高三文科数列专题(师)

精品文档 1欢迎下载 数列专题复习数列专题复习 一 等差数列的有关概念 一 等差数列的有关概念 1 1 等差数列的判断或证明方法 等差数列的判断或证明方法 定义法 或 1 nn aad d 为常数 11 2 nnnn aaaan 的通项公式 求数列 是等差数列求证 数列 令 满足例 已知数列 n n n n n nn a b a bn a aaa 2 1 2 1 2 4 4 4 1 1 2 2 等差数列的通项 等差数列的通项 或 1 1 n aand nm aanm d 如如 1 1 等差数列中 则通项 n a 10 30a 20 50a n a 2 2 首项为 24 的等差数列 从第 10 项起开始为正数 则公差的取值范围是 3 3 等差数列的前 等差数列的前和 和 n 1 2 n n n aa S 1 1 2 n n n Snad 如 如 1 1 数列 中 前 n 项和 n a 1 1 2 2 nn aannN 3 2 n a 15 2 n S 则 3 1 答 1 an 1 3a 10n 2 2 当 当时时 则有则有 特别地 当 特别地 当时 则有时 则有mnpq qpnm aaaa 2mnp 2 mnp aaa 如 如 1 1 等差数列中 则 n a 123 18 3 1 nnnn SaaaS n 如如等差数列的前n项和为 25 前 2n项和为 100 则它的前 3n和为 如 如 1 1 在等差数列中 S11 22 则 6 a 二 等比数列的有关概念 二 等比数列的有关概念 1 1 等比数列的判断方法 等比数列的判断方法 定义法 其中或 1 n n a q q a 为常数 0 0 n qa 1 1 nn nn aa aa 2 n 1 1 数列中 4 1 且 1 若 求证 数列 n a n S 1n a 2n 1 a nnn aab2 1 是等比数列 n b 2 2 等比数列的通项 等比数列的通项 或 1 1 n n aa q n m nm aa q 精品文档 2欢迎下载 如如等比数列中 前项和 126 求和 n a 1 66 n aa 21 128 n a a n n S nq 3 3 等比数列的前 等比数列的前和 和 当时 当时 n1q 1n Sna 1q 1 1 1 n n aq S q 1 1 n aa q q 如 如 1 1 等比数列中 2 S99 77 求q 9963 aaa 4 4 等比中项 等比中项 若成等比数列 那么 A 叫做与的等比中项 a A bab 5 5 等比数列的性质 等比数列的性质 1 1 当 当时 则有时 则有 特别地 当 特别地 当时 则有时 则有mnpq mnpq aaaa AA2mnp 2 mnp aaa A 如 如 1 1 在等比数列中 公比 q 是整数 则 n a 3847 124 512aaa a 10 a 2 2 各项均为正数的等比数列中 若 则 n a 56 9aa 3132310 logloglogaaa 如 如 1 1 已知且 设数列满足 且0a 1a n x 1 log1log anan xx nN 则 12100 100 xxx 101102200 xxx 2 2 在等比数列中 为其前 n 项和 若 则 n a n S140 13 30101030 SSSS 的值为 20 S 三 数列通项公式的求法三 数列通项公式的求法 一 公式法一 公式法 2 1 1 1 nSS nS a nn n 例例 已知数列满足 n a 2 1 11 nnn SaSa则 精品文档 3欢迎下载 二 累加法二 累加法 例例 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 11 211 nn aana n a 例例 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 11 2 313 n nn aaa n a 三 累乘法三 累乘法 例例 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 11 2 1 53 n nn anaa n a 四 取倒数法四 取倒数法 例 已知数列 n a 中 其中 1 1 a 且当 n 2 时 12 1 1 n n n a a a 求通项公式 n a 五 代值找规律五 代值找规律 例 已知数列 n a 中 其中 2 1 1 1 811 aa a a n n 则 六 待定系数法六 待定系数法 例例 已知数列满足 求数列的通项公式 n a1 12 11 aaa nn 且 n a 例例 已知数列满足 求数列的通项公式 n a1 13 11 aaa nn 且 n a 反思归纳 递推关系形如 qpaa nn 1 适用于待定系数法或特征根法 令 1 nn apa 在qpaa nn 1 中令 p q xxaa nn 1 1 1 xapxa nn 由qpaa nn 1 得qpaa nn 1 11 nnnn aapaa 四 数列求和的基本方法和技巧四 数列求和的基本方法和技巧 精品文档 4欢迎下载 一 利用常用求和公式求和一 利用常用求和公式求和 1 等差数列求和公式 d nn na aan S n n 2 1 2 1 1 2 等比数列求和公式 1 11 1 1 11 1 q q qaa q qa qna S n n n nnnnn bn bn Tncbac ba ababa ba 项和的前求数列若数列 的通项公式 求 是正项等比数列 且 是等差数列例 已知 2 1 14 2 33511 二 错位相减法求和二 错位相减法求和 这种方法主要用于求数列 an bn 的前 n 项和 其中 an bn 分别是等差数列和等 比数列 求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比 然后再将得到的新和式和原和式相减 转化为同倍数的等比数列求和 q 例 例 1 已知等差数列 an 的前 n 项和 Sn满足 S3 0 S5 5 1 求 an 的通项公式 2 求数列 2 an 2n 的前 n 项和 解 1 设 an 的公差为 d 则 Sn na1 由已知可得 解得 a1 1 d 1 故 an 的通项公式为 an 2 n 2 令 bn 2 an 2n n 2n 令 Tn b1 b2 bn 1 bn 1 21 2 22 n 1 2n 1 n 2n 有 2Tn 1 22 2 23 n 1 2n n 2n 1 两式相减得 Tn 21 22 2n n 2n 1 n 2n 1 2 1 n 2n 1 则 Tn 2 n 1 2n 1 2 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn a1 1 an 1 2Sn 1 n N 1 求数列 an 的通项公式 精品文档 5欢迎下载 2 求数列 的前 n 项和 Tn 解 1 an 1 2Sn 1 n N an 2Sn 1 1 n 2 两式相减得 an 1 3an n 2 由 an 1 2Sn 1 得 a2 2a1 1 3 a2 3a1满足上式 数列 an 是首项为 1 公比为 3 的等比数列 an 3n 1 2 an 3n 1 Tn Tn 两式相减得 Tn 3 2 4 Tn 6 三 分组法求和三 分组法求和 有一类数列 既不是等差数列 也不是等比数列 若将这类数列适当拆开 可分为几 个等差 等比或常见的数列 然后分别求和 再将其合并即可 例例 7 7 求数列的前 n 项和 23 1 7 1 4 1 11 12 n aaa n 解 设 23 1 7 1 4 1 11 12 n aaa S n n 23741 111 1 12 n aaa S n n 当 a 1 时 2 13 nn nSn 2 13 nn 当时 1 a 2 13 1 1 1 1 nn a a S n n 2 13 1 1 nn a aa n 项和的前求数列 通项公式和求数列 是等比数列 且 满足满足是等比数列 数列满足已知例 nb ba babb baaa n nn nn nn 2 1 8 1 24 3 1 41 41 精品文档 6欢迎下载 五 裂项法求和五 裂项法求和 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用 裂项法的实质是将数列中的每项 通 项 分解 然后重新组合 使之能消去一些项 最终达到求和的目的 通项分解 裂项 如 1 1 11 1 1 nnnn an 2 11 1 1 knnkknn an 3 2 1 1 1 1 2 1 2 1 1 nnnnnnn an n 1 2 T 1 2 1 2 3 1 项和 的前求数列 若 的通项 求数列 项和 且满足 的前为数列 已知例 nb aa b a nn SnaS n