第三讲数学方法的优美

四 数学方法的优美 观点和方法是数学的两个方面 既紧密联系 又有所区别 但方法影响观点 我们来看看数学方法的美 八卦阵骗局 八卦阵骗局 数学归纳法是数学证明中应用非常广泛的一类演绎方法 其含义 假设一个与自然数n有关的命题P n 它满足以下两个条件 1 P 1 成立 即P对于 成立 2 若P k 成立 则P k 1 也成立 则P 对所有的自然数成立 数学归纳法的理论基础是自然数的归纳公理 最小数原理 4 数学归纳法 数学归纳法通过有限的步骤 证明了命题对无限个自然数均成立 这种通过有限的步骤去认识无限的方法确实是意味深长的 世界是无限的 人的生命是有限的 例 证明 对于任意正整数n 有例 设 是大于3的素数 证明 是 的倍数 例 设 证明 4 2反证法 不能不 反证法通常的证明方法 条件 结论 对 不对 新结论 条件 矛盾 成立 正证法 反证法 关于反证法 什么是反证法 通过肯定命题的条件而否定命题的结论 而导致矛盾 从而说明原命题的正确性 这种证明问题的方法称为反证法 应用反证法证明问题的基本步骤 假设命题的结论不成立 把否定的结论做为条件 进行逻辑推理 在推理过程中出现矛盾 几种情况 由于上述矛盾的出现 可以断言开始的假定 结论不成立 是错误的 肯定命题的结论的正确性 反证法的理论基础是逻辑思维规律中的排中律 例1 反证法 依据是排中律 例2 抽屉原理 3个苹果放进2个抽屉中 至少有1个抽屉中有两个苹果 反证法易得 10本书 共3类 抽屉 文学类 A 史学类 B 和数学类 C 证明至少有一类至少有4本书 10本书 共3类 抽屉 文学类 x 史学类 y 和数学类 z 证明x y z至少有一个大于或等于4 抽象为一个纯数学问题 假设人类的头发最多为200万根 那么德州市至少有2人的头发根数一样多 假设德州市人口300万 假设我们在座的有 人 至少有 人的生日是一样的 以上例子表明 反证法能够说明许多有趣的现象 给我们带来了美的享受 精美和优美 抽屉原理 例 在任意6人中 一定可以找到3个相互认识 或3个相互不认识的人 例 边长为 的正三角形内有 个点 证明 至少存在两个点之间的距离不大于1 2 4 3RMI方法 这是化归方法中的一类 RMI R relation M mapping I inversion 即关系 映射和反演 它属于形式逻辑范畴 如 三段式 给人以逻辑美 RMI方法体现了辨证思想的方法 原问题 转化问题 求解 原问题的解答 例1 显得容易 例2 曲折 化难为易曲折 创造 发明曲折 实现的根据是对数Galileo 给我空间 时间和对数 我即可创造一个宇宙 RMI的体现 R 21 11 M lgx I 10lgx 例3 求和 M 逐项微分 I 积分 数学上互逆的运算很多 如0的作用是 项与 项 1的作用是乘项与除项 几何与代数的联系就是借助于坐标 几何问题 图形 代数问题 方程 几何结论 图形的关系 代数结论 方程的解 4 4抽象方法 抽象 枯燥乏味 语言学抽象吗 美 神 好文学抽象吗 诗歌艺术抽象吗 绘画 舞蹈音乐抽象吗 高山流水 悲欢离和 美的感受 数学的抽象美的表现形式不同 它给人带来的是简洁 明快和高效的美 通过数学的抽象找到问题的本质 从而建立基本符合现实原型的数学模型 进而解决问题 关于数学模型 数学模型的定义 现在数学模型还没有一个统一的准确的定义 因为站在不同的角度可以有不同的定义 不过我们可以给出如下定义 数学模型是关于部分现实世界以及为一种特殊目的而做的一个抽象的 简化的结构 具体来说 数学模型就是为了某种目的 用字母 数学及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表 图象 框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式 建立数学模型的方法和步骤 第一 模型准备首先要了解问题的实际背景 明确建模目的 搜集必需的各种信息 尽量弄清对象的特征 第二 模型假设根据对象的特征和建模目的 对问题进行必要的 合理的简化 用精确的语言作出假设 是建模至关重要的一步 如果对问题的所有因素一概考虑 无疑是一种有勇气但方法欠佳的行为 所以高超的建模者能充分发挥想象力 洞察力和判断力 善于辨别主次 而且为了使处理方法简单 应尽量使问题线性化 均匀化 第三 模型构成根据所作的假设分析对象的因果关系 利用对象的内在规律和适当的数学工具 构造各个量间的等式关系或其它数学结构 这时 我们便会进入一个广阔的应用数学天地 这里在高数 概率老人的膝下 有许多可爱的孩子们 他们是图论 排队论 线性规划 对策论等许多许多 真是泱泱大国 别有洞天 不过我们应当牢记 建立数学模型是为了让更多的人明了并能加以应用 因此工具愈简单愈有价值 第四 模型求解可以采用解方程 画图形 证明定理 逻辑运算 数值运算等各种传统的和近代的数学方法 特别是计算机技术 一道实际问题的解决往往需要纷繁的计算 许多时候还得将系统运行情况用计算机模拟出来 因此编程和熟悉数学软件包能力便举足轻重 第五 模型分析对模型解答进行数学上的分析 横看成岭侧成峰 远近高低各不同 能否对模型结果作出细致精当的分析 决定了你的模型能否达到更高的档次 还要记住 不论那种情况都需进行误差分析 数据稳定性分析 建立数学模型的原则 1 真实完整 1 真实的 系统的 完整的反映客观现象 2 必须具有代表性 3 具有外推性 即能得到原型客体的信息 在模型的研究实验时 能得到关于原型客体的原因 4 必须反映完成基本任务所达到的各种业绩 而且要与实际情况相符合 2 简明实用 在建模过程中 要把本质的东西及其关系反映进去 把非本质的 对反映客观真实程度影响不大的东西去掉 使模型在保证一定精确度的条件下 尽可能的简单和可操作 数据易于采集 3 适应变化 随着有关条件的变化和人们认识的发展 通过相关变量及参数的调整 能很好的适应新情况 概括的说有以下几点 反映原则 简化原则 可分析可求解原则 哥尼斯堡七桥问题 抽象 的典型 图论的起源 例1 七桥问题 如图 能否从某个桥出发 走过所有的桥 但每座桥只经过一次 A B C D 一次走完 一笔画 一次走不完 一笔画不出 能否一笔画出 2 4 2 1 3 3 1 3 3 3 5 偶 奇 奇 否 Euler 例 足球射门最佳点问题 在足球比赛中 甲方边锋从乙方所守球门附近带球过人沿直线向前推进 试问 甲方边锋在何处设门命中率最大 A 甲 乙 例 足球射门最佳点问题 A 甲 乙 例 魔方问题 点线图 拓扑学topology 不注重数量关系和形状特征 而注重点与点的连接方式 如 建立校园网络系统 从网络中心到各办公楼 教学楼 学生宿舍楼 到各办公室 教室和寝室 你任何设计呢 你需要建立一个网络的拓扑图即可 实际上如果两个图的点与连接方式一致 它们实际上就是拓扑意义下的一张图 拓扑学的产生与发展进一步表现了数学的抽象程度 起抽象的美与实际是如此的协调 展示了数学的优美 拓扑学的产生极大冲击了直观性原则 1人的认知能力 直观 抽象飞跃 2直观与抽象在认识上的统一受年龄和知识的接受方式的限制 3直观可能造成错觉 思辩的作用越来越大 直观具有较大的局限性 物理学 化学 生物学等学科中许多重大发现和突破是有想象力开导的 善于抽象不仅只限于数学 人文科学 社会科学 更越来越抽象 只不过给人的感觉不象数学强烈而已 趣味题 抓堆和抓三堆 1 抓堆 有一堆谷粒 例如100粒 甲 乙轮流抓 每次可抓1 5粒 甲先抓 规定谁抓到最后一把谁赢 问 甲应该如何抓 为什么 数学思想 问题一般化 问题特殊化 归纳总结 找出规律 证明规律 得到结论 反面说法 把6的倍数留给对方 自己可以取胜 2 抓三堆 有三堆谷粒 例如100粒 200粒 300粒 甲 乙轮流抓 每次只能从一堆中抓 最少抓1粒 可抓任意多粒 甲先抓 规定谁抓到最后一把谁赢 问 甲应该如何抓 为什么 抓三堆 有三堆谷粒 例如100粒 200粒 300粒 甲 乙轮流抓 每次只能从一堆中抓 最少抓1粒 可抓任意多粒 甲先抓 规定谁抓到最后一把谁赢 问 甲应该如何抓 为什么 解 问题一般化记号 将三堆谷粒的状况记为 a b c 例如 100 200 300 这样 谁抓为 0 0 0 谁赢 分析 问题特殊化1 只有一堆时 即状况为 a 0 0 此时先抓者必胜 2 只有两堆时 即状况为 a b 0 1 若b a 即状况为 a a 0 此时后抓者必胜 因为对方先抓后 结果或剩一堆 成为 a 0 0 的状况 一把可抓完 或剩两堆 你抓后 又成为新的 d d 0 的状况 且da 即状况为 a b 0 此时先抓者必胜 因为先抓者可以把第二堆抓掉b a个 使状况转化为 a a 0 成为新的 状况 1 3 三堆都有 且其中两堆相等 即状况为 a a c 此时先抓者必胜 因为先抓者可以把第三堆全抓完 使状况转化为 a a 0 成为新的 状况2 1 4 三堆都有 且其中任意两堆都不相等 即状况为 a b c 且不妨设a b c 此时情况比较复杂 为了下面表述得清楚 我们把前面的一个结论用 反面说法 总结为 把两堆相等的状况留给对方 自己可以取胜 然后再讨论a b c的不同情况 以其中最小的a为 主要线索 分情况讨论 1 a 1时 即状况为 1 b c 下面再对b分情况 由于a b c 即a b c 前小后大 因此b最小为2 于是起始情况是 1 2 3 经用 穷举法 分析 该情况下后抓者胜 或用 反面说法 说成 把 1 2 3 的状况留给对方 自己可以取胜 下一个情况是 1 2 c c 3 此时必先抓者胜 因为先抓者只要把第三堆抓剩3个 就转化成 1 2 3 的状况 从而必胜 下一个情况是 1 3 c c 3 此时必先抓者胜 因为先抓者只要把第三堆抓剩2个 就转化成 1 3 2 的状况 也即 1 2 3 的状况 从而必胜 下一个情况是 1 4 c c 4 起始情况是 1 4 5 经用 穷举法 分析 该情况下后抓者胜 或用 反面说法 说成 把 1 4 5 的状况留给对方 自己可以取胜 这样类似地分析下去 逐渐可以得到结论 把 1 2 3 的状况留给对方 自己可以取胜 把 1 4 5 的状况留给对方 自己可以取胜 把 1 6 7 的状况留给对方 自己可以取胜 把 1 8 9 的状况留给对方 自己可以取胜 于是归纳 猜测 把 1 2m 2m 1 的状况留给对方 自己可以取胜 然后用数学归纳法可以证明 这一结论是正确的 这样 就把a 1时的情况 全搞清楚了 2 a 2时 即状况为 2 b c 下面再对b分情况 由于a3 此时必先抓者胜 因为先抓者只要把第三堆抓剩1个 就转化成 2 3 1 的状况 也即 1 2 3 的状况 从而必胜 下一个情况是 2 4 c c 4 起始情况是 2 4 5 此时必先抓者胜 因为先抓者只要把第一堆抓剩1个 就转化成 1 4 5 的状况 从而必胜 下一个情况是 2 4 6 经用 穷举法 分析 该情况下后抓者胜 或用 反面说法 说成 把 2 4 6 的状况留给对方 自己可以取胜 这样类似地分析下去 逐渐可以得到结论 把 2 4 6 的状况留给对方 自己可以取胜 把 2 5 7 的状况留给对方 自己可以取胜 把 2 8 10 的状况留给对方 自己可以取胜 把 2 9 11 的状况留给对方 自己可以取胜 于是归纳 猜测 把 2 4m 4m 2 或 2 4m 1 4m 3 的状况留给对方 自己可以取胜 然后用数学归纳法可以证明 这一结论是正确的 这样 就把a 2时的情况 全搞清楚了 3 a 3时 即状况为 3 b c 下面再对b分情况 类似地分析下去 逐渐可以得到结论 把 3 4 7 的状况留给对方 自己可以取胜 把 3 5 6 的状况留给对方 自己可以取胜 把 3 8 11 的状况留给对方 自己可以取胜 把 3 9 10 的状况留给对方 自己可以取胜 于是归纳 猜测 把 3 4m 4m 3 或 3 4m 1 4m 2 的状况留给对方 自己可以取胜 然后用数学归纳法可以证明 这一结论是正确的 这样 就把a 3时的情况 全搞清楚了 上面的方法 本质上是 数列通项公式 的方法 知道上面这些结论以后 对一般没有研究的人 你的赢律应该是很大的了 只要先把最少的那堆抓剩3个 对方迟早会进入你的圈套的 但是 这并无必胜的把握 为了赢律更大 还需研究a 4时的情况 a 5时的情况 等等 例如a 4时的情况 经过研究可以得到结论 把 4 8 12 的状况留给对方 自己可以取胜 把 4 9 13 的状况留给对方 自己可以取胜 把 4 10 14 的状况留给对方 自己可以取胜 把 4 11 15 的状况留给对方 自己可以取胜 把 4 16 20 的状况留给对方 自己可以取胜 把 4 17 21 的状况留给对方 自己可以取胜 把 4 18 22 的状况留给对方 自己可以取胜 把 4 19 23 的状况留给对方 自己可以取胜 于是归纳 猜测 把 4 8m 8m 4 或 4 8m 1 8m 5 或 4 8m 2 8m 6 或 4 8m 3 8m 7 的状况留给对方 自己可以取胜 然后用数学归纳法可以证明 这一结论是正确的 这样 用 数列通项公式 的方法 继续研究下去 也能得出取胜的策略 但表达起来会很繁琐 归纳总结 找出规律因为已经看到 在 a b c a b c的规定下 a 1时 有一种表达式 1 2m 2m 1 的状况留给对方 自己可以取胜 a 2时 有二种表达式 2 4m 4m 2 或 2 4m 1 4m 3 的状况留给对方 自己可以取胜 a 3时 有二种表达式 3 4m4m 3 或 3 4m 1 4m 2 的状况留给对方 自己可以取胜 a 4时 有四种表达式 4 8m 8m 4 或 4 8m 1 8m 5 或 4 8m 2 8m 6 或 4 8m 3 8m 7 的状况留给对方 自己可以取胜 可以猜测 a 4 5 6 7这四种情况时 都分别有四种通项表达式的状况留给对方 自己可以取胜 a 8 9 10 11 12 13 14 15这八种情况时 都分别有八种通项表达式的状况留给对方 自己可以取胜 a 2k 2k 1 2k 2 2k 1 1 这2k种情况时 都分别有2k种通项表达式的状况留给对方 自己可以取胜 证明规律 得到结论如果把以上情况全用数学归纳法证明了 特别是把上行中2k种通项表达式全写出并证明了 那么 起始情况有利时 就可以