第三章线性系统的时域分析法1

自动控制原理 郑州轻工业学院 电气信息工程学院自动化教研室 主讲 姜素霞 当系统的数学模型确定以后 下一步的工作就是分析系统性能 动态性能和稳态性能 在经典控制理论中 常用的分析方法有 时域分析法 根轨迹法 频域分析法 第三章 第四章 第五章 时域分析法 直接在时间域对系统进行分析 直观 准确 还可以提供时间响应的全部信息 内容提要 3 1控制系统时间响应的性能指标3 2一阶系统的时域分析3 3二阶系统的时域分析3 4高阶系统的时域分析3 5线性系统的稳定性分析3 6线性系统的稳态误差 第三章线性系统的时域分析法 时域法是自动控制系统最基本的分析方法 是学习复域法 频域法的基础 时域法可以直接在时间域中对系统进行分析校正 具有直观 准确的特点 时域法可以提供系统时间响应的全部信息 时域法是基于解析法求解系统的输出响应 所以比较烦琐 本章内容提要 3 1时间响应的性能指标 3 1 1典型输入信号 单位阶跃响应 单位斜坡响应 单位脉冲响应 单位加速度响应 典型输入信号 单位阶跃信号 单位斜坡信号 单位脉冲信号 单位加速度信号 正弦信号 对应的输出分别被称为 A 1时称为单位阶跃函数 其数学表达式为 阶跃函数 A 1时称为单位斜坡函数 其数学表达式为 斜坡函数 A 1时称为单位脉冲函数 其数学表达式为 脉冲函数 A 1 2时称为单位抛物线函数 其数学表达式为 加速度函数 抛物线 正弦函数 四种典型单位输入信号 在实际设计控制系统时 选用哪一种典型信号作为实验信号 需根据系统的实际情况来决定 输入信号实验信号 选择 突变扰动量阶跃信号冲击输入量脉冲信号随时间变换斜坡信号周期变化量正弦信号其他运动量加速度函数 动态过程 瞬态过程 过渡过程 指系统在输入信号作用下 输出量从初始状态到最终状态的时间响应全过程 表现 衰减 发散 等幅振荡 提供 稳定信息 响应速度 阻尼程度等稳态过程 稳态响应 指系统在输入信号作用下 当时间t趋于无穷时 系统输出量的最终表现形式 表征 输出量最终复现输入量的程度 提供 稳态误差 3 1 2控制系统的时域性能指标 时间响应由动态过程 稳态过程两部分组成 3 1 2控制系统的时域性能指标 阶跃响应的性能指标 p tr 0 5 y t td tp 0 1 ts t 稳态误差 稳态性能指标用稳态误差ess描述 表征系统的控制精度及抗干扰能力 B 动态性能指标定义1 动态性能指标定义2 上升时间tr 调节时间ts 动态性能指标定义3 0 95 无峰值时间无超调量无振荡 3 2 1一阶系统的数学模型 结构图 a 微分方程 传递函数 式子中T的含义随系统的不同而不同 3 2一阶系统的时域分析 3 2 2一阶系统的单位阶跃响应 r t 1 t 无零点 单位阶跃响应曲线 c T 0 632c c 3T 0 95c c 2T 0 865c c 4T 0 982c 输出响应 由此特点可判别系统是否为一阶环节 性能指标 c t 50 td 0 69Tc t 10 和c t 90 tr 2 20T c t 95 允许误差5 t 3T ts 3T 单位阶跃响应的运动变化率 一阶系统特点1 可以用时间常数去度量系统的输出量的数值 2 当t 0时 初始斜率最大 为1 T 3 无峰值时间 无超调 稳态误差ess 0 输出响应 3 2 3一阶系统的单位脉冲响应 r t 理想 单位脉冲响应曲线 理想的脉冲函数无法得到 通常以脉宽为b 幅值有限的矩形脉宽函数代替 要求 3 2 4一阶系统的单位斜坡响应 r t t 单位斜坡响应曲线 T 输入 位置误差随时间增大 最后为常值T 输出 输出速度 稳态分量 t T t为信号跟踪项 跟踪输入信号t 暂态分量 Te t T 指数衰减项 最终衰减为 3 2 4一阶系统的单位斜坡响应 r t t 特点 1 输出量与输入量之间的位置误差最终趋于T 2 系统惯性越小 位置误差T越小 跟踪准确度就越高 3 初始速度为 随时间而增大 4 不存在动态性能指标 3 2 5一阶系统的单位加速度响应 r t t2 2 跟踪误差 e t r t c t Tt T2 1 e t T 当t 时 e t 因此一阶系统不能跟踪加速度函数 输出 输入 输出响应 小结 线性定常系统的特性 线性系统输入信号微分的响应 等于系统对输入信号响应的微分 系统对输入信号积分的响应等于系统对该输入信号响应的积分 这一特性适用于任何阶线性定常连续系统 非线性系统及线性时变系统不具有这种特性 例3 1如图示 1 求Kh 0 1时的ts 2 要求ts 0 1s 求Kh 解题关键 一定要把闭环传递函数化为标准形式 2 要求ts 0 1 s 即3T 0 1 s Ts 例3 2要求对应的时间常数 求K0 KH 要求 系统增益 因此 G s 上节内容回顾 稳 基本要求 系统响应要收敛 即系统稳定 快 动态要求 过渡过程要平稳 迅速 即振荡幅度小 响应过程快 准 稳态要求 稳态输出与给定信号之间的误差要小 即稳态误差越小越好 上节内容回顾 一阶系统的时域数学模型 本节课程重点内容 二阶系统的数学模型各种典型输入信号作用下 二阶系统的动态过程分析 重点 欠阻尼情况下 分析二阶系统的动态过程及动态性能指标计算 3 3 1二阶系统的数学模型 可以用二阶微分方程描述的系统为二阶系统 已知RLC电路的微分方程 为线性二阶微分方程 所以图示为二阶系统 3 3二阶系统的时域分析 求拉氏变换 得二阶系统的传递函数 重要公式 典型二阶系统的闭环传递函数的标准形式 闭环系统的特征方程 重点分析各种输入信号作用下 特征根的取值不同情况时 输出响应的特点 即 0 1 1 0 1 极点S1 S2在S平面内的分布情况 决定了二阶系统的性能 2 s s2 2 ns n2 过阻尼 临界阻尼 无阻尼 欠阻尼 动画1 输入为单位阶跃信号 整理 拉氏反变换 输出的阶跃响应为 1 欠阻尼 0 1 3 3 二阶系统的单位阶跃响应 因此 响应曲线如右图所示 结论 由稳态分量和瞬态分量两部分组成 稳态部分等于1 表明不存在稳态误差 瞬态部分是一个阻尼正弦项 阻尼振荡频率为 d 幅值按指数规律衰减 系统阻尼大小由 n决定 即闭环特征根实部 n 无稳态误差 2 无阻尼 0 响应曲线 无阻尼的等幅振荡 自然频率无阻尼振荡频率 传递函数 输出 一对纯虚根 响应曲线 按指数规律单调上升 经过调节时间过程后到达稳态 等于输入量 无振荡 无超调 无稳态误差 3 临界阻尼 1 系统传递函数 一对相等的负实根 响应曲线 按指数规律单调上升 但是与临界阻尼相比其动态过程时间较长 调节速度慢 无振荡 无稳态误差 4过阻尼 1 传递函数 阶跃响应 虚部不为零 响应曲线振荡发散 虚部为零 响应曲线单调发散 5 负阻尼 0 传递函数 闭环极点 特征根 实部大于零 响应发散 系统不稳定 除不允许产生振荡的系统 通常采用欠阻尼状态 阻尼比选择在0 4 0 8之间 保证系统有好的运动动态 一定时 n越大 瞬态分量衰减越快 系统能更快达到稳态值 系统的快速性越好 结论 动态演示 本次课后作业 1 3 2 3 5 3 8 自动控制原理 3 3 3欠阻尼二阶系统的动态过程分析 0 1阻尼比希望值为 0 4 0 8 欠阻尼二阶系统的特征参量 1 上升时间tr 动态指标 tr tp ts 即 依定义 令c t 1 一定时 n越大 tr越小 响应越快 n一定时 越大 tr越大 响应越慢 2 峰值时间tp 一定时 n越大 tp越小 n一定时 越大 tp越大 依定义 令上求导式为零 得 即 取 所以 依定义将代入上式 得 最大超调量百分比为 仅与阻尼比 有关 越大 越小 系统的平稳性越好 0 4 0 8 25 4 1 5 3 超调量 调节时间ts 单位阶跃响应进入 误差带所需的最短时间 依定义 包络线 估算 c t ts的计算 c 1 二阶系统的动态性能由 n和 决定 3 一定 n越大 系统响应快速性越好 tr tp ts越小 小结 2 n一定 增加 减小超调量 降低振荡 系统平稳 系统快速性降低 tr tp增加 ts减小 4 仅与 有关 而tr tp ts与 n有关 通常根据允许的最大超调量来确定 一般选择在0 4 0 8之间 然后再调整 n以获得合适的瞬态响应时间 以满足系统的快速性要求 解 闭环传递函数为 例3 4图中Tm 0 2 K 5 求单位阶跃响应动态性能指标 化为标准形式 解 1 与典型二阶系统比较 得 特征参数与实际参数的关系为 2 K 16 T 0 25 得 将 代入动态性能指标公式得 例3 5如图示 1 求特征参数与实际参数的关系 2 K 16 T 0 25 计算单位阶跃响应动态性能指标 例3 6 单位负反馈的二阶系统单位阶跃响应曲线如图示 求开环传递函数 解 由图示 先确定二阶系统参数 再求传递函数 例3 7控制系统及单位阶跃响应曲线如图所示 求K1 K2和a 解 由图 b 得 系统输出 得 a 6 01 K2 24 46 K1 2是闭环传递函数在s 0的值 即阶跃响应的稳态输出值 由超调量和峰值时间公式得 终值定理 3 3 4过阻尼二阶系统的动态性能指标 对不允许出现超调量 又希望响应速度较快时的系统 可采用临界阻尼 过阻尼系统响应无峰值时间tp和 仅上升时间tr和调节时间ts有研究意义 过阻尼系统响应缓慢 上式是一个超越方程 无法根据定义求动态性能指标 可以利用数值解法求不同阻尼比下的无因次时间 制成曲线以备查用 过阻尼系统响应 1 上升时间tr 图中曲线用下式近似描述 2 调节时间ts 已知 T1 T2取不同值 解出ts T1与ts T2关系值 绘曲线如图 T1 T2 例3 8如图示 T 0 2 s 要求单位阶跃响应无超调 ts 2 s 求K tr值 3 3 5二阶系统的单位脉冲响应 输入r t t R s 1 输出 图示是不同 值的一簇单位脉冲响应曲线 横坐标是无因次变量 曲线仅仅是 的函数 由图可知 临界阻尼和过阻尼时 c t 为正值或等于零 无阻尼 响应为等幅振荡 没有调节作用 临界阻尼 或过阻尼 1单调衰减 不变号 无超调欠阻尼0 1 系统响应围绕零值产生衰减振荡 有超调量 因此 可以通过调节参数 使系统具有良好的动态性能 为系统脉冲响应的第一峰值时间 为系统脉冲响应第一峰值的幅值 从0到tc的积分 阴影部分 恰好是单位阶跃响应的最大值 而脉冲响应首次过零时间tc等于阶跃响应的峰值时间 欠阻尼脉冲响应性能指标定义及数学表达式 首次过零时间为系统脉冲响应第一次衰减到零的时间 单峰积分为系统脉冲响应第一峰值的积分面积 欠阻尼单位脉冲响应 超调量 峰值时间 首次过零时间 3 3 6二阶系统的单位谐坡响应 输入R s 1 s2输出 误差的最大偏差为 误差响应的峰值 误差响应求导并令为零 得误差峰值时间 稳态误差 ess表示 即 欠阻尼瞬态输出 欠阻尼单位谐坡响应分析 t 0 t 0 稳态误差和误差响应分别为 临界阻尼单位斜坡响应 t 0 临界阻尼单位谐坡响应分析 1 由终值定理求得稳态误差 因此 例3 9如图 讨论K和F变化对单位斜坡响应稳态误差的影响 试画出小K值 中等K值和大K值时典型单位斜坡响应曲线 解 闭环传函 1 增大K或减小F值 可以减小 4 单位斜坡响应在瞬态响应结束而达到稳态时 输出速度与输入速度相同 但是输出量与输入量之间存在一个固定的位置误差 5 三种不同K值的典型单位斜坡响应曲线如图所示 本次课程作业 2 3 10 自动控制原理 上节重点内容回顾 典型二阶系统的传递函数 特征参数 自然频率 无阻尼振荡频率 单位rad s n 二阶系统的阻尼比 无纲量 2 阻尼比 取值不同 闭环特征根的分布情况 001 0 上节重点内容回顾 上节重点内容回顾 3 根据阻尼比 的取值不同 分析系统性能 阻尼比 决定了系统的振荡特性 0时 响应发散 系统不稳定 0时 等幅振荡 系统不稳定 0 1时 有振荡 愈小 振荡越严重 但响应越快 因此 0 4 0 8之间 可以获得较好的快速性和平稳性 1时 无振荡 无超调 上节重点内容回顾 4 二阶系统的单位阶跃响应动态性能指标 1 欠阻尼 0 1 情况 上升时间tr 峰值时间tp 调节时间ts 超调量 上节重点内容回顾 2 过阻尼 1 情况 上升时间tr 调节时间ts 无超调量 上节重点内容回顾 5 n和 对于二阶系统的动态性能有何影响 一定 n越大 系统响应快速性越好 tr tp ts越小 增加 降低振荡 减小超调量 提高系统平稳性 降低快速性 tr tp增加 系统响应缓慢 本次课程重点内容 改善二阶系统性能的方法 比例 微分控制测速反馈控制2 线性系统稳定的充分必要条件 3 3 7二阶系统的性能改善 二阶系统的两个特征参数 n和 是影响系统动态性能的主要性能指标 为了减小超调量 需要增大 但阻尼程度增加 会使得系统的快速性变差 使上升时间 峰值时间 延迟时间加长 系统响应变慢 因此 如果增大阻尼比 就必须以减小自然频率 n为代价 这样又不仅降低了系统的响应快速性 同时也增大了系统的稳态误差 降低了控制准确性 所以 要想更好改善系统性能 不能仅仅依靠改变特征参数 必须采用其他的控制方法 开环增益 开环传递函数 闭环传递函数 阻尼比增大 增加一个闭环零点 比例 微分控制和测速反馈控制是两种常用的改善系统性能的方法 控制器 自然频率不变 附加零点对欠阻尼二阶系统的影响 附加零点对过阻尼二阶系统的影响 33 结论 上升时间tr减小 ts可能变大也可能变小 无振荡有超调 结 论 依 旧 1 引入比例 微分控制 使阻尼比增大 从而抑制振荡 使超调减弱 调节时间缩短 改善系统平稳性 且不影响常值稳态误差和系统的自然频率 2 闭环零点的出现 削弱了 阻尼 作用 即加快系统响应速度 使上升时间缩短 峰值时间提前 适当选择微分时间常数 d 可以使系统即有较好的平稳性 又在出现较小超调情况下 提高快速性 3 但是 微分器对于噪声 尤其是高频噪声的放大远远大于对输入信号的放大 因此如果系统噪声较强 不宜采用此控制方法 输出量拉氏变换 输出响应为 式中 举例 PD控制下 单位阶跃信号的输出响应分析 超调量 调节时间ts 令为实际响应与稳态输出之间的差 则下式成立 部分性能指标 输出响应 取误差带由上式解得 例3 11分子分母同阶的二阶系统 单位阶跃响应 增加零点 削弱阻尼 超调变大 上升时间变短 但调节时间不一定短 你会求它们的初始斜率吗 闭环传递函数 开环增益 2 测速反馈控制将输出量的速度信号反馈到输入端 与误差信号E s 比较 产生新的偏差信号 可以增大系统的有效阻尼比 改善系统的动态性能 加入控制器之后的系统开环传递函数为 式中为新的阻尼比 控制器 与比例 微分控制一样 测速反馈控制也增大阻尼比 减小超调量 并且没有附加闭合零点影响 两种控制加入后效果比较如下 1 比例 微分控制不改变原系统的开环增益K 测速 反馈控制改变开环增益K 原系统开环增益为 2 均不改变自然频率 且增大了阻尼比分别为 3 比例 微分控制提供一个实零点 在相同的阻尼比时 超调量大于速度反馈控制 4 比例 微分控制对输入噪声有放大作用 如果输入端的高频噪音严重时 不宜选用此方法 测速反馈控制无需设置放大器 适合任何输出可测的控制系统 Kt Td 新的开环增益K 例3 10分析 1 该系统能否正常工作 2 要求 0 707 系统如何改进 等幅不衰减振荡 工作不正常 如果附加比例微分控制 效果如何 3 3 8初始条件不为零的二阶系统响应 线性定常二阶系统的微分方程 初始值不为零 则 拉氏反变换 求上式的拉氏变换 考虑初始条件 令 若 0 幅值和相位与初始条件有关 3 4高阶系统的时域分析 三阶系统的暂态响应分析 高阶系统的单位阶跃响应 难点 闭环主导极点 三阶系统的传递函数 极点 一阶因子引起的非周期指数衰减 二阶因子引起的阻尼振荡衰减 输出响应 其中 1 呈一阶系统特性 s3距虚轴近 s1 s2距虚轴远 特性主要取决于s3 2 附加一个实数极点 1 T 0 原二阶系统单位阶跃响应性能指标 超调量 上升时间 峰值时间 附加闭环极点对系统的影响 3 4 1高阶系统的阶跃响应 分解成因式 输入为单位阶跃函数时 输出为 q个实数极点 r对共轭复数极点 q 2r n 是复数极点处的留数有关的常系数 若闭环极点都位于S平面左侧 t 时 指数项和阻尼正弦 余弦项为零 稳态输出为 3 4 2闭环主导极点 对输出响应起主导作用的闭环极点称为闭环主导极点 距虚轴较近 周围没有其它极点和零点的极点为闭环主导极点 而且其实部比其他极点的实部小5倍以上 闭环主导极点主要影响系统响应的变化过程 设高阶系统的主导极点 拉氏反变换 得 与前述欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应不完全相同 基于一对复数主导极点的高阶系统单位阶跃响应近似表达式 考虑了闭环零点和非主导极点的影响 3 4 3高阶系统性能指标估算 1 峰值时间tp 对输出式求导 并令其为零 得 式中 利用闭环主导极点的概念 近似求系统的性能指标 已知 因为 2 超调量 依定义得 因为 得 s1 s2为共轭极点 有 由于 式中 P是闭环非主导极点修正系数 Q是闭环零点修正系数 从上式知 闭环零点靠近虚轴 使 Q值加大 阻尼减小 超调量增加 闭环非主导极点距虚较近 使P值减小 阻尼增大 超调量减小 若 系统为过阻尼 该成为闭环主导极点 若P Q 1 与典型二阶系统中的超调量相同 3 调节时间ts 有 已知 包络线概念 上节内容回顾 改善二阶系统动态性能的措施 方法一 比例 微分控制 提前控制 1 闭环传递函数 2 特点 阻尼比闭环零点微分环节 TdS 1 TdS 上节内容回顾 引入比例 微分控制 阻尼比增加 从而抑制振荡 使超调减弱 调节时间缩短 改善系统平稳性 且不影响常值稳态误差和系统的自然频率 闭环零点的出现 有削弱 阻尼 作用 即加快系统响应速度 使上升时间缩短 峰值提前 适当选择微分时间常数 d 使系统即有较好的平稳性 又在出现较小超调情况下 提高系统的快速性 但是 微分器对于噪声 尤其是高频噪声的放大作用远远大于对输入信号的放大 因此如果系统噪声较强 不宜采用此控制方法 上节内容回顾 附加闭环零点的影响 超调量 上升时间 峰值时间 上节内容回顾 改善二阶系统动态性能的措施 方法二 1 闭环传递函数 2 特点 增加阻尼 测速反馈控制 阻尼比闭环零点开环增益 上节内容回顾 附加闭环极点对系统的影响 超调量 上升时间 峰值时间 本节课程重点内容 判断线性系统稳定的代数判据 代数判据中表征线性系统稳定的充分必要条件 3 5线性系统的稳定性分析 稳定是控制系统正常工作的首要条件 控制系统在实际运行过程中 不可避免会受到外界和内部一些因素的扰动 如果系统不稳定 就会在扰动作用下偏离原来的平衡状态 分析 判定系统的稳定性 并提出确保系统稳定的条件是自动控制理论的基本任务之一 3 5 1稳定性概念及定义 在初始扰动作用下 系统偏离了原来的平衡状态 当扰动消失后 系统能够以足够的准确度恢复到原来的平衡状态 则系统是稳定的 否则 系统不稳定 线性系统的稳定性由系统的结构和参数决定 与初始条件及外界条件无关 3 5线性系统的稳定性分析 不论扰动引起的初始偏差有多大 扰动消除后 系统都能够恢复到原有的平衡状态是大范围稳定 大范围稳定 线性系统 大范围稳定 必然小范围稳定 经典控制理论中 临界稳定视为不稳定 扰动消失后 输出不能回到原平衡状态 系统不稳定 图示用曲线表示稳定性的概念和定义 注意 仅适用于线性定常系统 3 5 2线性系统稳定的充要条件 稳定的条件 若 若 非零常数 系统初始条件为零时 受到 t 的作用 输出为单位脉冲响应 这相当于系统在扰动作用下 输出信号偏离平衡点的问题 当t 时 若 渐近 稳定 系统不稳定 临界稳定 设n阶系统表达式为 系统稳定性与零点无关 系统稳定的充分必要条件 代数判据可以省略高阶系统求征特根带来的麻烦 常用的代数判据有劳斯判据 赫尔维茨判据 3 5 3线性系统的代数判据 设系统的特征方程为 劳斯阵列 劳斯表 线性系统稳定的充要条件 劳思阵列中第一列元素严格为正 第一列符号改变的次数等于特征方程正实部根的个数 设系统特征方程为 s6 2s5 3s4 4s3 5s2 6s 7 0 劳斯表 6 4 2 1 1 10 6 2 2 2 7 1 0 6 14 1 8 8 1 劳斯稳定判据 劳斯表举例 劳斯表特点 1右移一位降两阶 2行列式第一列不动第二列右移 3次对角线减主对角线 4分母总是上一行第一个元素 6一行可同乘以或同除以某正数 14 0 2 7 例3 12特征方程为s4 2s3 3s2 4s 5 0 用劳斯稳定判据 判别系统稳定性 解 劳斯表 符号改变一次 符号又改变一次 结论 第一列元素符号改变两次 在s右半平面有两个根 即闭环系统有两个正极点 因此系统不稳定性 动画 系统稳定的必要条件 有正有负一定不稳定 缺项一定不稳定 系统稳定的充分条件 劳斯表第一列元素不变号 若变号 系统不稳定 变号的次数为特征根在s右半平面的个数 全 0或全 0 劳斯 routh 判据小结 D s s4 3s3 s2 3s 1 0 特殊情况1 第一列某行出现0元素 某行的第一列项为0 其余各项不为0或不全为0 用 s a 因子乘原特征方程 a为任意正实数 或用很小的正数 代替零元素 劳斯表 第一列为零 方法 s 3 乘原式 得D s s5 6s4 10s3 6s2 10s 3 0 代替了 3 3 方法 不稳定 劳斯表出现全零行 设系统特征方程为 s4 5s3 7s2 5s 6 0 劳斯表 5 1 7 5 6 6 6 0 1劳斯表何时会出现零行 2出现零行怎么办 3如何求对称的根 6s2 6 0 然后对其求导得零行系数 12s1 继续计算劳斯表 6 第一列全大于零 所以系统稳定 错啦 这是零行 由综合除法或比较系数法可得另两个根s3 4 2 3 注意 纯虚根为重根时 系统不再等幅振荡 而是振荡发散 特殊情况2 劳斯阵列出现全零行的原因 系统在s平面有对称分布的根 劳斯判据的应用 例3 13已知特征方程 s4 30s3 200s2 ks kz 0 求产生纯虚根为 j的k值和z值 解 30 1 200 k kz 6000 k 30kz 6000 k s2 30kz 0 有纯虚根 劳斯表一定有全零行 6000k k2 900kz 6000k k2 900kz 0 辅助方程 全零行的上两行一定成比例 否则相乘再求差值的结果不会为零 所以有 30s2 k 0 k 30 30s2 k 0 纯虚根带入辅助方程可得 本次课后作业 4 3 12 2 4 3 13 自动控制原理 上节课程内容回顾 一 稳定性的概念 大 小范围稳定 临界稳定 二 稳定的充要条件 三 稳定判据 1 劳斯判据 2 劳斯判据特殊情况的处理 3 劳斯判据的应用 判定系统稳定性 确定稳定的参数范围 系统闭环特征方程的所有根全部具有负实部或者所有闭环特征根均位于s左半平面 上节课程内容回顾 2 构造辅助方程的次数通常为偶数 表明大小相等 符号相反的根数 1 系统中存在对称于坐标原点的极点时 劳斯表中会出现全零行 3 出现全零行表明系统临界稳定或者不稳定 4 全零行被新数值代替后的新劳斯表 第一列如果不变号 说明系统无正实部根 求解辅助方程可以得到纯虚根 第一列如果变号 变号次数为系统正实部根的个数 例3 14负反馈系统的开环传递函数 1 求系统稳定K1的取值范围 2 要求闭环极点全部位于s 1垂线之左 求K1的取值范围 解 1 系统闭环传递函数为 K1取值范围是 K1 例3 14负反馈系统的开环传递函数 1 求系统稳定K1的取值范围 2 要求闭环极点全部位于s 1垂线之左 求K1的取值范围 解 2 令z s 1 0 则有s z 1 代入原特征方程可得新坐标系下z的特征方程 D z z3 27z2 6443z 6500K1 6471 0 K1取值范围是 练习 系统的特征方程为 1 判断系统的稳定性 2 如果S右半平面内有根 求根的个数 3 如果有虚根 求出虚根 本次课程内容重点 1 计算稳态误差的三种方法2 利用静态误差系数法求稳态误差 3 6线性系统的稳态误差 控制系统的稳态误差是系统控制准确度 控制精度 的一种度量 通常称为稳态性能 在设计中 稳态误差是一项重要的技术指标 以系统稳定为基本前提 通常情况下 稳态误差不可避免 只能尽量减小达到某一容许值 E s R s B s B s H s C s 3 6 1误差定义的两种方式 按输入端定义 实际中可测量 具有物理意义 按输出端定义 实际中不可测量 只有数学意义 单位反馈时两种定义相同 E s C希 s C实 s R s C实 s 输入端定义 输出端定义 误差E s R s C s 总误差怎么求 公式 2 的使用条件 满足sE s 在s右半平面及虚轴上解析的条件 即sE s 的极点均位于s左半平面 当sE s 在坐标原点有极点时 虽不满足虚轴上解析的条件 但使用结果与实际结果一致 此时仍可套用公式 3 6 2计算误差的方法 两种 1 2 例3 15单位负反馈系统开环传递函数为G s 1 TS 输入分别为 1 r t t 2 r t t2 2 3 r t sin t 求稳态误差 解 误差闭环传递函数 2 3 使用终值定理将得出错误结论 1 不符合应用条件 符合终值定理应用条件 符合终值定理应用条件 使用终值定理要注意应用条件 G0H0 注意 s 0时 G0H0一定 1 s 表示开环有 个极点在坐标原点 0 称为0型系统 或有差系统 称为 型系统 称为 型系统 称为 型系统 1 2 3 提个醒 3 6 3系统型别 此时的k为开环增益 因为 则当时 则稳态误差公式可化为 系统的型别 开环增益 输入信号的形式决定稳态误差的数值 1 阶跃输入的稳态误差及静态位置误差系数 稳态误差 位置误差 静态位置误差系数 2 斜坡输入的稳态误差及静态速度误差系数 稳态误差 速度误差 静态速度误差系数 3 加速度输入的稳态误差及静态加速度误差系数 稳态误差 加速度误差 静态加速度误差系数 典型输入信号下利用静态误差系数法求稳态误差 H s R s E s C s R s R s r t R 1 t r t R t R s R s2 r t Rt2 2 R s R s3 型 0型 型 0 0 0 Kp Kv Ka k k k 0 0 0 1 什么时候可以直接套用表格 2 表中误差为无穷大时系统稳定吗 线性系统满足叠加原理 因此当输入信号是多种典型输入信号的组合时 可根据线性叠加原理求稳态误差 注意 静态误差系数法只适用于三种典型输入信号作用下的稳态误差计算 且无法描述误差随时间变化的全过程 对于任意形式输入作用下的稳态误差 可用动态误差系数描述 例如 当时 总的稳态误差为 定量描述了系统跟踪不同输入信号的能力 当输出希望值 容许的稳态误差及输入信号的形式已知时 就可以根据静态误差系数来选择系统型别及开环增益数值了 动态误差系数还可以测查误差随时间的变化过程 因实用性不大 在此不予讨论 例3 16系统输入r t t t2 2 1 t 求0型 型 型系统的稳态误差 解 利用叠加原理 得系统的稳态误差 例3 17 1 如图A所示 特征根区域位于s 2的左侧 且阻尼比不小于0 5 求特征根区域内的K T取值范围及跟踪单位斜坡输入时的稳态误差 1 特征根分布范围如图示 得 依题意 0 5 得 特征方程D s Ts2 s K 0 系统稳定的条件 T 0 K 0 特征根 得 K 1 T 0 T 1 4 ess 1 K 解 结果 综合可得 解 误差信号为e t r t c t 根据误差定义 可知误差传递函数为 注 图中未标出误差信号的位置 因此不满足使用静态误差系数的条件 只能利用定义求ess 2 如图B所示 通过一个比例 微分环节 使稳态误差为零 求Kc值 例3 18已知单位负反馈系统开环传函为G s 输入信号为r t 试求ess G3 s G2 s G1 s r1 t 1 t r2 t t r3 t t2 0型 型 型 k 10 k 21 8 k 8 ess 1 11 ess 8 21 ess 1 8 因为 系统2不稳定 系统3的 2 ess ess 1 4 1 求一个系统的稳态误差之前 先判断系统稳定性 如果系统稳定 存在稳态误差 否则 稳态误差为无穷大 2 如果使用静态误差系数法 必须满足使用条件 上节课程内容回顾 稳态误差 指系统的稳态性能指标 是对系统控制精度的度量 对于稳定的系统研究稳态误差才有意义 所以计算稳态误差应以系统稳定为前提 通常把在阶跃输入信号作用下 没有原理性稳态误差的系统称为无差系统 而把有原理性稳态误差的系统称为有