高考立体几何

立体几何三垂线定理 木子德舟提供 复习目标 三垂线定理是反映三种垂直之间关系定理 要求熟练掌握三垂线定理及逆定理 并据此能够进行推理 论证和解决有关问题 一 引例 如图 已知PA 平面ABC ABC 90 求证 BC PB 思考 1 证明线线垂直的方法有哪些 2 三垂线定理及其逆定理的主要内容 证明 PA 平面ABC BC在平面ABC内 PA BC 又 ABC 90 BC AB BC 平面PAB PB在平面PAB内 BC PB 线线垂直的方法 1 a b在内 则a b 2 a b m b 则a m 3 三垂线定理及其逆定理 三垂线定理 在平面内的一条直线 如果和这个平面的一条斜线的射影垂直 那么它也和这条斜线垂直 三垂线逆定理 在平面内的一条直线 如果和这个平面内的一条斜线垂直 那么它也和这条斜线的射影垂直 三垂线定理包含几种垂直关系 线射垂直 线面垂直 线斜垂直 直线和平面垂直 平面内的直线和平面一条斜线的射影垂直 平面内的直线和平面的一条斜线垂直 线射垂直 线斜垂直 平面内的一条直线和平面的一条斜线在平面内的射影垂直 平面内的一条直线和平面的一条斜线垂直 三垂线定理和其逆定理 三垂线定理的逆定理在平面内的一条直线 如果和这个平面的一条斜线垂直 那么 它也和这条斜线的射影垂直 三垂线定理 在平面内的一条直线 如果和这个平面的一条斜线的射影垂直 那么 它就和这条斜线垂直 定理 逆定理 二 定理内容阐述 1 三垂线定理包括5个要素 一面 垂面 四线 斜线 垂线 射影和平面内的直线 顺口溜 一定平面 二定垂线 三找斜线 射影可见 直线随便 2 三垂线 的含义 1 垂线与平面垂直 2 射影与平面内的直线垂直 3 斜线与平面内的直线垂直 三 巩固性练习 1 若一条直线与平面的一条斜线在此平面上的射影垂直 则这条直线与斜线的位置关系是 A 垂直 B 异面 C 相交 D 不能确定 2 在一个四面体中 如果它有一个面是直角三角形 那么它的另外三个面 A 至多只能有一个直角三角形 B 至多只能有两个直角三角形 C 可能都是直角三角形 D 一定都不是直角三角形 D C 四 例题分析 例1 如图所示 已知PA 平面ABC ACB 90 AQ PC AR PB 试证 PBC PQR为直角三角形 证明 PA 平面ABC ACB 90 AC BC AC是斜线PC在平面ABC的射影 BC PC 三垂线定理 PBC是直角三角形 BC 平面PAC AQ在平面PAC内 BC AQ 又PC AQ AQ 平面PBC QR是AR在平面PBC的射影 又AR PB QR PB 三垂线逆定理 PQR是直角三角形 小结 凡是能够使用三垂线定理或逆定理证明的结论 都能由线面垂直的性质来证明 而我们的目标应该是能够熟悉这两个定理的直接应用 例题2 空间四边形ABCD中 AB垂直于CD BC垂直于AD 求证 AC BD 证明 如图 若AB是平面BCD的斜线 过A作AO 平面BCD于O 连结BO AB CD CD BO 三垂线逆定理 同理可得BC OD 则O为 BCD的垂心 BD OC OC是AC的射影 BD AC 三垂线定理 若AB 平面BCD 垂线即是AB 由条件BC AD 则BC BD 三垂线逆定理 而BC是AC的射影 BD AC 三垂线定理 小结 运用三垂线定理及逆定理 必然要涉及平面的斜线 此题的讨论是必要的 例题3 如图示 已知DB EC都垂直于正三角ABC所在的平面 且BC EC 2DB 求平面ADE与平面ABC所成二面角的平面角 F 解 延长ED BC交于F 连AF 则AF为二面角的棱 由已知DB EC都垂直正三角ABC DB EC 又BC EC 2DB FB BC AB FAC为Rt 且FA AC 而EC 平面ABC AF AE 三垂线定理 于是 EAC为平面ABC与平面ADE的平面角 又EC AC EAC 45 二面角的平面角为45 思考 本题还可以用什么方法求二面角的平面角 用 小结 求二面角往往是作出二面角的平面角 先确定二面角的棱 再设法过棱上一点在二面角的二个半平面上做棱的两条垂线以找到平面角 从而转化为平面问题来解决 作二面角的平面角的方法有 1 定义法 2 三垂线定理法 3 作垂面法 此外射影面积定理也是求二面角大小的一种常用方法 学习空间向量之后 我们还有另外的方法来求二面角 例如法向量法等 例题4 直角三角形ABC中 B 90 C 30 D是BC的中点 AC 2 DE 平面ABC且DE 1 求E到斜线AC的距离 解 过点D作DF AC于F 连结EF DE 平面ABC 由三垂线定理知EF AC 即E到斜线AC的距离为EF 在Rt ABC中 B 90 C 30 AC 2 BC DF AC 在Rt EDF中为所求 小结 求点到直线的距离 常运用三垂线定理 或逆定理 把垂线段作出 按 一作 二证 三计算 的步骤求解 方法规律 三垂线定理及其逆定理的应用 1 证明两条异面直线垂直 2 确定二面角的平面角 3 确定点到直线的垂线段 运用定理时要习惯非常规位置图形上的应用 不能只习惯于水平放置的平面上运用 能力拓展 1 如图所示 已知直三棱柱ABC DEF中 ACB 90 BAC 30 BC 1 M是CF的中点 求证AE DM 证明 连结AF Rt AFC Rt MDF AFC MDF DMF AFC DMF MDF 90 DM AF 又ABC DEF为直三棱柱 CF EF 又EF DF EF 平面AF 由三垂线定理知AE DM 能力拓展 2 过Rt BPC的直角顶点P作线段PA 平面BPC 求证 ABC的垂心H是P点在平面ABC内的射影 证明 H是 ABC的垂心 连结AH延长交BC于D 连结BH延长交AC于E AD BC BE AC AP 平面PBC BC PD AD PD D BC 平面ADP BC PH 又AP 面PBC AP PB 由已知BP PC PB 面APC 又BE AC PE AC AC 面PBE PH AC AC BC C PH 面ABC H是P点在平面ABC的射影 1 直接利用三垂线定理证明下列各题 1 PA 正方形ABCD所在平面 O为对角线BD的中点求证 PO BD PC BD 3 在正方体AC1中 求证 A1C B1D1 A1C BC1 2 已知 PA 平面PBC PB PC M是BC的中点 求证 BC AM 1 2 3 1 PA 正方形ABCD所在平面 O为对角线BD的中点 求证 PO BD PC BD 证明 ABCD为正方形O为BD的中点 AO BD 又AO是PO在ABCD上的射影 PO BD 2 已知 PA 平面PBC PB PC M是BC的中点 求证 BC AM BC AM 证明 PB PCM是BC的中点 PM BC PA 平面PBC PM是AM在平面PBC上的射影 3 在正方体AC1中 求证 A1C BC1 A1C B1D1 在正方体AC1中A1B1 面BCC1B1且BC1 B1C B1C是A1C在面BCC1B1上的射影 证明 同理可证 A1C B1D1 由三垂线定理知A1C BC1 面ABCD 面 直线A1C 斜线a直线B1B 垂线b 面ABCD 面 面B1BCC1 面 直线A1C 斜线a直线AB 垂线b 面ABCD 面 直线A1C 斜线a直线B1B 垂线b 已知 BAC在平面 内 点P PE AB PF AC PO 垂足分别是E F O PE PF求证 BAO CAO 分析 要证 BAO CAO只须证OE OF OE AB OF AC P 证明 PO OE OF是PE PF在 内的射影 PE PF OE OF 由OE是PE的射影且PE AB OE AB 同理可得OF AC 结论成立 3 如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等 那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上 4 在四面体ABCD中 已知AB CD AC BD求证 AD BC DO BC 于是AD BC 证明 作AO 平面BCD于点O 连接BO CO DO 则BO CO DO分别为AB AC AD在平面BCD上的射影 O AB CD BO CD 同理CO BD 于是O是 BCD的垂心 1 在正方体AC1中 E G分别是AA1和CC1的中点 F在AB上 且C1E EF 则EF与GD所成的角的大小为 A 30 B 45 C 60 D 90 D