抽象函数单调性及奇偶性练习及答案

1 已知的定义域为 R 且对任意实数 x y 满足 求 证 是偶函数 2 已知 f x 是定义在 上的不恒为零的函数 且对定义域内的任意 x y f x 都满足 f xy yf x xf y 1 求 f 1 f 1 的值 2 判断 f x 的奇偶性 并说明理由 3 函数 f x 对任意 x y R 总有 f x f y f x y 且当 x 0 时 0 f 3 2 1 判断并证明 f x 在区间 上的单调性 2 求 f x 在 3 3 上的最大值和最小值 4 已知函数f x 在 1 1 上有定义 f 1 当且仅当 0 x 1 时f x 0 时 f x 1 且对任意的 a b R 有 f a b f a f b 1 求证 f 0 1 2 求证 对任意的 x R 恒有 f x 0 3 证明 f x 是 R 上的增函数 4 若 f x f 2x x2 1 求 x 的取值范围 7 已知函数的定义域为 R 对任意实数都有 且 f x m n 1 2 f mnf mf n 1 0 2 f 当时 0 1 2 x f x 1 求 1 f 2 判断函数的单调性 并证明 f x 8 函数的定义域为 R 并满足以下条件 对任意 有 0 对任 f xxR f x 意 有 x yR yf xyf x 1 1 3 f 1 求的值 0 f 2 求证 在 R 上是单调减函数 f x 9 已知函数的定义域为 R 对任意实数都有 且 f x m n f mnf mf n 当时 0 x 0 1f x 1 证明 0 1 0fx 且时 f x 1 2 证明 在 R 上单调递减 f x 10 函数对于 x 0 有意义 且满足条件 f x 减函数 2 1 ff xyf xf yf x 是 1 证明 1 0f 2 若成立 求 x 的取值范围 3 2f xf x 11 定义在 R 上的函数 y f x f 0 0 当 x 0 时 f x 1 且对任意的 a b R 有 f a b f a f b 3 求证 f 0 1 4 求证 对任意的 x R 恒有 f x 0 3 证明 f x 是 R 上的增函数 4 若 f x f 2x x2 1 求 x 的取值范围 12 已知函数 f x g x在 R 上有定义 对任意的 x yR 有 f xyf x g yg x f y 且 1 0f 1 求证 f x为奇函数 2 若 1 2 ff 求 1 1 gg 的值 13 已知函数对任意实数恒有且当 x 0 xfyx yfxfyxf 2 1 0 fxf又又 1 判断的奇偶性 xf 2 求在区间 3 3 上的最大值 xf 3 解关于的不等式x 4 2 2 axfxfaxf 14 定义在 R 上的函数f x 对任意实数a b都有 f a b f a b 2 f a f b 成立 且 f 00 1 求f 0 的值 2 试判断f x 的奇偶性 15 已知定义在上的函数满足 R f x 1 值域为 且当时 1 1 0 x 10f x 2 对于定义域内任意的实数 均满足 1 f mf n f mn f m f n x y 试回答下列问题 试求的值 0f 判断并证明函数 f x的单调性 16 定义域为R的函数f x 满足 对于任意的实数x y都有f x y f x f y 成 立 且当x 0时f x 0恒成立 1 判断函数f x 的奇偶性 并证明你的结论 2 证明f x 为减函数 若函数f x 在 3 3 上总有f x 6成立 试确定f 1 应 满足的条件 0a n a f xa f n 1 x f ax f n 1 x 3 22 是一个给定的自然数的不等式解关于 参考答案参考答案 1 分析 在中 令 得 令 得于是 故是偶函数 2 解析 1 f x 对任意 x y 都有 f xy yf x xf y 令 x y 1 有 f 1 1 1 f 1 1 f 1 f 1 0 令 x y 1 有 f 1 1 1 f 1 1 f 1 f 1 0 2 f x 对任意 x y 都有 f xy yf x xf y 令 y 1 有 f x f x xf 1 将 f 1 0 代入 得 f x f x 函数 f x 是 上的奇函数 3 解析 1 令 x y 0 f 0 0 令 x y 可得 f x f x 设 x1 x2 且 x1 x2 则 f x1 f x2 f x1 f x2 f x1 x2 x1 x2 x1 x2 0 又 x 0 时 f x 0 f x1 x2 0 即 f x1 f x2 0 由定义可知 f x 在区间 上为单调递减函数 2 f x 在区间 上是减函数 f x 在 3 3 上也是减函数 f 3 最大 f 3 最小 f 3 f 3 2 即 f x 在 3 3 上最大值为 2 最小值为 2 4 思路分析 对于 1 获得f 0 的值进而取x y是解题关键 对于 2 判定的范围是焦点 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 21 12 1xx xx 证明 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 1 由 f x f y f 可令x y 0 得f 0 0 xy yx 1 令y x 得f x f x f f 0 0 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 f x f x 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 2 1x xx f x 为奇函数 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 2 先证f x 在 0 1 上单调递减 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 令 0 x1 x2 1 则f x2 f x1 f x2 f x1 f 21 12 1xx xx 0 x1 x20 1 x1x2 0 0 12 12 1xx xx 又 x2 x1 1 x2x1 x2 1 x1 1 0 x2 x1 1 x2x1 0 1 由题意知f 0 即 f x2 0 时 f x 1 0 当 x0 f x 0 0 1 xf xf又 x 0 时 f 0 1 0 对任意 x R f x 0 3 任取 x2 x1 则 f x2 0 f x1 0 x2 x1 0 1 1212 1 2 xxfxfxf xf xf f x2 f x1 f x 在 R 上是增函数 4 f x f 2x x2 f x 2x x2 f x2 3x 又 1 f 0 f x 在 R 上递增 由 f 3x x2 f 0 得 3x x2 0 0 x0 令xR f x0 2xy 得 2 0 0 0 1fff 2 任取任取 则令 故 1212 x xRxx 且 1122 11 33 xp xp 12 pp 函数的定义域为 R 并满足以下条件 对任意 有 0 对 f xxR f x 任意 有 x yR yf xyf x 1 1 3 f 12 1212 1111 3333 pp f xf xfpfpff 0 12 f xf x 函数是 R 上的单调减函数 f x 9 解 1 证明 令 则0 1mn 0 1 0 1 fff 当时 故 0 x 0 1f x 1 0f 0 1f 当 时 0 x 0 1f x 当时 则0 x 0 x 0 1 1 f fxxfxf xf x fxfx 2 证明 任取 则 1212 x xRxx 且 2121112111 f xf xfxxxf xf xxf xf x 211 1 f xxf x 0 故0 时 f x 1 0 当 x0 f x 0 0 1 xf xf又 x 0 时 f 0 1 0 对任意 x R f x 0 3 任取 x2 x1 则 f x2 0 f x1 0 x2 x1 0 1 1212 1 2 xxfxfxf xf xf f x2 f x1 f x 在 R 上是增函数 4 f x f 2x x2 f x 2x x2 f x2 3x 又 1 f 0 f x 在 R 上递增 由 f 3x x2 f 0 得 3x x2 0 0 x2 时 1 2 x a xxx或或 14 解 解 1 令a b 0 则f 0 f 0 2 f 0 f 0 所以 2 f 0 f 0 1 0 又因为 所以f 0 1f 00 2 令a 0 b x 则f x f x 2 f 0 f x 由f 0 1 可得f x f x 所以f x 是 R 上的偶函数 15 解 在中 令 则有 1 f mf n f mn f m f n 0 0mn 即 也即 0 10 f mf f m f m f 100f mf m ff mf 2 010ff m 由于函数的值域为 所以 所以 f x 1 1 2 10f m 00f 函数 f x的单调性必然涉及到 于是 由已知 f xfy 我们可以联想到 是否有 1 f mf n f mn f m f n 1 f mf n f mn f m f n 这个问题实际上是 是否成立 fnf n 为此 我们首先考虑函数的奇偶性 也即的关系 由于 f x fxf x 与 所以 在中 令 得 00f 1 f mf n f mn f m f n nm 所以 函数为奇函数 故 式成立 所以 0f mfm f x 任取 且 则 1f mf nf mnf m f n 12 x xR 12 xx 故且 所以 21 0 xx 21 0f xx 21 1 1f xf x 所以 函数在 R 上单调递 212121 10f xf xf xxf xf x f x 减 16 解 1 由已知对于任意x R y R f x y f x f y 恒成立 令x y 0 得f 0 0 f 0 f 0 f 0 0 令x y 得f x x f x f x 0 对于任意x 都有f x f x f x 是 奇函数 2 设任意x1 x2 R且x1 x2 则x2 x1 0 由已知f x2 x1 0 1 又f x2 x1 f x2 f x1 f x2 f x1 2 由 1 2 得f x1 f x2 根据函数单调性的定义知f x0在 上是 减函数 f x 在 3 3 上的最大值为f 3 要使f x 6恒成立 当且仅当f 3 6 又 f 3 f 3 f 2 1 f 2 f 1 f 1 f 1 f 1 3 f 1 f 1 2 3 f ax2 f x f a2x f a n 1 n 1 f ax2 f a2x