第三章一维流体动力学基础

第三章一维流体动力学基础 第一节概述 流体的流动是由充满整个流动空间的无限多个流体质点的运动构成的 充满运动流体的的空间称为流场 研究方法 欧拉法 拉格朗日法 着眼于整个流场的状态 即研究表征流场内流体流动特性的各种物理量的矢量场与标量场 着眼于个别流体质点的运动 综合所有流体质点的运动后便可得到整个流体的运动规律 一 拉格朗日法 拉格朗日方法 是以流场中每一流体质点作为描述流体运动的方法 它以流体个别质点随时间的运动为基础 通过综合足够多的质点 即质点系 运动求得整个流动 质点系法 研究对象 流体质点 a b c 为t t0起始时刻质点所在的空间位置坐标 称为拉格朗日数 所以 任何质点在空间的位置 x y z 都可看作是 a b c 和时间t的函数 2 a b c 为变数 t const 可以得出某一瞬间不同质点在空间的分布情况 1 a b c const t为变数 可以得出某个指定质点在任意时刻所处的位置 流体质点速度为 流体质点加速度为 流体质点的其它流动参量可以类似地表示为a b c和t的函数 如 p p a b c t a b c t 由于流体质点的运动轨迹非常复杂 而实用上也无须知道个别质点的运动情况 所以除了少数情况 如波浪运动 外 在工程流体力学中很少采用 二 欧拉法 欧拉法 eulermethod 是以流体质点流经流场中各空间点的运动来研究流动的方法 流场法 研究对象 流场 它不直接追究质点的运动过程 而是以充满运动流体质点的空间 流场为对象 研究各时刻质点在流场中的变化规律 将个别流体质点运动过程置之不理 而固守于流场各空间点 通过观察在流动空间中的每一个空间点上运动要素随时间的变化 把足够多的空间点综合起来而得出的整个流体的运动情况 由欧拉法的特点可知 各物理量是空间点x y z和时间t的函数 所以速度 密度 压强和温度可表示为 1 速度 x y z t 欧拉变量 2 欧拉加速度 流体质点某一时刻处于流场不同位置 速度是坐标及时间的函数 所以流速是t的复合函数 对流速求导可得加速度 如 代入上式得 等号右边第一项是时变加速度 后三项是位变加速度 时变加速度 当地加速度 流动过程中流体由于速度随时间变化而引起的加速度 位变加速度 迁移加速度 流动过程中流体由于速度随位置变化而引起的加速度 在水位恒定的情况下 1 A A 不存在时变加速度和位变加速度 2 B B 不存在时变加速度 但存在位变加速度 在水位变化的情况下 1 A A 存在时变加速度 但不存在位变加速度 2 B B 既存在时变加速度 又存在位变加速度 一 定常流和非定常流 定常流 又称定常流 是指流场中的流体流动 空间点上各水力运动要素均不随时间而变化即 第二节流体运动的基本概念 非定常流 又称非定常流 是指流场中的流体流动空间点上各水力运动要素中 只要有任何一个随时间的变化而变化的流动 答案 B 答案 B 二流线与迹线 1 流线 流线的定义 表示某一瞬时流体各点流动趋势的曲线 曲线上每一点的速度矢量总在该点与曲线相切 右图为流线谱中显示的流线形状 这是欧拉方法中 用几何曲线形象描述流动的手段 流线的作法 在流场中任取一点 如图所示 绘出某时刻通过该点的流体质点的流速矢量u1 再画出距1点很近的2点在同一时刻通过该处的流体质点的流速矢量u2 如此下去 得一折线1234 若各点无限接近 其极限就是某时刻的流线 流线的性质 b 流线不能是折线 而是一条光滑的曲线 a 同一时刻的不同流线 不能相交 d 流线簇的疏密反映了速度的大小 流线密集的地方流速大 稀疏的地方流速小 c 流线的形状和位置 在定常流动时不随时间变化 而在不定常流动时 随时间变化 流线的方程 根据流线的定义 可以求得流线的微分方程 设ds为流线上A处一微元弧长 u为流体质点在A点的流速 因为流速向量与流线相切 即没有垂直于流线的流速分量 u和ds重合 所以 即 展开后得到 流线方程 或用它们余弦相等推得 2 迹线 迹线 某一质点在某一时段内的运动轨迹线 图中烟火的轨迹为迹线 1 迹线的定义 2 迹线的微分方程 式中 ux uy uz均为时空t x y z的函数 且t是自变量 注意 流线和迹线微分方程的异同点 流线方程 例1 有一流场 其流速分布规律为 ux ky uy kx uz 0 试求其流线方程 解 由于uz 0 所以是二维流动 二维流动的流线方程微分为 将两个分速度代入流线微分方程 得到即 xdx ydy 0积分上式得到 x2 y2 c即流线簇是以坐标原点为圆心的同心圆 例2 已知 设速度场为ux t 1 vy 1 t 0时刻流体质点A位于原点 求 1 质点A的迹线方程 2 t 0时刻过原点的流线方程 解 1 由欧拉迹线方程式 迹线方程组为 由上两式分别积分可得 t 0时质点A位于x y 0 得c1 c2 0 质点A的迹线方程为 消去参数t得A点的迹线方程为 2 由流线微分方程 积分可得 在t 0时刻 流线通过原点x y 0 可得C 0 相应的流线方程为 2 元流 流管中的液流称为元流或微小流束元流的极限是一条流线 三 元流与总流1 流管 在流场中取任一封闭曲线 不是流线 通过该封闭曲线的每一点作流线 这些流线所组成的管状空间称为流管 元流性质 流体做定常流动时 元流的形状不随时间变化 流体不能从元流的侧面流入和流出 流体只能沿元流端面流入或流出 元流横断面积无限小 其断面流速 压强等参数可以认为是相等的 3 流束 过流管横截面上各点作流线 则得到充满流管的一束流线簇 称为流束 1 过水断面 即水道 管道 明渠等 中垂直于水流流动方向的横断面 如图中的1 1 2 2断面 又称为有效截面 在流束中与各流线相垂直 在每一个微元流束的过水断面上 各点的速度可认为是相同的 四 过水断面湿周水力半径 2 湿周水力半径当量直径 湿周 在总流的有效截面上 流体与固体壁面的接触长度 水力半径 总流的有效截面积A和湿周之比 圆形截面管道的几何直径非圆形截面管道的当量直径 关于湿周和水力半径的概念在非圆截面管道的水力计算中常常用到 五 一维流动模型 一维流动 流动参数是一个坐标的函数 二维流动 流动参数是两个坐标的函数 三维流动 流动参数是三个坐标的函数 对于工程实际问题 在满足精度要求的情况下 将三维流动简化为二维 甚至一维流动 可以使得求解过程尽可能简化 二维流动 一维流动 三维流动 二维流动 平均流速 体积流量与有效截面积之比值 用v表示 流量 在单位时间内流过有效截面积的流体的量 六 流量与平均流速 如图所示 在总流上取一微小流束 过水断面分别为dA1和dA2 相应的速度分别为u1和u2 密度 1和 2 由于微小流束的表面是由流线围成的 所以没有流体穿入或穿出流束表面 只有两端面dA1和dA2有流体的流入和流出 第三节流体运动的连续方程 一 元流的连续性方程 由于流体做定常流动 则根据质量守恒定律得dM 0则 可压缩流体微小流束的连续性方程 则有 对不可压缩流体的定常流动 不可压缩流体微小流束定常流动的连续性方程 其物理意义是 在同一时间间隔内流过微小流束上任一过水断面的流量均相等 或者说 在任一流束段内的流体体积 或质量 都保持不变 2 总流的连续性方程 将微小流束连续性方程两边对相应的过水断面A1及A2进行积分可得上式整理后可写成 总流的連续性方程 它说明可压缩流体做定常流动时 总流的质量流量保持不变 其物理意义是 不可压缩流体做定常流动时 总流的体积流量保持不变 各过水断面平均流速与过水断面面积成反比 即过水断面积 处 流速 而过水断面面积 处 流速 例 断面为50 50cm2的送风管 通过abcd四个40 40cm2的送风口向室内输送空气 送风口气流平均速度均为5m s 求 通过送风管1 1 2 2 3 3各断面的流速和流量 解 每一送风口流量Q 0 4 0 4 5 0 8m3 sQ0 4Q 3 2m3 s根据连续性方程Q0 Q 3QQ Q0 Q 3Q 2 4m3 sQ0 Q 2QQ Q0 2Q 2Q 1 6m3 sQ0 Q3 3QQ3 Q0 3Q 0 8m3 s各断面流速 第四节流体定常流能量方程 从功能原理出发 取不可压缩无黏性流体恒定流动这样的力学模型 可以推出元流的能量方程式 在dt时间内压力作的功 流段所获得的动能 位能的增加 功能原理 一 理想流体元流能量方程 化简 常数 或 式中各项物理意义 Z 是断面对于选定基准面的高度 水力学中称位置水头 表示单位重力作用的流体的位置势能 称单位位能 是断面压强作用使流体沿测压管所能上升的高度 称为压强势能 是以断面流速u为初速度的铅直上升射流所能达到的理论高度 水力学中称为流速水头 表示受单位重力作用的流体的动能 称为单位动能 二 实际总流能量方程 1 均匀流 急变流 渐变流均匀流 任一确定的流体质点在其运动过程中速度大小和方向均保持不变的流动 急变流 速度大小或方向发生明显变化 渐变流 流体质点速度变化较缓慢的流动 2 位于同一流线上的各质点速度相等 3 过流断面上压强服从静止压强分布规律 亦即同一过流断面上各点的测压管水头相等 2 均匀流的特点 1 管道恒定流动中 各质点的流线相互平行 过流断面为一平面 证明 过流断面n n上取任意微小柱体为隔离体 长L 横截面 A与铅直方向倾角 两截横面与基准面的高度为z1 z2 压强p1 p2 在n n方向受力 压力 重力分量 而 微小柱体在n n向方受力平衡 2 上式 动能修正系数a是由于截面上速度分布不均匀而引起的 a是个大于1的数 有效截面上的流速越均匀 a值越趋近于1 在实际工业中 通常都近似地取a 1 0 以后如不加特别说明 都假定a 1 并以v代表平均流速 而对于圆管层流流动a 2 3 令单位重量流体流过1 2断面平均能量损失为 则 综上可得 不可压缩恒定总流伯努利方程 思考题 问题1 拿两张薄纸 平行提在手中 当用嘴顺纸间缝隙吹气时 问薄纸是不动 靠拢 还是张开 为什么 参考答案 靠拢 流速增大 压强降低 问题2 两船并行相撞的解释 两船间流线密 流速高 压力低 第五节能量方程的应用 1 流体是定常流动 2 流体是不可压缩流体 3 只在重力作用之下 质量力只有重力 4 建立方程的两个断面必须选取在渐变流段上 一 能量方程的应用条件 讨论 2 功率输出H输出 如汽轮机 1 功率输入H输入 如泵 1 两断面间有能量的输入与输出 2 两断面间有流量的输入与输出 二 能量方程的解题步骤 三选一列1选择基准面 基准面可任意选定 但应以简化计算为原则 例如选过水断面形心 z 0 或选自由液面 p 0 等 2选择计算断面 计算断面应选择均匀流断面或渐变流断面 并且应选取已知量尽量多的断面 3选择计算点 管流通常选在管轴上 明渠流通常选在自由液面 对同一个方程 必须采用相同的压强标准 4列能量方程解题 注意与连续性方程的联合使用 例1 在图3 60所示的虹吸管中 已知 H1 2m H2 6m 管径D 15mm 如不计损失 问s处的压强应为多大时此管才能吸水 此时管内流速v2及流量qv各为若干 注意 管端并未接触水面或深入水中 解 选取过水断面1 1 2 2及水平基准面O O 列1 1面 水面 到2 2面的伯努利方程 即 A 再选取水平基准面O O 列过水断面2 2及3 3的伯努利方程 即 B 因v2 v3由 B 式得 代入 A 式得 故 例题2 如图所示 大气压强为97KN m2 收缩段直径应限制在多少以上才能保证不出现汽化 若水温400C 不考虑损失 已知水温时的汽化压强为7 38KN m2 水面与收缩断面能量头方程 解 列水面与收缩段面的能量头方程 为了不出现汽化 以400C时水的汽化压强p 作为最小压强 求出相应收缩段直径 收缩段压强一定大于p 即可避免汽化现象发生 列水面和出口断面能量头方程 根据连续性方程 133mm 1 皮托管 在工程实际中 常常需要来测量某管道中流体流速的大小 然后求出管道的平均流速 从而得到管道中的流量 要测量管道中流体的速度 可采用皮托管来进行 其测量原理如所示 在液体管道的某一截面处装有一个测压管和一根两端开口弯成直角的玻璃管 称为测速管 第六节流速及流量测定 V B A Z Z 皮托管测速原理 将测速管 又称皮托管 的一端正对着来流方向 另一端垂直向上 这时测速管中上升的液柱比测压管内的液柱高h 这是由于当液流流到测速管入口前的A点处 液流受到阻挡 流速变为零 则在测速管入口形成一个驻点A 驻点A的压强PA称为全压 在入口前同一水平流线未受扰动处 例如B点 的液体压强为PB 速度为V 应用伯努利方程于同一流线上的 两点 则有 上式表明 只要测量出流体的运动全压和静压水头的差值h 就可以确定流体的流动速度 由于流体的特性 以及皮托管本身对流动的干扰 实际流速比用式计算出的要小 因此 实际流速为式中 流速修正系数 一般由实验确定 0 97 则 如果测定气体的流速 则无法直接用皮托管和静压管测量出气柱差来 必须把两根管子连接到一个 形差压计上 从差压计上的液面差来求得流速 如图所示 则 则得 用皮托管和静压管测量气体流速 考虑到实际情况 动压管 工程实际中常将静压管和皮托管组合在一起 称为皮托 静压管或者动压管 原理 测量时将静压孔和总压孔感受到的压强分别和差压计的两个入口相连 在差压计上可以读出总压和静压之差 从而求得被测点的流速 文丘里流量计主要用于管道中流体的流量测量 主要是由收缩段 喉部和扩散段三部分组成 如图所示 它是利用收缩段 造成一定的压强差 在收缩段前和喉部用 形管差压计测量出压强差 从而求出管道中流体的体积流量 2 文丘里流量计 文丘里流量计原理图 以文丘里管的水平轴线所在水平面作为基准面 列截面1 1 2 2的伯努利方程 由一维流动连续性方程 整理得 由流体静力学 上式表明 若 液 A2 A1已知 只要测量出h液 就可以确定流体的速度 流量为 考虑到实际情况式中Cd为流量系数 通过实验测定 文丘里流量计是节流装置中的一种 除此之外还有孔板 喷嘴等 其基本原理与文丘里流量计基本相同 不再叙述 判断 文丘里流量计公式能不能用来测量计算倾斜管道中的流量 例1 有一文丘里管如图a所示 若水银差压计的指示为360mmHg 并设从截面A流到截面B的水头损失为0 2mH2O dA 300mmdB 150mm 试求此时通过文丘里管的流量是多少 图a文丘里管 解 以截面A为基准面列出截面A和B的伯努利方