05逻辑学(北大精品课)05

ACourseinLogic 主讲人 何向东 进入 逻辑学教程 第五章模态逻辑 第一节模态逻辑 2020年4月6日星期一 3 模态和模态词 模态 指事物或认识的必然性和可能性等这类性质 模态在思维中的反映 表现为一定的认识和观念 便形成了相应的模态概念 模态词 语言中用以表示模态或模态概念的语词或符号 如 汉语中的 必然性 可能性 英语中的单词 necessity possible 模态算子 通常用人工语言符号 和 来分别表示必然性和可能性 这些人工符号在模态推理中被称为模态算子 2020年4月6日星期一 4 模态的分类 模态按照不同的标准 可分为从物的模态和从言的模态 或客观模态和主观模态 或狭义模态和广义模态 从物的模态 关于事物本身的模态 例如 9必然大于7 从言的模态 关于命题的模态 例如 9大于7 是必然的 客观模态 客观存在的必然性和可能性等性质 例如 飞机的速度不可能超过光速 主观模态 认识中的确定性或不确定性等这类性质 例如 香格里拉可能就在中国的云南省 狭义模态 必然性与可能性等性质 狭义模态又叫真势模态 广义模态 认识和事物中的其他性质 如 知道等认知模态 2020年4月6日星期一 5 模态形式 模态形式 研究含有模态词的思维逻辑形式 它是在经典逻辑形式的基础上增加模态算子等模态成分而形成的逻辑形式 下列模态命题均有对应的逻辑形式 p p p p P q P p q 2020年4月6日星期一 6 四种基本的模态命题 在命题p和 p上增加必然算子 和可能算子 可得到四种基本的模态命题 2020年4月6日星期一 7 模态推理 以模态命题为前提或结论的推理叫做模态推理 例如 1 患阑尾炎但肚子不痛是不能的 所以患阑尾炎则肚子痛是必然的 2 如果小张是党员干部 那么他必然是党员 小张是党员干部 所以 他必然是党员 其推理形式分别为 1 p q P q 2 P q P q模态逻辑学是关于模态形式及其规律的逻辑学 目的在于得到有效的模态推理形式 相应于经典的命题逻辑和谓词逻辑 模态逻辑也可分为模态命题逻辑和模态谓词逻辑 从逻辑史来看 模态逻辑又可分传统模态逻辑和现代模态逻辑 2020年4月6日星期一 8 传统模态逻辑的对当方阵 2020年4月6日星期一 9 传统模态逻辑的对当方阵 由对当关系方阵 可得四种基本模态命题之间的真值关系 1 矛盾关系 p与 p p与 p不能同真 也不能同假 2 反对关系 p与 p不可同真 但可同假 3 下反对关系 p与 p不可同假 但可同真 4 差等关系 p真则 p真 p假则 p假 p假则 p真假不定 p真则 p真假不定 p与 p也有这种关系 2020年4月6日星期一 10 传统模态逻辑的对当推理 矛盾关系对当推理 1 p p 2 p p 3 p p 4 p p反对关系对当推理 5 p p 6 p p下反对关系对当推理 7 p p 8 p p差等关系对当推理 9 p p 10 p p 11 p p 12 p p 2020年4月6日星期一 11 模态对当推理的应用实例 1 罪犯必然有犯罪时间 p 为真 可得 罪犯必然无犯罪时间 p 为假 罪犯可能有犯罪时间 p 为真 罪犯可能无犯罪时间 p 为假 2 并非明天必然下雪 p 等值于 明天可能不下雪 p 3 并非他必然不被当选 p 等值于 他可能被当选 p 2020年4月6日星期一 12 模态六角图 2020年4月6日星期一 13 实然命题与必然命题 可能命题间的推理 经典逻辑中不含模态词的命题叫实然命题 从六角图可以得到如下有效推理 1 p p 2 p p 3 p p 4 p p 5 p p 6 p p 7 p p 8 p p 2020年4月6日星期一 14 实然命题与必然命题 可能命题间的推理 1 8 的推理式体现了结论从弱原则 结论的模态不能强于前提的模态 即必然强于实然 实然强于可能 或然 故上述推理可以简化为 9 p p p 10 p p p 11 p p p 12 p p p根据实然命题的真假可推知相应模态命题的真假 13 p p p 14 p p p 15 p p p 16 p p p 六角图 2020年4月6日星期一 15 直言模态命题 根据 必然 可能 这两个模态词和A E I O四种基本直言命题的组合 得到八种基本的直言模态命题 1 必然全称肯定命题 SAP 2 必然全称否定命题 SEP 3 必然特称肯定命题 SIP 4 必然特称否定命题 SOP 5 可能全称肯定命题 SAP 6 可能全称否定命题 SEP 7 可能特称肯定命题 SIP 8 可能特称否定命题 SOP 2020年4月6日星期一 16 直言模态方阵图 其中 箭头直线为差等关系线 无箭头直线为矛盾关系线 上虚线为反对关系线 下虚线为下反对关系线 2020年4月6日星期一 17 直言模态方阵图的有效推理 1 根据直言模态命题之间的矛盾关系得出的等值式有 1 SAP SOP例如 所有的结果都必然有原因 不可能有的结果没有原因 2 SEP SIP例如 所有的动物必然不是植物 不可能有的动物是植物 3 SIP SEP例如 有的大学生必然是党员 不可能所有的大学生都不是党员 4 SOP SAP例如 有的青年必然不是干部 不可能所有的青年都是干部 2020年4月6日星期一 18 直言模态方阵图的有效推理 1 根据直言模态命题之间的矛盾关系得出的等值式有 5 SAP SOP例如 所有的人的本性可能都是善良的 并非有的人的本性必然是不善良的 6 SEP SIP例如 甲班所有的同学可能都不是学生会干部 并非甲班有的同学必然是学生会干部 7 SIP SEP例如 有的大一学生可能英语过了六级 并非所有的大一学生必然英语没有过六级 8 SOP SAP例如 有的干部可能没有上过大学 并非所有的干部都必然上过大学 2020年4月6日星期一 19 直言模态方阵图的有效推理 2 根据直言模态命题之间的差等关系得出的蕴涵式有 9 SAP SIP 10 SEP SOP 11 SAP SAP 12 SEP SEP 13 SIP SIP 14 SOP SOP 15 SAP SIP 16 SEP SOP 2020年4月6日星期一 20 直言模态方阵图的有效推理 3 根据直言模态命题之间的反对关系得出的蕴涵式有 17 SAP SEP 18 SEP SAP4 根据直言模态命题之间的下反对关系得出的蕴涵式有 19 SIP SOP 20 SOP SIP 2020年4月6日星期一 21 现代模态逻辑的产生 罗素和怀特海建立的经典命题演算中 有一些实质蕴涵的定理 如 1 p p q 等值于 p p q 2 p q p 等值于q p p 这个定理的分别是说 假命题蕴涵任何命题 真命题被任何命题所蕴涵 这就是古典命题逻辑中的实质蕴涵怪论 美国逻辑学家刘易斯 I Lewis 通过对实质蕴涵 的批评 提出了严格蕴涵 以突出条件命题前 后件的必然导致关系 pq df p q 或pq df p q 在此基础上建立了模态命题逻辑系统S1 S5 开创了现代模态逻辑 严格蕴涵就是具有必然性的实质蕴涵 是在经典命题演算的基础增加模态算子 或 得到的 现代模态逻辑的特点 1 它是符号化和公理化的 表现为一些形式系统 2 它是经典逻辑加上一个模态算子的扩张 3 它将传统模态逻辑的范围大大拓宽 是一种广义的模态逻辑 2020年4月6日星期一 22 模态命题的自然推理系统TN 一 初始符号 1 命题变元 NP系统所有命题变元 2 一元算子 3 二元算子 4 辅助符号 二 形成规则 1 任一命题变元是合式公式 2 若A是合式公式 则 A A也是合式公式 3 若A和B是合式公式 则A B A B A B A B是合式公式 4 只有 1 3 构成的符号串是合式公式 2020年4月6日星期一 23 模态命题的自然推理系统TN 三 定义 1 D A df A 2 D AB df A B 3 D A B df AB BA 四 推导规则 1 NP系统的所有推出规则 2 必然引入规则 从定理A可推出 A 3 必然消去规则 从 A可推出A 4 M 必然分离规则 从 A B 和 A可推出 B 即从 A B 可推出 A B 2020年4月6日星期一 24 自然推理系统TN的定理 A是TN的定理 当且仅当A能仅由TN系统的推导规则推出 或者说 有一个无假设 前提为空集 的自然推理以A为其中一项 可记为 TNAA B是TN的定理 当且仅当从A和原前提集出发 由TN系统的推导规则能推出B 可简记为 TNA B或A TNB 2020年4月6日星期一 25 自然推理系统TN的语法推出关系 T1 A A证明 1 AA 2 A 1 T2 A A证明 1 AA 2 AH 的假设 3 A 2 4 A 3 D 5 A 4 6 A A 1 5 7 A 2 6 消去H T3 A A证明 由T2据D 即得 2020年4月6日星期一 26 自然推理系统TN的语法推出关系 T4 A B A B证明 1 A B A 2 A BH1 的假设 3 A 2 4 A B A 2 3 消去H1 5 A B A 4 6 A A B 5 R P 7 A A B 6 M 8 A B A 7 R P 9 A B A 8 D 10 A 1 9 11 A BH2 12 B 11 2020年4月6日星期一 27 10 A 1 9 11 A BH2 的假设 12 B 11 13 A B B 11 12 消去H2 14 A B B 13 15 B A B 14 R P 16 B A B 15 M 17 A B B 16 R P 18 A B B 8 D 19 B 1 18 20 A B 10 19 2020年4月6日星期一 28 自然推理系统TN的语法推出关系 T5 AB BA AC 证明 1 ABA 2 A B 1 D 3 A BH1 的假设 4 AH2 的假设 5 B 3 4 6 B CH3 的假设 7 C 5 6 8 A C 4 7 消去H2 9 B C A C 6 8 消去H3 10 A B B C A C 3 9 消去H1 11 A B B C A C 10 12 A B B C A C 11 M 13 B C A C 2 12 14 B C A C 13 M 15 BA AC 14 D 2020年4月6日星期一 29 自然推理系统TN的语法推出关系 T6 A B A B证明 1 A B A 2 A BH1 的假设 3 A 2 4 A B A 2 3 消去H1 5 A B A 4 6 A B A 5 M 7 A 1 6 8 A BH2 的假设 9 B 8 10 A B B 8 9 消去H2 11 A B B 10 12 A B B 11 M 13 B 1 12 14 A B 7 13 2020年4月6日星期一 30 自然推理系统TN的语法推出关系 T7 A A证明 1 AA 2 AH 的假设 3 A 2 D 4 A A 1 3 5 A 2 4 消去H 2020年4月6日星期一 31 自然推理系统TN的语法推出关系 T8 A B A B 证明 1 A BA 2 A 1 3 B 1 4 AH1 的假设 5 BH2 的假设 6 A B 4 5 7 B A B 5 6 消去H2 8 A B A B 4 7 消去H1 9 A B A B 8 10 A B A B 9 M 11 B A B 2 10 12 B A B 11 M 13 A B 3 12 2020年4月6日星期一 32 自然推理系统TN的语法推出关系 T9 A AB T10 A A B T11 AB B A T12 AB B A T13 A A B T14 A B B A A B T15 A BA 2020年4月6日星期一 33 模态词的语义解释 可能世界语义学能提供模态词的语义解释 1 一个命题是必然的 当且仅当它在所有的可能世界中都为真 2 一个命题是可能的 当且仅当它至少在一个可能世界中为真 一般用W表示可能世界的集合 用V表示在可能世界W中的赋值 如果命题A确实反映了可能世界w的实际情况 则命题A在w中为真 记作 V A w 1 如果命题A没有反映可能世界w的实际情况 则命题A在w中为假 记作 V A w O 上述语义解释可形式化为 1 V A w 1 当且仅当 对任一w V A w 1 2 V A w 1 当且仅当 存在w V A w 1 2020年4月6日星期一 34 模态词的语义解释 如果在可能世界引入一个相对可能关系 则上述解释 1 2 可以进一步严格化 精确化 3 命题A在可能世界w中是必然的 当且仅当它在对w来说的任一可能世界w 中都为真 4 命题A在可能世界w中是可能的 当且仅当它至少在对w来说的一个可能世界w 中为真 克里普克把这种相对可能关系称为可达关系 用R表示 如果可能世界w 相对于可能世界w是可能的 我们就说w可达w 记作wRw 或Rww 2020年4月6日星期一 35 克里普克模型 克里普克模型是一个三元组 W R V 其中W是可能世界的非空集合 R是W上的道义可达关系 而V是命题在可能世界W中的赋值 有了克里普克模型 可以对模态算子 和 进行严格的语义解释 3 V A w 1 当且仅当 对任一w 若wRw 则V A w 1 4 V A w 1 当且仅当 存在w wRw 且V A w 1 2020年4月6日星期一 36 模态命题公式的语义分析 设P为任意的命题变元 A B为任意公式 w w W 为任意的可能世界 V是对模态命题公式的赋值 则可得出下列公式在模型 W R V 下的赋值定义 1 Vp 要么V p w 1 要么V p w 0 1 若V A w 0 2 V V A w 0 否则1 若V A w V B w 1 3 V V A B w 0 否则1 若V A w 1或V B w 1 4 V V A B w 0 否则 2020年4月6日星期一 37 模态命题公式的语义分析 1 若V A w 0或V B w 1 5 V V A B w 0 否则1 若V A w V B w 6 V V A B w 0 否则1 若 w wRw V A w 1 7 V V A w 0 否则1 若 w wRw V A w 1 8 V V A w 0 否则 2020年4月6日星期一 38 模态命题公式的语义分析 设M W R V 为任意模型 A为任意模态公式 w为W中的任意元素 w W 1 若V A w 1 则称A在w上真 记作M wA 若V A w 0 则称A在w上假 记作M wA 2 若存在w W 使得M wA 则称A在M上可满足 若不存w W 使得M WA 则称A在M上不可满足 3 若对任一w W 都有M wA 则称A在M上有效 或称A是M 有效的 记作M wA 第五章模态逻辑 第二节规范逻辑 2020年4月6日星期一 40 规范命题 1 中华人民共和国公民必须遵守法律 2 允许外商到中国境内投资 3 禁止在公共场合吸烟 规范逻辑就是研究规范命题形式和构造相应的形式逻辑理论的学科 含有 必须 允许 禁止 等规范词的命题 叫规范命题 又叫道义命题 例如 2020年4月6日星期一 41 规范命题的种类 必须命题必须命题是含有 必须 应该 一定 有义务 等模态词的命题 陈述的是必须履行或必须实现的某种行为或事件状态 例如 1 凡会员必须交纳会费 2 夫妻双方有实行计划生育的义务 用O指称必须模态词 上述命题的形式可表示为 Op允许命题允许命题是含有 可以 充许 准予 等模态词的命题 陈述的是允许履行或允许实现的某种行为或事件状态 表达权利的命题都是允许命题 例如 1 人人都有自由选择职业的权利 2 允许学生向老师提意见 用P指称允许模态词 上述命题的形式可表示为 Pp 2020年4月6日星期一 42 规范命题的种类 禁止命题禁止命题是含有 禁止 不得 不准 等模态词的命题 陈述的是禁止实现的某种行为或事件状态 例如 1 禁止偷盗他人财产 2 学生不得善自离开学校 用F指称禁止模态词 上述命题的形式可表示为 Fp复合规范命题是指用命题联系词将原子的规范命题联结起来的命题 例如 禁止破坏国家财产 人人都有保护国家财产的义务 允许公民或团体承包部分国有小企业 命题形式 Fp Oq P r s 2020年4月6日星期一 43 规范对当方阵 2020年4月6日星期一 44 规范对当方阵的推理 1 必须命题和禁止命题的关系 Op dfF p Fp dfO p 2 反对关系推理 Op Fp Fp Op 3 矛盾关系的推理 Op P p Op P p O p Pp O p Pp F p P p Fp Pp 4 差等关系的推理 Op Pp Pp Op O p P p P p O p 5 下反对关系的的推理 Pp P p P p Pp 2020年4月6日星期一 45 现代规范逻辑系统DTN 1 初始符号 1 命题变元 NP系统的所有命题变元 2 一元算子 O 3 二元算子 4 辅助符号 2 形成规则 1 任一命题变元是合式公式 2 如果P是合式公式 则 p Op也是合式公式 3 如果P和q是合式公式 则p q p q p q p q是合式公式 4 只有 1 3 形成的符号串是合式公式 2020年4月6日星期一 46 现代规范逻辑系统DTN 3 定义 1 DP Pp df O p 2 DF Fp dfO p 4 推导规则 1 NP系统的基本推导规则 2 关于O的推理规则 O 必须引入规则 由定理A推出OA O 必须消去规则 由OA可推出PA OM 必须分离规则 由O A B 和OA可推出OB 即从O A B 可推出OA OB 2020年4月6日星期一 47 规范逻辑系统DTN的定理 A是DTN的定理 当且仅当A能仅由TN系统的推导规则推出 或者说 有一个无假设 前提为空集 的自然推理以A为其中一项 可记为 DTNAA B是DTN的定理 当且仅当从它的全部前提出发 由DTN系统的推导规则能推出它的结论 可记为 DTNA B或A DTNB 2020年4月6日星期一 48 规范逻辑系统TN的语法推出关系 TDTN1 O p q Op Oq证明 1 p qH1 的假设 2 p 1 3 p q p 1 2 消去H1 4 O p q p 3 O 5 O p q Op 4 OM 6 O p q Oq同上可证 7 O p q H2 的假设 8 Op 5 7 9 Oq 6 7 10 Op Oq 8 9 11 O p q Op Oq 7 10 消去H2 12 PH3 2020年4月6日星期一 49 13 qH4 的假设 14 p q 12 13 15 q p q 13 14 消去H4 16 p q p q 12 15 消去H3 17 Op OqH5 的假设 18 Op 17 19 Oq 17 20 O p q p q 16 O 21 Op O q p q 20 OM 22 O q p q 18 21 23 Oq O p q 22 OM 24 O p q 19 23 25 Op Oq O p q 17 24 消去H5 26 O p q Op Oq 11 25 2020年4月6日星期一 50 规范逻辑系统TN的语法推出关系 TDTN2 F p q Fp Fq证明 1 O p q O p O qTDTN1 2 O p q O p O q 1 德 摩根律 3 F p q Fp Fq 2 DFTDTN3 Fp Fq F p q 证明 1 Fp FqA 2 p qH 的假设 3 P 2 4 p q p 2 3 消去H 5 p p q 4 假言易位 6 O p p q 5 O 7 O p O p q 6 OM 8 Fp F p q 7 DF 9 Fq F p q 同上理可证 10 F p q 1 8 9 二难推理 2020年4月6日星期一 51 规范逻辑系统TN的语法推出关系 TDTN4 F p q Fp FqTDTN5 O p q Fq OqTDTN6 Fp Op PpTDTN7 P p q Pp PqTDTN8 O p q Pp PqTDTN9 P p q Pp PqTDTN10 Op Oq O p q TDTN11 O p q r OP Fr FqTDTN12 O p q Pp Pq TDTN13 P p q Op Oq TDTN14 Pp Pq P p q TDTN15 Op O p q 2020年4月6日星期一 52 规范逻辑系统TN的语法推出关系 TDTN16 Pp P p q TDTN17 O p PpTDTN18 Op P pTDTN19 OOp PP pTDTN20 OO p PPpTDTN21 PP p OOpTDTN22 OP p POpTDTN23 PO p OPpTDTN24 O p q Pp PqTDTN25 O p p TDTN26 F p p TDTN27 O p p 2020年4月6日星期一 53 规范逻辑系统TN的语法推出关系 TDTN28 P p p TDTN29 P p p PqTDTN30 O p p Oq引入道义上中立的模态词 用 I 指称它 定义为 DI Ip dfPp P p根据该定义 有如下定理 TDTN31 Ip Op O pTDTN32 Op Ip FpTDTN32表明道义完全性原则 根据这一原则 每一种行为或是必须的 或是道义上无差别的 或是禁止的 2020年4月6日星期一 54 道义算子的语义解释 将克里普克的可能世界扩展到可能道义世界 则可以给出道义逻辑的语义解释 1 道义命题A在道义可能世界wi中是必须的 当且仅当它在对wi来说的任一道义可能世界wj中都为真 2 道义命题A在道义可能世界wi中是允许的 当且仅当它至少在对wi来说的一个道义可能世界wj中为真 3 道义命题A在道义可能世界wi中是禁止的 当且仅当它在对wi来说的任一道义可能世界wj中都为假 2020年4月6日星期一 55 道义算子的语义解释 有了道义逻辑系统的模型 可以对道义算子进行严格的语义解释 1 V OA w