思想和方法没掌握好有很多考生得分低 是因为 过多地注意了 解析几何中几个曲线本身的性质及应用 而忽视 对解析几何基本思想的理解 学法问题 关注点错位 2 盲目计算变形 不适应设出和处理多个字母对解析几何的基本技能和方法也没掌握好 比如 盲目计算变形 不能适当设出字母 不会处理多个字母算式等 二 高考题的通性通法研究 解析几何解读考纲新考纲删去了两直线的夹角公式 定比分点公式 降低了两直线平行与垂直位置关系的要求 降低了双曲线知识的要求 对椭圆 双曲线的准线不作要求 提高了圆的知识的要求 突出了数形结合思想 方程思想与转化化归思想及分类与整合思想 高考命题中大都以1 2道难度中档或中档偏难的客观题 考查直线 圆及圆锥曲线的定义或几何性质 以一道较难的解答题 考查圆和圆锥曲线的基本知识 基本方法和思想以及运算能力 推理能力 主要考什么 1 基础知识主要考查直线 圆的方程 直线与圆的位置关系 圆与圆位置关系 圆锥曲线及其性质 直线与圆锥曲线 2 注重考查解析几何的本质问题 用代数方法解决几何问题 3 重在考查基本技能和思想 重通性通法 主要考察解析几何中蕴含的数学思想和方法 有方程思想 数形结合 分类讨论 转化化归等思想考题趋向 多曲线综合出题 直线和圆的位置关系成为必考题热点问题 圆锥曲线的标准方程 基本的几何性质和求几何量问题 轨迹问题 定点 定值 问题 范围问题等 2012高考第 4 题 设椭圆的左右焦点 为直线上一点 是底角为的等腰三角形 则的离心率为 体会 1 本题关键知识 平面几何中的三角形知识 外角定理 直角三角形 等腰三角形 很常规的基本知识 2解题方法 就是平时的 由图形列出等式 这种 根据题中条件 千方百计列出代数关系式 的解析几何方法真正掌握即可顺利作答 2012高考题 8 8 等轴双曲线的中心在原点 焦点在轴上 与抛物线的准线交于两点 则的实轴长为 解 设 与抛物线准线方程联立 可得 1 本题考的小概念 等轴双曲线及标准方程 实轴长 抛物线准线 2 解析小题主要考一些 基本知识 构成大题的不足部分 合成比较完整的对解析几何的考查 解析小题对教学的启示 平时教学中 把基本知识练扎实 如 概念 结论 规定 规则等 要熟练掌握 考生失误点 基础不扎实 实轴长 忘记了 抛物线的准线是什么 线段的 弦长公式 忘记了 2012年新课程卷 20 本小题满分12分 设抛物线的焦点为 准线为 已知以为圆心 为半径的圆交于两点 1 若 的面积为 求的值及圆的方程 2 若三点在同一直线上直线与平行 且与只有一个公共点 求坐标原点到距离的比值 1 本人感觉 无图形 需要考生自己 能画出图形 的能力2 注意 1 焦点位置 2 圆与直线位置关系 3 本题难度不大 运算量减少 考察的最基本知识有 抛物线定义 圆的半径均相等 列解方程的思想意识 点到直线距离公式 平行线的斜率相等 判别式法求相切4 由本题看出 1 解析几何命题趋势是 体现 最基本 知识和技能 最基础 解析思想 化形为数 列解方程 2 预计明年 加大运算量 平面几何知识运用和定值的考查 圆锥曲线的命题规律 1 选择填空题 考查对定义 几何性质的理解运用基本技能 运用直接法 定义法 待定系数法列出曲线方程 求圆锥曲线的标准方程 预测今年 求离心率或离心率范围 2 解答题 考综合能力 往往与平面几何 圆锥曲线定义 圆等知识综合预测今年 与圆的综合 圆锥曲线的几何背景问题 直线与圆的命题规律 1直线 考题以倾斜角 斜率 距离 平行与垂直 线性规划等有关的问题为基本问题 1 重点掌握直线的点斜式 斜截式 一般式 2 对称问题 点对称 直线对称 要熟记解答的具体方法 2圆 主要考查标准方程和一般方程的互化 直线与圆 圆与圆位置关系 转化为圆心到直线距离 判别式法等 等基础知识出题方式 一是小题 考直线与圆的有关概念 二是大题 考直线 圆与圆锥曲线的位置关系及几何性质 面积周长等 难度不会太大 重点是基本方法 解解析几何题的通性通法 方法1 大胆地设出字母设元与消元 近年来高考热衷 字母运算 较多教材自开至终都在教给学生使用字母 学会恰时恰点地设出题目中需要的字母 是学习解析几何的第一关 也是快速解解析几何题的一个秘诀 1 把题目中涉及的未知量 不定量 不定的位置 动点 动直线等用一些字母表示出来 如 点的坐标 直线的斜率 圆锥曲线方程中的参量字母 直线方程等 高考研究的实用性 通法应是学生的通法 老师看起来容易 学生看不一定容易 想不到 一看就知道 2 设出字母 题型大致有三 1 设出字母 并求出字母的数值 用解方程或方程组的渠道 2 设出字母 设而不求整体代入得出所求 圆的割线方程求法 在圆外一点向该圆引两切线 求过两切点的割线方程 3 设出字母 逐步消元 列出若干个方程得到方程组解题 例如点差法 这种方法的条件是与 中点 斜率 等有关 但核心是 曲线与方程 涵义的应用 是字母意识的巧妙使用 例如 已知抛物线的焦点为F 直线过点M 4 0 1 若点F到直线的距离为 求直线的斜率 2 设A B为抛物线上两点 且AB不与x轴垂直 若线段AB的垂直平分线恰过点M 求证 线段AB中点的横坐标为定值 解 1 略 2 设 则线段AB的中点 体会 此题巧妙运用了设而不求整体代入的方法 方法2 大练运算功 运算需要思考 运算本身就是思维过程解析几何中设出字母列出关系式后 要有坚决地 算下去 的勇敢 又要有能及时地 停下来 的灵活性 大练算功的途径 可结合习题有目的地逐步练习 安阳市二模 20 在直角坐标系中 点到两点 的距离之和等于4 设点的轨迹为 求曲线的方程 过点作两条互相垂直的直线分别与曲线交于和 求四边形面积的取值范围 体会 1 本题考查了求轨迹问题 2 结合平面几何中的面积问题 考查了解析几何的基本思想 用代数方法解决几何问题 同时也是算功的显著体现 方法3 运用 原始定义 1 定义的代数式 椭圆的定义 双曲线 抛物线 直线的倾斜角 曲线与方程 的定义的应用等 2 定义的几何性 到两定点距离和差为定值 判断曲线类型是否为三种圆锥曲线 3 圆锥曲线标准方程 离心率 a b c三者之间关系的运用 安阳市二模 4 已知双曲线的两个焦点分别为 则满足的周长为的动点P的轨迹方程为 A B C D 体会 本题考查了用原始定义求轨迹问题 例如 已知分别为椭圆的左右焦点 椭圆内一点M的坐标为 2 6 P为椭圆上一个动点 则的最大值是 解 体会 此题充分利用了椭圆的几何定义 结合三点共线巧妙解答 方法4 注意结合平面几何性质 首先把题中平几性质挖掘出来是关键的 再用坐标把几何性质展现出来 进而列出等式解题或求出曲线方程更重要 善于把几何语言条件 转化为代数语言的条件 是解析几何思想的核心 也是解解析几何题的通性通法 2012北京卷 理 19 本小题共14分 已知曲线C 5 m m 2 8 m R 1 若曲线C是焦点在x轴点上的椭圆 求m的取值范围 2 设m 4 曲线c与y轴的交点为A B 点A位于点B的上方 直线y kx 4与曲线c交于不同的两点M N 直线y 1与直线BM交于点G 求证 A G N三点共线 解 1 原曲线方程可化简得 由题意可得 解得 2 由已知直线代入椭圆方程化简得 解得 由韦达定理得 设 方程为 则 欲证A G N三点共线 只需证 共线 即成立 化简得 将 代入易知等式成立 则A G N三点共线得证 体会 首先把几何问题 三点共线 转化为向量共线 再转化为代数问题 其次用坐标把几何性质展现出来 使得问题得到圆满解决 三 如何上好高三的课 教学建议 方法1 放低门槛 做小题越是难题越要从最简单处开始 平时练的题目过难 反而忽略了基本的知识和方法且造成畏难心理 教学中 不妨讲的 单一 绝对 一些 先教条 具体 哪怕不全面也行 再逐步完善 这样做 学生容易接受初步知识和低层次技能 方法2 有针对地做小专题 如 割线与切线问题 相切的方法有 如何求离心率及其范围 直线与圆锥曲线基本解法 轨迹求法专题 等 其他单元知识与方法在解析几何中的运用 如平面几何中面积公式 函数 均值不等式等在解析几何中体现 都可以作为专题进行专门研究 掌握各自解题特点 注意 要做高考热点题型 而过去常考但现在不在考的题型不要再重点研究 如函数最值问题已经淡出 方法3 把模糊的地方及时弄清晰 把常用的方法用熟练 解析