安徽省合肥市2020届高三数学零模试题理（含解析）.docx

安徽省合肥市2020届高三数学零模试题 理（含解析）注意事项:1.答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号后两位；2.答第卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；3.答第卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、笔遗清晰.作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚，必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区城书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。第卷(满分60分)一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，则A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】解一元次二次不等式得或，利用集合的交集运算求得.【详解】因为或，所以，故选C.【点睛】本题考查集合的交运算，属于容易题.2.已知i是虚数单位，复数在复平面内对应的点位于A. 第四象限B. 第三象限C. 第二象限D. 第一象限【答案】B【解析】【分析】利用复数的四则运算得，从而得到其对应点在第三象限.【详解】，其对应点在第三象限，故选B.【点睛】本题考查复数的四则运算及复数与复平面内点的对应关系.3.执行下图的程序框图.若输入n=3，x=3，则输出y的值为（ ）A. 16B. 45C. 48D. 52【答案】C【解析】【分析】运行程序，进入循环结构，直到时退出循环，输出的值.【详解】运行程序，输入，判断是，判断是，判断是，判断否，输出.故选C.【点睛】本小题主要考查根据循环结构程序框图计算输出结果，属于基础题.4.已知双曲线的渐近线为，实轴长为4，则该双曲线的方程为A. B. 或C. D. 或【答案】D【解析】【分析】根据双曲线的渐近线，设双曲线的方程为，再对分两种情况讨论，由实轴长为4，得到关于的方程，求出后得到双曲线的方程.【详解】因为双曲线的渐近线，设双曲线的方程为，当时，双曲线焦点在轴上，且，所以，解得；当时，双曲线焦点在轴上，且，所以，解得；所以双曲线的方程为或，故选D.【点睛】本题考查利用双曲线渐近线方程、实轴长求双曲线的方程，利用双曲线的一般方程求解，会使解题过程更简洁，考查运算求解能力.5.已知为直线，为平面，且，则“”是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】在长方体中，设为直线，为直线，显然推不出；反之，由线面垂直的性质得.【详解】如图在长方体中，设为直线，为直线，为平面ABCD此时，但，所以推不出；反之，若，则，所以是的必要而不充分条件，故选B.【点睛】判断是什么条件？一般是先考虑能否成立？再考虑能否成立？若是不成立，则只要举出反例即可.6.已知一个机械工件正(主)视图与侧(左)视图如图所示，俯视图与正(主)视图完全一样，若图中小网格都是边长为1的正方形，则该工件的表面积为（ ）A. 24B. 26C. 28D. 30【答案】C【解析】【分析】根据三视图判断出几何体的结构，并由此计算出表面积.【详解】由三视图可知，该几何体是由两个圆柱组合而成，故表面积为.故选C.【点睛】本小题主要考查三视图还原为原图，考查组合体的表面积计算，考查圆柱的表面积公式，属于基础题.7.某公司一种型号的产品近期销售情况如下表月份23456销售额（万元）15.116.317.017.218.4根据上表可得到回归直线方程，据此估计，该公司7月份这种型号产品的销售额为（ ）A. 19.5万元B. 19.25万元C. 19.15万元D. 19.05万元【答案】D【解析】由题意可得：，回归方程过样本中心点，则：.回归方程为：，该公司7月份这种型号产品的销售额为：万元.本题选择D选项.8.若直线经过圆的圆心，则的最小值为A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用直线过圆心得的关系为，再利用“”的代换及基本不等式求得式子最小值为.【详解】圆的标准方程为，所以圆心为，因为直线过圆心，所以，所以，等号成立当且仅当，故选D.【点睛】本题考查圆的方程、直线与圆的位置关系、基本不等式求最值等知识，注意“1”的代换在基本不等式求最值的巧用，同时注意验证等号成立的条件.9.展开项中的常数项为A. 1B. 11C. -19D. 51【答案】B【解析】【分析】展开式中的每一项是由每个括号中各出一项组成的，所以可分成三种情况.【详解】展开式中的项为常数项，有3种情况：（1）5个括号都出1，即；（2）两个括号出，两个括号出，一个括号出1，即；（3）一个括号出，一个括号出，三个括号出1，即；所以展开项中的常数项为，故选B.【点睛】本题考查二项式定理知识的生成过程，考查定理的本质，即展开式中每一项是由每个括号各出一项相乘组合而成的.10.函数的图象大致为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用得图象关于轴对称，排除，当时，排除C.【详解】，所以图象关于轴对称，排除；当时，排除C，故选B.【点睛】本题考查利用函数解析式选函数图象，注意从解析式得到函数的性质，如过特殊点、奇偶性、函数值正负等.11.设抛物线C:的焦点为，斜率为的直线过交于点，则直线的斜率为A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】作出抛物线与直线的图象，利用直角三角形中正切函数的定义，求出角的正切值，即斜率，再利用对称性得也成立.【详解】如图所示，作在抛物线准线的射影分别为，过作于，设所以则在中，所以，由抛物线的对称性易得也成立，故选C.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，求解时若能充分利用平面几何性质，能使运算量大减少，提高解题的速度.12.设数列的前n项和为，定义数列如下:对于正整数，是使不等式成立的所有的最小值，则数列的前60项的和为A. 960B. 930C. 900D. 840【答案】A【解析】【分析】根据递推关系，利用临差法得到，利用不完全归纳法得到的奇数项、偶数项分别是等差数列，从而求得.【详解】因为两式相减得：，所以，所以，当时，也成立，所以.不等式成立，当时， 当时，当时， 当时，当时，所以数列的奇数项构成以1为首项，1为公差的等差数列，偶数项构成以2为首项，1为公差的等差数列，所以，故选A.【点睛】本题考查利用与的递推关系求数列的通项，再通过不完全归纳法结合题干的定义得到数列的性质，从而进行求和，对综合能力的要求较高.第卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填写在答题卡上的相应位置.13.若实数满足约束条件，则的最大值为_.【答案】8【解析】【分析】作出约束条件所表示的可行域，把求目标函数的最大值，看成直线在轴上截距的最小值，找到点的坐标代入目标函数即可.【详解】如图所示，作出约束条件所表示的可行域，目标函数的最大值等价于直线在轴上截距的最小值，所以当直线过点时，其在轴上截距的最小值，所以，故填：.【点睛】本题考查线性规划问题，考查利用直线在轴截距几何意义求最值.14.已知，则向量在方向上的投影等于_.【答案】【解析】【分析】利用数量积定义中对投影的定义，即，把坐标代入运算，求出投影为.【详解】因为，故填：.【点睛】本题考查向量数量积定义中投影的概念，考查对投影的基本运算.15.若函数在区间上有且仅有一个零点，则实数的取值范围有_.【答案】或【解析】【分析】函数的零点方程的根，求出方程的两根为，从而可得或，即或.【详解】函数在区间的零点方程在区间的根，所以，解得：，因为函数在区间上有且仅有一个零点，所以或，即或.【点睛】本题考查函数的零点与方程根的关系，在求含绝对值方程时，要注意对绝对值内数的正负进行讨论.16.在中，平分交于点，则线段的长为_.【答案】1【解析】【分析】根据三角形内角和为，把三个角都用表示，利用正弦定理得，利用三角恒等变换，求得，再利用余弦定理求出，最后利用角平分线定理求出.【详解】因为，所以，因为，所以，整理得：，解得：或（舍去），因为，所以.因为平分，所以，解得：，故填：.【点睛】本题考查三角恒等变换及三角形中的内角和、正弦定理、余弦定理等知识，对运算能力和逻辑推理能力要求较高，深入考查函数与方程思想.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数。(1)求函数的最小正周期；(2)当时，求函数的单调递增区间.【答案】(1) ； (2) 和.【解析】分析】（1）利用两角差和的正弦公式、辅助角公式化简，并由此求得函数的最小正周期.（2）先求得的单调递增区间，然后对进行赋值，求得在区间内的单调递增区间.【详解】（1）函数的最小正周期. (2)由解得函数的单调递增区间为所求单调递增区间为和.【点睛】本小题主要考查利用两角差的正弦公式、辅助角公式进行三角恒等变换，考查三角函数最小正周期和在给定区间上的单调性的求法，属于中档题.18.已知等差数列，数列满足，.(1)求数列，的通项公式；(2)求使得成立的最小正整数的值.【答案】（1），（2）17【解析】【分析】（1）利用等差数列中任意两项求公差，再用广义通项公式求出，接着利用累加法求数列；（2）利用裂项相消法求数列的前项和为，再解不等式求得最小正整数为17.【详解】解：(1)设等差数列的公差为d，则，则，解得，所以.因为所以，也合适.所以，.(2)因为所以.即，解得，所不等式成立的最小正整数为17.【点睛】本题考查基本量法、累加法求数列通项公式、裂项相消法求和、不等式与数列的交会问题，考查逻辑推理和运算求解能力.19.第24届冬奥会将于2022年在中国北京和张家口举行，为宣传冬奥会，让更多的人了解、喜爱冰雪项目，某大学举办了冬奥会知识竞赛，并从中随机抽取了100名学生的成绩，绘制成如图所示的频率分布直方图：(1)试根据频率分布直方图估计，这100人的平均成绩(同一组数据该组区间的中点值代替)；(2)若采用分层抽样的方，从70，80)，80，90)，90，100三个分数段中共抽取6人)，再将其随机地分配到3个社区开展冬奥会宣传活动(每个社区2人），求“同一分数段的学生分配到不同社区”的概率。【答案】（1）平均成绩为（2）【解析】【分析】（1）每个小矩形中点乘以小矩形的面积之和，得到该组数据的平均数；（2）根据分层抽样，在三组中分别选取了3人，2人，1人，再利用古典概型计算概率值.【详解】解：(1).(2)由题意知，成绩在70，80)，80，90)，90，100的学生分别选取了3人，2人，1人.6人平均分成3组分配到3个社区，共有种方法.同一分数段的学生分配到不同社区的方法有种，所以“同一分数段的学生分配到不同社区”的概率.【点睛】本题考查频率分布直方图估计平均数，古典概型的概率计算，考查基本数据处理能力，注意排列、组合计数原理的应用.20.已如三棱柱，点为棱的中点.(1)求证:平面；(2)若是等边三角形，且，平面上平面，求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）连结交于，连结，利用三角形的中位线得到，再利用线面平行判定定理证明平面；（2）以为坐标原点，直线所在直线分别为轴，写出相关点坐标，求出平面的法向量为，平面的法向量，求出，进而得到二面角为锐角，其余弦值为.【详解】解:(1)连结交于，连结.棱柱知，四边形为平行四边形，为的中点，为的中点，平面，平面，平面. (2)是等边三角形，且，又平面平面，平面平面，平面，.以为坐标原点，直线所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则设平面的法向量为，则，=(，-1，0)，=(0，-1，)令，得，即).设平面的法向量为，则，=(，)，=(，)令，得，即).，由题意可知，二面角为锐角，其余弦值为.【点睛】本题考查空间线面平行判定定理的运用、及利用空间向量求二面角的余弦值，考查空间想象能力和运算求解能力，找到三条两两互相垂直的直线，建立空间直角坐标系，准确写出各点坐标是求解问题的关键。21.已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别是，上顶点为，的面积等于.(1)求椭圆的方程；(2)设点，直线，分别交椭圆于点，证明:三点共线.【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）根据椭圆的离心率及的面枳为2得关于的两个方程，结合，可求出，从而得到椭圆的方程为；（2）设点的坐标分別为，利用直线，与椭圆相交关系，利用韦达定理可得到点坐标用变量表示出来，然后证明向量，从而得到三点共线.【详解】解:（1）由离心率为，得，由的面枳为2得， 联立解得，椭圆的方程为.（2）设点的坐标分別为，直线的方程为，与椭圆方程联立并整理得，由得，代入直线的方程得，即(，)同理可得(，).因为，所以=(，)，=(，)，有=知，三点共线.【点睛】本题考查利用待定系数法求椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系，考查逻辑推理和运算求解能力，在求解过程中要注意解题思路及方向的确定，即设出点的坐标后，可以把两个点的坐标统一用变量进行表示，然后再进行坐标的运算求解.22.已知.（1）若曲线在点处的切线也与曲线相切，求实数的值；（2）试讨论函数零点的个数.【答案】（1）（2）答案不唯一具体见解析【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义，设切点的坐标，用不同的方式求出两种切线方程，但两条切线本质为同一条，从而得到方程组，再构造函数研究其最大值，进而求得；（2）对函数进行求导后得，对分三种情况进行一级讨论，即，结合函数图象的单调性及零点存在定理，可得函数零点情况.【详解】解: （1）曲线在点处的切线方程为，即.令切线与曲线相切于点，则切线方程为，令，则，记，于是，在上单调递增，在上单调递减