必修5-第三章不等式知识点总结

1 不等式知识总结不等式知识总结 一 一 不等式的主要性质 不等式的主要性质 1 对称性 2 传递性 abba cacbba 3 加法法则 cbcaba dbcadcba 4 乘法法则 bcaccba 0 bcaccba 0 bdacdcba 0 0 5 倒数法则 6 乘方法则 ba abba 11 0 1 0 nNnbaba nn 且 7 开方法则 1 0 nNnbaba nn 且 二 一元二次不等式二 一元二次不等式 和及其解法及其解法0 2 cbxax0 a 0 0 2 acbxax 0 0 0 二次函数 cbxaxy 2 的图象 21 2 xxxxa cbxaxy 21 2 xxxxa cbxaxy cbxaxy 2 一元二次方程 0 2 cbxax 有两相异实根 2121 xxxx 有两相等实根 a b xx 2 21 无实根 0 2 cbxax 21 xxxxx 或 a b xx 2 R 0 2 cbxax 21 xxxx 顺口溜 顺口溜 在二次项系数为正的前提下 大于取两边 小于取中间 三 均值不等式三 均值不等式 若 则 即0a 0b 2abab 2 号时取当且仅当 baab ba 1 使用均值不等式的条件 一正 二定 三相等 2 常用的基本不等式 22 2 abab a bR 22 2 ab aba bR 2 0 0 2 ab abab 2 22 22 abab a bR 0 2 ab b a a b 3 平均不等式 平方平均 算术平均 几何平均 调和平均 a b 为正数 即 2 当 a b 时取等 22 2 11 22 abab ab ab 4 极值定理 设 都为正数 则有 若 和为定值 则当时 积取得最大值xyxys xy xy 2 4 s 若 积为定值 则当时 和取得最小值xyp xy xy 2p 四 含有绝对值的不等式四 含有绝对值的不等式 1 绝对值的几何意义 是指数轴上点到原点的距离 是指数轴上两点间的距离 xx 12 xx 12 x x 2 解含有绝对值不等式的主要方法 1 解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号 将其等 价转化为一元一次 二次 不等式 组 进行求解 2 去掉绝对值的主要方法有 公式法 或 0 xa aaxa 0 xa axa xa 定义法 零点分段法 平方法 不等式两边都是非负时 两边同时平方 五 五 分式不等式的解法 分式不等式的解法 先移项通分标准化 则 0 0 0 0 0 f x g x f xf x f x g x g xg xg x 六 数轴穿根法六 数轴穿根法 奇穿 偶不穿 例题 不等式的解为 0 3 4 23 22 x xxx 七 七 线性规划线性规划 1 1 判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法 判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法 方法一方法一 取特殊点检验 直线定界 特殊点定域 1 在平面直角坐标系中作出直线 Ax By C 0 2 在直线的一侧任取一点 P x0 y0 特别地 当 C 0 时 常把原点作为此特殊点 3 若 Ax0 By0 C 0 则包含此点 P 的半平面为不等式 Ax By C 0 所表示的平面区域 不包含此点 P 的半平面为不等式 Ax By C0 当 A 0 时表示直线 Ax By C 0 右方 当 A 0 时表示直线 Ax By C 0 左方 2 Ax By C0 时表示直线 Ax By C 0 右方 当 A 0 时表示直线 Ax By C 0 左方 注意 注意 对应不等号画实线或虚线 2 2 求线性目标函数 即截距型 最优解的一般步骤 求线性目标函数 即截距型 最优解的一般步骤 1 设未知数 2 确定目标函数 3 列出约束条件 将数据列表比较方便 4 画线性约束条件所确定的平面区域 即可行域 5 取目标函数 z 0 过原点作相应的直线 6 平移该直线 使之与可行域有交点 观察确定区域内最优解的位置 7 解有关方程组求出最优解 代入目标函数得最值 3 3 课本习题中出现的都是 截距型 目标函数zaxby ab 不同时为零 即线性目标函线性目标函 数数 高考中除了出现 截距型截距型 目标函数的情况外 还有非线性目标函数非线性目标函数 3 1 斜率型斜率型 目标函数 yb z xa ab 为常数 最优解为点 ab 与可行域上的点的斜率的最值 2 两点间距离型两点间距离型 目标函数 22 zxayb ab 为常数 最优解为点 ab 与可行域上的点之间的距离的平方的最值 3 点到直线距离型 目标函数zaxbyc abc 为常数 且ab 不同时为零 最优解为可行域上的点到直线0axbyc 的距离的最值 线性规划小测验线性规划小测验 1 不等式表示的区域在直线的 062 yx260 xy A 右上方 B 右下方 C 左上方 D 左下方 2 已知点和在直线的两侧 则的取值范围是 3 1 4 6 320 xya a 3 在如图所示的可行域内 目标函数取得最小值的最优解有无数个 则的一个可能值是 zxay a A 3 B 3 C 1 D 1 4 若实数满足则的最小值是 xy 10 0 0 xy xy x 2 3x y z A 0B B 1C D 93 5 设实数满足 则的最大值是 xy 20 240 230 xy xy y y z x 6 如果点在平面区域上 点在曲线上 那么的最小值为 P 220 20 210 xy xy y Q 22 2 1xy PQ 7 已知实数满足如果目标函数的最小值为 则实数等于 xy 1 21 y yx xym zxy 1 m A 7B 5C 4D 8 若不等式组表示的平面区域是一个三角形 则的取值范围是 5 02 xy ya x a 5a 7a 或 57a 5a 7a 9 已知 求的最大值为 20 40 250 xy xy xy 24 zxy 10 某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐 已知 C 4 2 A 1 1 B 5 1 O x y 4 一个单位的午餐含 12 个单位的碳水化合物 6 个单位蛋白质和 6 个单位的维生素 C 一个单位的晚餐含 8 个单位的碳水化合物 6 个单位的蛋白质和 10 个单位的维