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数形结合思想 专题研究 高三总复习 数形结合思想应用 一 利用函数图象性质解题 二 利用曲线方程图象的性质解题 三 利用几何图形的性质解题 一 利用函数图象性质解题 y x2 y 2x y log2x 1 1 x 0 3 C 解析 如图作出下列三个函数图象 y x2 y 2x y log2x 由比较三个函数图象与直线x 0 3的交点的位置关系可得结论 y 2 x y x2 1 C 一 利用函数图象性质解题 例2方程2 x x2 的实数解的个数为 解析 求原方程的解的个数等价于求两线交点的个数 如图所示 两线交于两点A B所以原方程解的个数为2个 例3若方程lg kx 2lg x 1 只有一个实数解 求常数k的取值范围 x y O 1 y x 1 2 x 1 y kx y 0 y kx y 0 一 利用函数图象性质解题 k k 4或k 0 解析 方程lg kx 2lg x 1 的解等价于两线交点 显然当直线y kx y 0 介于切线于直线y kx y 0 之间时 两线只有一个交点 当直线处于切线位置时 k 4 由上述方程组可得 所以 的取值范围为k 4或k 0 如图 二 利用曲线方程图象的性质解题 解 上述不等式等价于 由图可知 解出交点A的横标 x0 则上述不等式的解集为 如图 已知 是方程x log 4的实根 是方程2x x 4的实根 那么 y x A B 二 利用曲线方程图象的性质解题 例2设P x0 y0 是椭圆上任一点 F2为椭圆的右 三 利用几何图形的性质解题 P F1 解 如图 取PF2中点M 连OM F1P 分析 欲证两圆内切 只证两圆心距等于半径差即可 所以两圆相切 焦点 求证分别以 PF2 及椭圆长轴为直径的两圆必内切 F2 三 利用几何图形的性质解题 x2 2py B 1 E A 1 B F A 4 3 2 1 证明 如图 FB B1B 连A1F B1F 由抛物线的定义得 1 2 3 4 FA A1A A B 1800 又 A 1800 2 2 B 1800 2 4 A B 3600 2 2 4 1800 2 4 900 A1FB1 900 A1F B1F 求证 A1F B1F 练习 1 点P x y 在直线x y 4 0上 O为原点 则OP的最小值是 分析 OP的几何意义是原点 0 0 到直线x y 4 0上的点P的距离 所以 OP的最小值即为原点 0 0 到直线x y 4 0的距离d 2 2 函数f x x3 设x0 0 1 则有f x0 f 1 xo 比较大小 分析 因为f x x3 故应填 x 0 1 所以f 1 x 如图 3 已知方程 x2 4x 3 k 0有4个根 则实数k的取值范围是 分析 画出y x2 4x 3 图象如下图 可知当0 k 1时有四个根 课堂小结 一 利用函数图象性质解题 二 利用曲线方程图象的性质解题 三 利用几何图形的性质解题 本节主要讨论了利用数形结合思想来解决一些抽象数学问题的题型和方法
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