2015届高考数学二轮复习专题检测：计数原理与概率概率(含解析)

1 2015 届高考数学二轮复习专题检测 计数原理与概率届高考数学二轮复习专题检测 计数原理与概率 概率概率 本试卷分第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 满分 150 分 考试时间 120 分钟 第 卷 选择题 共 50 分 一 选择题 本大题共 10 个小题 每小题 5 分 共 50 分 在每小题给出的四个选项中 只有 一项是符合题目要求的 1 1 2 9 中任取两数 其中 恰有一个偶数和恰有一个奇数 至少有一个是奇数和两个数都是奇数 至少有一个奇 数和两个数都是偶数 至少有一个奇数和至少有一个偶数 在上述事件中 是对立事件的是 A B C D 答案 C 解析 从 1 2 9 中任取 2 个数字包括一奇一偶 二奇 二偶共有三种互斥事件 所以 只有 中的两个事件才是对立的 2 一只蚂蚁在如图所示的地板砖 除颜色不同外 其余全部相同 上爬来 爬去 它最后随意停留在黑色地板上的概率是 A B 1 3 2 3 C D 1 4 1 8 答案 A 解析 由几何概型的概率公式可得 P 4 12 1 3 3 文 一副扑克牌除去大 小王两张扑克后还剩 52 张 从中任意摸一张 摸到红心的概率 为 A B 1 2 1 4 C D 1 12 1 52 答案 B 解析 所有基本事件总数为 52 事件 摸到一张红心 包含的基本事件数为 13 则摸到红心 的概率为 13 52 1 4 理 将 5 名学生分到 A B C 三个宿舍 每个宿舍至少 1 人至多 2 人 其中学生甲不到 A 宿 舍的不同分法有 A 18 种B 36 种 C 48 种 D 60 种 2 答案 D 解析 当甲一人住一个寝室时有 C C 12 种 1 22 4 当甲和另一人住一起时有 C C C A 48 1 21 42 32 2 所以有 12 48 60 种 4 文 现釆用随机模拟的方法估计某运动员射击 4 次 至少击中 3 次的概率 先由计算器给 出 0 到 9 之间取整数值的随机数 指定 0 1 表示没有击中目标 2 3 4 5 6 7 8 9 表示击中目标 以 4 个随机数为一组 代表射击 4 次的结果 经随机模拟产生了 20 组随机 数 7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281 根据以上数据估计该射击运动员射击 4 次至少击中 3 次的概率为 A 0 852B 0 8192 C 0 8D 0 75 答案 D 解析 随机模拟产生的 20 组随机数 表示至少击中 3 次的组数为 15 所以概率为 P 0 75 15 20 理 已知随机变量 服从正态分布 N 4 2 若 P 8 0 4 则 P 8 0 4 P 8 0 4 故选 B 5 文 某家庭电话在家中有人时 打进的电话响第 1 声时被接的概率是 响第 2 声时被接 1 10 的概率是 响第 3 声时被接的概率是 响第 4 声时被接的概率是 那么电话在响前 4 3 10 2 5 1 10 声内被接的概率为 A B 1 2 9 10 C D 3 10 4 5 答案 B 解析 P 1 10 3 10 2 5 1 10 9 10 理 2014 四川高考 在 x 1 x 6 的展开式中 含 x3 项的系数为 A 30B 20 C 15D 10 3 答案 C 解析 本题考查了二项式定理和二项展开式的系数 x3 的系数就是 1 x 6 中的第三项即为 C 15 2 6 6 文 设函数 f x x2 x 2 x 5 5 若从区间 5 5 内随机选取一个实数 x0 则所选 取的实数 x0 满足 f x0 0 的概率为 A 0 5B 0 4 C 0 3D 0 2 答案 C 解析 由 f x x2 x 2 0 得 1 x 2 所以从区间 5 5 内随机选取一个实数 x0 则所 选取的实数 x0 满足 f x0 0 的概率为 0 3 3 10 理 某教师一天上 3 个班级的课 每班一节 如果一天共 9 节课 上午 5 节 下午 4 节 并 且教师不能连上 3 节课 第 5 和第 6 节不算连上 那么这位教师一天的课的所有排法有 A 474 种B 77 种 C 464 种D 79 种 答案 A 解析 首先求得不受限制时 从 9 节课中任意安排 3 节 有 A 504 种排法 其中上午连 3 9 排 3 节的有 3A 18 种 下午连排 3 节的有 2A 12 种 则这位教师一天的课的所有排法有 3 33 3 504 18 12 474 种 故选 A 7 文 先后掷两次正方体骰子 骰子的六个面分别标有点数 1 2 3 4 5 6 骰子朝上的 面的点数分别为 m n 则 mn 是奇数的概率是 A B 1 2 1 3 C D 1 4 1 6 答案 C 解析 先后掷两次正方体骰子总共有 36 种可能 要使 mn 是奇数 则 m n 都是奇数 因 此有以下几种可能 1 1 1 3 1 5 3 1 3 3 3 5 5 1 5 3 5 5 共 9 种可 能 因此 P 9 36 1 4 理 2015 武汉期末 若随机变量 的分布列为 2 10123 P0 10 20 20 30 10 1 则当 P x 0 8 时 实数 x 的取值范围是 A x 2B 1 x 2 C 1 x 2D 1 x 2 答案 C 解析 由随机变量 的分布列知 P 1 0 1 P 0 0 3 P 1 0 5 P 2 0 8 则当 P x 0 8 时 实数 x 的取值范围是 1n 的概率是 答案 3 5 解析 基本事件总数为 5 5 25 个 m 2 时 n 1 m 4 时 n 1 3 m 6 时 n 1 3 5 m 8 时 n 1 3 5 7 m 10 时 n 1 3 5 7 9 共 15 个 故 P 15 25 3 5 理 2014 浙江高考 在 8 张奖券中有一 二 三等奖各 1 张 其余 5 张无奖 将这 8 张奖券 分配给 4 个人 每人 2 张 不同的获奖情况有 种 用数字作答 答案 60 解析 本题考查排列组合问题 不同的获奖分两种 一是有一人获两张 一人获一张 共 C A 36 二是三人各获一张 共有 A 24 故共有 60 种 2 3 2 43 4 15 文 在区间 1 1 上随机取一个数 k 则直线 y k x 2 与圆 x2 y2 1 有公共点的概率 为 7 答案 3 3 解析 直线与圆有公共点 1 2k k2 1 k 故所求概率为 P 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 3 3 理 2015 浙江名校联考 甲 乙等 5 名志愿者被随机地分到 A B C D 四个不同的岗位服务 每个岗位至少有一名志愿者 设随机变量 为这 5 名志愿者中参加 A 岗位服务的人数 则 的数学期望为 答案 5 4 解析 根据题意 5 名志愿者被随机分配到 A B C D 四个不同岗位 每个岗位至少一人 共有 C A 240 种 而 1 2 则 P 1 P 2 故 2 5 4 4 C1 5C2 4A3 3 240 180 240 3 4 C2 5A3 3 240 60 240 1 4 E 1 2 3 4 1 4 5 4 三 解答题 本大题共 6 个小题 共 75 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 16 本小题满分 12 分 文 公安部交管局修改后的酒后违法驾驶机动车的行为分成两个档次 酒后驾车 和 醉酒驾车 其判断标准是驾驶人员每 100 毫升血液中的酒精含量 X 毫克 当 20 X 故这种游戏规则不公平 13 25 1 2 理 甲 乙两名同学参加 汉字听写大赛 选拔性测试 在相同的测试条件下 两人 5 次测试的 成绩 单位 分 如下表 第 1 次第 2 次第 3 次第 4 次第 5 次 甲5855769288 乙6582878595 1 请画出甲 乙两人成绩的茎叶图 你认为选派谁参赛更好 说明理由 不用计算 2 若从甲 乙两人 5 次的成绩中各随机抽取一个成绩进行分析 设抽到的两个成绩中 90 分 以上的个数为 X 求随机变量 X 的分布列和期望 EX 解析 1 茎叶图如下图所示 由图可知 乙的平均成绩大于甲的平均成绩 且乙的方差小 于甲的方差 因此选派乙参赛更好 甲乙 5 85 65 67 882 7 5 295 2 随机变量 X 的所有可能取值为 0 1 2 P X 0 C1 4C1 4 C1 5C1 5 16 25 P X 1 2C1 4 C1 5C1 5 8 25 P X 2 1 C1 5C1 5 1 25 随机变量 X 的分布列是 X012 P 16 25 8 25 1 25 EX 0 1 2 16 25 8 25 1 25 2 5 20 本小题满分 13 分 一中食堂有一个面食窗口 假设学生买饭所需的时间互相独立 且都 是整数分钟 对以往学生买饭所需的时间统计结果如下 买饭时间 分 12345 频率0 10 40 30 10 1 从第一个学生开始买饭时计时 理 1 估计第三个学生恰好等待 4 分钟开始买饭的概率 2 X 表示至第 2 分钟末已买完饭的人数 求 X 的分布列及数学期望 文 1 求第 2 分钟末没有人买到晚饭的概率 11 2 估计第三个学生恰好等待 4 分钟开始买饭的概率 解析 理 设 Y 表示学生买饭所需的时间 用频率估计概率 得 y 的分布列如下 Y12345 P0 10 40 30 10 1 1 A 表示事件 第三个学生恰好等待 4 分钟开始买饭 则事件 A 对应三种情形 第一个学生买饭所需的时间为 1 分钟 且第二个学生买饭所需的时间为 3 分钟 第一个 学生买饭所需的时间为 3 分钟 且第二个学生买饭所需的时间为 1 分钟 第一个和第二个 学生买饭所需的时间均为 2 分钟 所以 P A P Y 1 P Y 3 P Y 3 P Y 1 P Y 2 P Y 2 0 1 0 3 0 3 0 1 0 4 0 4 0 22 2 X 所有可能的取值为 0 1 2 X 0 对应第一个学生买饭所需的时间超过 2 分钟 所以 P X 0 P Y 2 0 5 X 1 对应第一个学生买饭所需的时间为 1 分钟且第二个学生买饭所需的时间超过 1 分钟或第 一个学生买饭所需的时间为 2 分钟 所以 P X 1 P Y 1 P Y 1 P Y 2 0 1 0 9 0 4 0 49 X 2 对应两个学生买饭所需时间均为 1 分钟 所以 P X 2 P Y 1 P Y 1 0 1 0 1 0 01 所以 X 的分布列为 X012 P0 50 490 01 EX 0 0 5 1 0 49 2 0 01 0 51 文 1 记 第 2 分钟末没有人买到晚饭 为 A 事件 即是第一个学生买饭所需的时间超过 2 分 钟 所以 P A P Y 2 0 5 2 A 表示事件 第三个学生恰好等待 4 分钟开始买饭 则事件 A 对应三种情形 第一个学生 买饭所需的时间为 1 分钟 且第二个学生买饭所需的时间为 3 分钟 第一个学生买饭所需 的时间为 3 分钟 且第二个学生买饭所需的时间为 1 分钟 第一个和第二个学生买饭所需 的时间均为 2 分钟 所以 P A P Y 1 P Y 3 P Y 3 P Y 1 P Y 2 P Y 2 0 1 0 3 0 3 0 1 0 4 0 4 0 22 21 本小题满分 14 分 文 2014 四川高考 一个盒子里装有三张卡片 分别标记有数字 1 2 3 这三张卡片除标记的数字外完全相同 随机有放回地抽取 3 次 每次抽取 1 张 将抽 取的卡片上的数字依次记为 a b C 1 求 抽取的卡片上的数字满足 a b c 的概率 2 求 抽取的卡片上的数字 a b c 不完全相同 的概率 解析 思路分析 1 先列出所有的抽取情况 共 3 3 3 27 种 只有 1 1 2 1 2 3 2 1 3 共 3 种 求得概率 2 利用对立事件求解 解 1 由题意 a b c 所有的可能为 1 1 1 1 1 2 1 1 3 1 2 1 1 2 2 1 2 3 1 3 1 1 3 2 1 3 3 2 1 1 2 1 2 2 1 3 2 2 1 2 2 2 2 2 3 2 3 1 2 3 2 2 3 3 3 1 1 3 1 2 3 1 3 3 2 1 3 2 2 3 2 3 3 3 1 3 3 2 3 3 3 共 27 种 设 抽取的卡片上的数字满足 a b c 为事件 A 12 则事件 A 包括 1 1 2 1 2 3 2 1 3 共 3 种 所以 P A 3 27 1 9 因此 抽取的卡片上的数字满足 a b c 的概率为 1 9 2 设 抽取的卡片上的数字 a b c 不完全相同 为事件 B 则事件 包括 1 1 1 2 2 2 3 3 3 共 3 种 B 所以 P B 1 P 1 B 3 27 8 9 因此 抽取的卡片上的数字 a b c 不完全相同 的概率为 8 9 理 2014 湖北高考 计划在某水库建一座至多安装 3 台发电机的水电站 过去 50 年的水文资 料显示 水库年入流量 X 年入流量 一年内上游来水与库区降水之和 单位 亿立方米 都在 40 以上 其中 不足 80 的年份有 10 年 不低于 80 且不超过 120 的年份有 35 年 超过 120 的年份有 5 年 将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率 并假设各年的年入流量相 互独立 1 求未来 4 年中 至多有 1 年的年入流量超过 120 的概率 2 水电站希望安装的发电机尽可能运行 但每年发电机最多可运行台数受年入流量 X 限制 并有如下关系 年入流量 X40 X120 发电机最多可运行台数123 若某台发电机运行 则该台年利润为 5000 万元 若某台发电机未运行 则该台年亏损 800 万元 欲使水电站年总利润的均值达到最大 应安装发电机多少台 解析 1 依题意 p1 P 40 X120 0 1 5 50 由二