高一数学 余弦定理公式

正弦 余弦定理正弦 余弦定理 解斜三角形解斜三角形 建构知识网络 1 三角形基本公式 1 内角和定理 A B C 180 sin A B sinC cos A B cosC cos sin sin cos 2 C 2 BA 2 C 2 BA 2 面积公式 S absinC bcsinA casinB 2 1 2 1 2 1 S pr 其中 p r 为内切圆半径 cpbpapp 2 cba 3 射影定理 a bcosC ccosB b acosC ccosA c acosB bcosA 2 正弦定理 正弦定理 2 sinsinsin abc R ABC 外 证明 由三角形面积 111 sinsinsin 222 SabCbcAacB 得 sinsinsin abc ABC 画出三角形的外接圆及直径易得 2 sinsinsin abc R ABC 3 余弦定理 余弦定理 a2 2 b2 2 c2 2 2 2bccosA 222 cos 2 bca A bc 证明 如图 ABC 中 sin cos cosCHbA AHbA BHcbA 222222 22 sin cos 2cos aCHBHbAcbA bcbcA 当 A B 是钝角时 类似可证 正弦 余弦定理可用向量方法证明 要掌握正弦定理 余弦定理及其变形 结合三角公式 能解有关三角形中的问题 4 利用正弦定理 可以解决以下两类问题 1 已知两角和任一边 求其他两边和一角 2 已知两边和其中一边的对角 求另一边的对角 有三种情况 bsinA a b 时有两解 a bsinA 或 a b 时有 解 a bsinA 时无解 5 利用余弦定理 可以解决以下两类问题 1 已知三边 求三角 2 已知两边和它们的夹角 求第三边和其他两角 6 熟练掌握实际问题向解斜三角形类型的转化 能在应用题中抽象或构造出三角形 标出已知量 未知量 确定解三角形的方法 提高运用所学知识解决实际问题的能力 双基题目练练手 c b a H C B A 1 2006 山东 在中 角的对边分别为 已知 则 ABC A B C a b c 3 1 3 Aab c A 1B 2C D 31 3 2 在 ABC 中 AB 3 BC AC 4 则边 AC 上的高为 13 A B C D 2 23 2 33 2 3 33 3 2002 年上海 在 ABC 中 若 2cosBsinA sinC 则 ABC 的形状一定是 A 等腰直角三角形B 直角三角形 C 等腰三角形D 等边三角形 4 2006 全国 用长度分别为 2 3 4 5 6 单位 的 5 根细木棒围成一个三角形 允许连接 但cm 不允许折断 能够得到的三角形的最大面积为 A B C D 2 8 5cm 2 6 10cm 2 3 55cm 2 20cm 5 2006 全国 已知的三个内角 A B C 成等差数列 且 AB 1 BC 4 则边 BC 上的中线 AD 的ABCA 长为 6 2006 春上海 在 中 已知 三角形面积为 12 则ABC5 8 ACBC C2cos 答案 1 4 BBCB 3 由 2cosBsinA sinC 得 a c a b ac bca 222 4 组成边长 6 7 7 时面积最大 5 6 3 25 7 四 经典例题做一做 例例 1 1 2006 天津 如图 在中 ABC 2AC 1BC 4 3 cos C 1 求的值 AB 2 求的值 CA 2sin 解 由余弦定理 222 2 cosABACBCAC BCC 3 4 1 2 2 12 4 2 AB 解 由 且得 3 cos 4 C 0 C 2 7 sin1 cos 4 CC 由正弦定理 sinsin ABBC CA 解得 所以 由倍角公式 sin14 sin 8 BCC A AB 5 2 cos 8 A 5 7 sin2sin2cos 16 AAA 且 故 2 9 cos21 2sin 16 AA 3 7 sin 2sin2 coscos2 sin 8 ACACAC 提炼方法 已知两边夹角 用余弦定理 由三角函数值求三角函数值时要注意 三角形内角 的限制 例 2 在 ABC 中 已知 a b B 45 求 A C 及边 c 32 解 由正弦定理得 sinA 因为 B 45 90 且 b a 2 3 2 45sin3sin b Ba 所以有两解 A 60 或 A 120 1 当 A 60 时 C 180 A B 75 c 2 26 45sin 75sin2 sin sin B Cb 2 当 A 120 时 C 180 A B 15 c 2 26 45sin 15sin2 sin sin B Cb 提炼方法 已知两边和其中一边的对角解三角形问题 用正弦定理求解 必需注意解的情况的讨论 例 3 2006 上海 如图 当甲船位于 A 处时获悉 在其正东方向相距 20 海里的 B 处有一艘渔船遇险等待营 救 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 甲船立即前往救援 同时把消息告知在甲船的南偏西 30 相距 10 海里 C 处的乙船 试问乙船应朝北偏东多 少度的方向沿直线前往 B 处救援 角度精确到 1 解解 连接 BC 由余弦定理得 BC2 202 102 2 20 10COS120 700 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 于是 BC 10 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 7 sin ACB 710 120sin 20 sin ACB 7 3 ACB 90 ACB 41 乙船应朝北偏东 71 方向沿直线前往 B 处救援 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 思路点拨 把实际问题转化为解斜三角形问题 在问题中构造出三角形 标出已知量 未知量 确定解三角 形的方法 例 4 已知 O 的半径为 R 在它的内接三角形 ABC 中 有 成立 求 ABC 面积 S 的最大值 BbaCARsin2sinsin2 22 解 由已知条件得 即有 baBRBAR 2sin2sinsin2 222222 2babca 又 2 2 2 cos 222 ab cba C 4 c 3 4 AB 10 A 20 C B 30 BARabCabSsinsin4 4 2 4 2 sin 2 1 2 2 2 2 2 3 2sinsin 4 22 2sin cossin 22 sin21cos2 2 2sin 2 1 24 RAA RAAA R AA R A 当时 3 2 428 AAB 即 2 max 2 12 RS 思路方法 1 边角互化是解三角形问题常用的手段 一般有两种思路 一是边化角 二是角化边 2 三角形中的三角变换 应灵活运用正 余弦定理 在求值时 要利用三角函数的有关性质 研讨研讨 欣赏欣赏 2006 江西 如图 已知 是边长为 的正三角形 分别是边 上的点 线段经过 ABC1MNABACMN 的中心 设 ABCG 2 33 MGA 1 试将 的面积 分别记为与 表示为的函数 AGMAGN 1 S 2 S 2 求的最大值与最小值 22 12 11 y SS 解 1 因为为边长为 的正三角形的中心 G1ABC 所以 233 3236 AGMAG 由正弦定理 sinsin 66 GMGA 3 6sin 6 GM 得 1 1sin1 sin 26 3cot 12sin 6 SGM GA 则或 3 sinsin 6sin 666 GNGA GN 又得 2 1sin1 sin 26 3cot 12sin 6 SGN GA 则或 222 222 12 11144 2 sin sin 72 3cot sin66 y SS 因为 所以当时 的最大值 2 33 2 33 或y max 240y 当时 的最小值 2 y min 216y 提炼总结以为师 1 掌握三角形中的的基本公式和正余弦定理 2 利用正弦定理 可以解决以下两类问题 1 已知两角和任一边 求其他两边和一角 2 已知两边和其中一边的对角 求另一边的对角 从而进一步求出其他的边和角 3 利用余弦定理 可 以解决以下两类问题 1 已知三边 求三角 2 已知两边和它们的夹角 求第三边和其他两角 4 边角互化是解三角形的重要手段 4 64 6 正弦 余弦定理正弦 余弦定理 解斜三角形解斜三角形 选择题 1 2004 浙江 在 ABC 中 A 30 是 sinA 的 2 1 A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件 C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件 2 2004 全国 ABC 中 a b c 分别为 A B C 的对边 如果 a b c 成等差数列 B 30 ABC 的面积为 那么 b 等于 2 3 A B 1 2 31 3 C D 2 2 32 3 3 下列条件中 ABC 是锐角三角形的是 A sinA cosA B 0 5 1 ABBC C tanA tanB tanC 0D b 3 c 3 B 30 3 4 20064 2006 全国全国 的内角 A B C 的对边分别为 a b c 若 a b c 成等比数列 且 则ABC 2ca cosB A B C D 1 4 3 4 2 4 2 3 填空题 5 2004 春上海 在中 分别是 所对的边 若 ABC cba A B C 105 A 45 B 则 22 b c 6 在锐角 ABC 中 边长 a 1 b 2 则边长 c 的取值范围是 练习简答 1 4 BBCB 1 在 ABC 中 A 30 0 sinA 1sinA sinA 30 A 150 2 1 2 1 A 30 答案 B 2 2b a c 平方得 a2 c2 4b2 2ac 由 S acsin30 ac 得 ac 6 a2 c2 4b2 12 得 2 1 4 1 2 3 cosB 解得 b 1 答案 B ac bca 2 222 62 124 22 bb 4 4 2 b 2 3 3 3 由 tanA tanB tanC tanAtanBtanC 0 A B C 都为锐角 答案 C 5 2 6 若 c 最大 由 cosC 0 得 c 又 c b a 1 1 c 55 解答题 7 2004 春北京 在 ABC 中 a b c 分别是 A B C 的对边长 已知 a b c 成等比数列 且 a2 c2 ac bc 求 A 的大小及的值 c Bbsin 剖析 因给出的是 a b c 之间的等量关系 要求 A 需找 A 与三边的关系 故可用余弦定理 由 b2 ac 可 变形为 a 再用正弦定理可求的值 c b2 c Bbsin 解法一 a b c 成等比数列 b2 ac 又 a2 c2 ac bc b2 c2 a2 bc 在 ABC 中 由余弦定理得 cosA A 60 bc acb 2 222 bc bc 22 1 在 ABC 中 由正弦定理得 sinB a Absin b2 ac A 60 sin60 ac b c Bb 60sinsin 2 2 3 解法二 在 ABC 中 由面积公式得bcsinA acsinB 2 1 2 1 b2 ac A 60 bcsinA b2sinB sinA c Bbsin 2 3 评述 解三角形时 找三边一角之间的关系常用余弦定理 找两边两角之间的关系常用正弦定理 8 2005 春北京 在 ABC 中 sinA cosA AC 2 AB 3 求 tanA 的值和 ABC 的面积 2 2 解法一 sinA cosA cos A 45 2 2 2 cos A 45 2 1 又 0 A 180 A 45 60 A 105 tanA tan 45 60 2 31 31 3 sinA sin105 sin 45 60 sin45 cos60 cos45 sin60 4 62 S ABC AC ABsinA 2 1 2 3 2 1 4 62 4 3 26 解法二 sinA cosA 2 2 sinA cosA 2 2sinAcosA 2 1 2 1 0 A 180 sinA 0 cosA 0 90 A 180 sinA cosA 2 1 2sinAcosA 2 3 sinA cosA 2 6 得 sinA 4 62 得 cosA 4 62 tanA 2 A A cos sin 4 62 62 4 3 以下同解法一 9 2004 全国 已知锐角 ABC 中 sin A B sin A B 5 3 5 1 1 求证 tanA 2tanB 2 设 AB 3 求 AB 边上的高 剖析 有两角的和与差联想到两角和与差的正弦公式 结合图形 以 1 为铺垫 解决 2 1 证明 sin A B sin A B 5 3 5 1 5 1 sincoscossin 5 3 sincoscossin BABA BABA 2 B A BA BA tan tan 5 1 sincos 5 2 cossin tanA 2tanB 2 解 A B sin A B 2 5 3 tan A B 4 3 即 将 tanA 2tanB 代入上式整理得 2tan2B 4tanB 1 0 解得 tanB 负值舍去 BA BA tantan1 tantan 4 3 2 62 得 tanB tanA 2tanB 2 2 62 6 设 AB 边上的高为 CD 则 AB AD DB 由 AB 3 得 CD 2 所以 AB 边上的高为 A CD tanB CD tan 62 3 CD 6 2 6 评述 本题主要考查三角函数概念 两角和与差的公式以及应用 分析和计算能力 10 在 ABC 中 sinA 判断这个三角形的形状 CB CB coscos sinsin 分析 判断一个三角形的形状 可由三个内角的关系确定 亦可