第一章 电力系统潮流计算1

NorthChinaElectricPowerUniversity DepartmentofElectricalEngineering 吐鲁番2013 7 电力系统分析 目录 一 电力系统潮流计算 二 电力系统状态估计 四 电力系统复杂故障分析 三 电力系统静态安全分析 第一章电力系统潮流计算 一 概述 二 潮流计算问题的数学模型 三 潮流计算的几种基本方法 四 保留非线性潮流算法 五 最小化潮流算法 六 潮流计算中的自动调整 七 最优潮流问题 八 交直流电力系统的潮流计算 九 几种特殊性质的潮流计算问题简介 电力系统潮流计算是研究电力系统稳态运行情况的基本电气计算 电力系统潮流计算的任务是根据给定的网络结构及运行条件 求出电网的运行状态 其中包括各母线的电压 各支路的功率分布以及功率损耗等 一 概述 离线计算 规划设计 运行方式分析 其他计算的配合在线计算 安全监控和安全分析潮流计算是电力系统中应用最为广泛 最基本和最重要的一种电气计算 一 概述 常用的潮流计算方法归纳到数学上属于多元非线性代数方程组的求解问题 一般需采用迭代计算方法进行求解计算 20世纪50年代中期起 电力系统潮流计算的研究就是如何使用电子计算机计算电力系统的潮流问题 一 概述 对于潮流算法 其基本要求可归纳成以下四个方面 1 计算速度 2 计算机内存占用量 3 算法的收敛可靠性 4 程序设计的方便性以及算法扩充移植等的灵活通用性 此外 程序使用的方便性及良好的人 机界面也越来越受到人们的关注 一 概述 本章安排 潮流计算问题的数学模型三种最基本的潮流算法最小化潮流计算自动调整计算功能最优潮流交直流系统的潮流计算特殊用途的潮流计算问题 一 概述 电力系统由发电机 变压器 输配电线路及负荷等组成 进行潮流计算时 发电机和负荷一般可用接在相应节点上的一个电流注入量表示 电力网络中的变压器 线路 电容器 电抗器等元件可用集中参数表示的由线性电阻 电抗构成的等值电路模拟 二 潮流计算问题的数学模型 对这样的线性网络一般采用节点电压法进行分析 节点电压与节点注入电流之间的关系为 或 二 潮流计算问题的数学模型 展开为或 二 潮流计算问题的数学模型 在实际中 已知的节点注入量往往不是节点电流而是节点功率 为此用节点功率代替节点电流 得 1 6 或 1 7 二 潮流计算问题的数学模型 上两式是潮流计算问题的基本方程式 是一个以节点电压为变量的非线性代数方程组 而采用节点功率作为节点注入量是造成方程组呈非线性的根本原因 由于方程组为非线性的 因此必须采用迭代方法进行数值求解 根据对方程组的不同处理方式 形成了不同的潮流算法 二 潮流计算问题的数学模型 对于电力系统中的每个节点 需要P Q U和相角四个变量才能确定其运行状态 n个节点总共有4n个运行变量 而基本方程式只有n个 将实部与虚部分开 则形成2n个实数方程式 仅可解得2n个未知运行变量 必须将另外2n个变量作为已知量而预先给定 也即对每个节点 要给定两个变量为已知条件 而另两个变量作为待求量 二 潮流计算问题的数学模型 根据电力系统的实际运行条件 按照预先给定的变量的不同 电力系统的节点可分成PQ节点 PV节点及平衡节点三种类型 对平衡节点来说 其电压相角一般作为系统电压相角的基准 二 潮流计算问题的数学模型 交流电力系统中的复数电压变量可以用两种坐标形式表示或而复数导纳为 二 潮流计算问题的数学模型 将以上三式代入以导纳矩阵为基础的式 1 6 并将实部与虚部分开 可得到两种形式的潮流方程 二 潮流计算问题的数学模型 直角坐标形式 1 11 1 12 极坐标形式 1 13 1 14 二 潮流计算问题的数学模型 若以p u x分别表示扰动变量 控制变量 状态变量 则潮流方程可以用更简洁的方式表示为 1 15 根据式 1 15 潮流计算的含义就是针对某个扰动变量p 根据给定的控制变量u 求出相应的状态变量x 二 潮流计算问题的数学模型 一高斯 塞德尔法以导纳矩阵为基础 并应用高斯 塞德尔迭代的算法是电力系统应用最早的潮流计算方法 三 潮流计算的几种基本方法 讨论电力系统中除1个平衡节点外 其余都是PQ节点的情况 由式 1 6 可得 1 16 式中 为已知的节点注入有功 无功功率 三 潮流计算的几种基本方法 假定节点l为平衡节点 其给定电压为 平衡节点不参加迭代 于是对应于这种情况的高斯 塞德尔迭代格式为 1 17 上式是该算法最基本的迭代计算公式 其迭代收敛的判据是 三 潮流计算的几种基本方法 本算法的突出优点是原理简单 程序设计容易 导纳矩阵对称且高度稀疏 因此占用内存非常节省 该算法的主要缺点是收敛速度慢 由于各节点电压在数学上松散耦合 所以节点电压向精确值的接近非常缓慢 另外 算法的迭代次数随着网络节点数的增加而上升 因此在用于较大规模电力系统的潮流计算时 速度显得非常缓慢 三 潮流计算的几种基本方法 为提高算法收敛速度 常用的方法是在迭代过程中加入加速因子 即取式中 是通过式 1 17 求得的节点i电压的第k 1次迭代值 是修正后节点i电压的第k 1次迭代值 为加速因子 一般取 三 潮流计算的几种基本方法 对于具有下述所谓病态条件的系统 高斯 塞德尔迭代法往往会发生收敛困难 l 节点间相位角差很大的重负荷系统 2 包含有负电抗支路 如某些三绕组变压器或线路串联电容等 的系统 3 具有较长的辐射形线路的系统 4 长线路与短线路接在同一节点上 而且长短线路的长度比值又很大的系统 此外 选择不同的节点为平衡节点 也会影响到收敛性能 三 潮流计算的几种基本方法 为克服基于节点导纳矩阵的高斯 塞德尔迭代法的这些缺点 20世纪60年代初提出了基于节点阻抗矩阵的高斯 塞德尔迭代法 但在牛顿法潮流出现后 即很少再被便用 目前基于节点导纳矩阵的高斯 塞德尔法主要为牛顿法等对于待求量的迭代初值要求比较高的算法提供初值 一般只需迭代1 2次就可以满足要求 三 潮流计算的几种基本方法 二牛顿 拉夫逊法牛顿 拉夫逊法在数学上是求解非线性代数方程式的有效方法 其要点是把非线性方程式的求解过程变成反复地对相应的线性方程式进行求解的过程 即通常所称的逐次线性化过程 三 潮流计算的几种基本方法 将非线性代数方程组 1 22 在待求量的某一个初始估计值附近 展开成泰勒级数并略去二阶及以上的高阶项 得到线性化方程组 1 24 称为牛顿法的修正方程式 三 潮流计算的几种基本方法 由上式根据初值可求得第一次迭代的修正量 1 25 将和相加 得到变量的第一次改进值 三 潮流计算的几种基本方法 因此 应用牛顿法求解的迭代格式为 1 26 1 27 上两式中 是函数对于的一阶偏导数矩阵 即雅可比矩阵 为迭代次数 牛顿法当初值和方程的精确解足够接近时 具有平方收敛特性 三 潮流计算的几种基本方法 将牛顿法用于求解电力系统潮流计算问题时 由于所采用的数学表达式以及复电压变量采用的坐标形式的不同 可以形成牛顿潮流算法的不同形式 以下讨论用得最广泛的采用功率方程式模型 而电压变量分别采用极坐标和直角坐标的两种形式 三 潮流计算的几种基本方法 1极坐标形式令 对每个节点及节点 根据式 1 13 有 1 28 对每个节点 根据式 1 14 有 1 29 三 潮流计算的几种基本方法 将上述方程式在某个近似解附近用泰勒级数展开 略去二阶及以上的高阶项后 得到以矩阵形式表示的修正方程式 1 30 式中 为节点个数 为节点数 雅可比矩阵是阶非奇异方阵 三 潮流计算的几种基本方法 雅可比矩阵各元素的表示式如下 三 潮流计算的几种基本方法 2直角坐标形式令 此时每个节点 都有两个方程式 因此共有个方程式 对每个PQ节点 根据式 1 11 和式 1 12 有 1 39 1 40 三 潮流计算的几种基本方法 对每个节点 除了有与式 1 39 相同的有功功率方程式之外 还有 1 41 采用直角坐标形式的修正方程式为 1 42 三 潮流计算的几种基本方法 雅可比矩阵各元素的表示式如下 三 潮流计算的几种基本方法 三 潮流计算的几种基本方法 分析以上两种类型的修正方程式 可以看出两者具有以下的共同特点 1 修正方程式的数目分别为及个 在节点比例不大时 两者的方程式数目基本接近个 2 雅可比矩阵的元素都是节点电压的函数 每次迭代 雅可比矩阵都需要重新形成 三 潮流计算的几种基本方法 3 从雅可比阵非对角元素的表示式可见 某个非对角元素是否为零决定于相应的节点导纳矩阵元素是否为零 如将修正方程式按节点号的次序排列 并将雅可比矩阵分块 把每个阶子阵作为分块矩阵的元素 则按节点号顺序而构成的分块雅可比矩阵将和节点导纳矩阵具有同样的稀疏结构 是一个高度稀疏的矩阵 三 潮流计算的几种基本方法 4 和节点导纳矩阵具有相同稀疏结构的分块雅可比矩阵在位置上对称 但由于 所以雅可比矩阵不是对称阵 修正方程式的这些特点决定了牛顿法潮流程序的主要轮廓及程序特点 三 潮流计算的几种基本方法 有效地处理修正方程式是提高牛顿法潮流程序计算速度并降低内存需求量的关键 结合修正方程式的求解 目前实用的牛顿法潮流程序的程序特点主要有以下三个方面 这些程序特点对牛顿法潮流程序性能的提高起着决定性的作用 1对于稀疏矩阵 在计算机中只储存其非零元素 且只有非零元素才参加运算 三 潮流计算的几种基本方法 2修正方程式的求解过程 采用对包括修正方程常数项的增广矩阵以按行消去的方式进行消元运算 由于消元运算按行进行 因此可以边形成增广矩阵 边进行消元运算 边存储结果 即每形成增广矩阵的一行 便马上进行消元 并且消元结束后便随即将结果送内存存储 三 潮流计算的几种基本方法 3节点编号优化 经过消元运算得到的上三角矩阵一般仍为稀疏矩阵 但由于消元过程中有新的非零元素注入 使得它的稀疏度比原雅可比矩阵有所降低 分析表明 新增非零元素的多少和消元的顺序或节点编号有关 三 潮流计算的几种基本方法 节点编号优化的作用即在于找到一种网络节点的重新编号方案 使得按此构成的节点导纳矩阵以及和它相应的雅可比矩阵在高斯消元或三角分解过程中新增的非零元素数目能尽量减少 三 潮流计算的几种基本方法 节点编号优化通常有三种方法 1 静态法 按各节点静态连接支路数的多少顺序编号 2 半动态法一按各节点动态连接支路数的多少顺序编号 3 动态法一按各节点动态增加支路数的多少顺序编号 三 潮流计算的几种基本方法 三种节点编号优化方法中动态法效果最好 但优化本身所需计算量也最多 而静态法则反之 对于牛顿法潮流计算来说 一般认为 采用半动态法似乎是较好的选择 三 潮流计算的几种基本方法 三 潮流计算的几种基本方法 牛顿潮流算法的优点是收敛速度快 若初值较好 算法将具有平方收敛特性 一般迭代4 5次便可以收敛到非常精确的解 而且其迭代次数与所计算网络的规模基本无关 牛顿法也具有良好的收敛可靠性 对于对高斯 塞德尔法呈病态的系统 牛顿法均能可靠地敛 三 潮流计算的几种基本方法 初值对牛顿法的收敛性影响很大 解决的办法可以先用高斯 塞德尔法迭代1 2次 以此迭代结果作为牛顿法的初值 也可以先用直流法潮流求解一次求得一个较好的角度初值 然后转入牛顿法迭代 三 潮流计算的几种基本方法 三P Q分解法随着电力系统规模的日益扩大以及在线计算的要求 为了改进牛顿法在内存占用量及计算速度方面的不足 人们开始注意到电力系统有功及无功潮流间仅存在较弱联系的这一特性 于是产生了一类具有有功 无功解耦迭代计算特点的算法 三 潮流计算的几种基本方法 在1974年提出的P Q分解法是在广泛的数值试验基础上挑选出来的最为成功的一个算法 它无论在内存占用量以及计算速度方面 都比牛顿法有较大的改进 从而成为当前国内外最优先使用的算法 三 潮流计算的几种基本方法 由于交流高压电网中输电线路等元件的 因此电力系统呈现了这样的物理特性 即有功功率的变化主要决定于电压相位角的变化 而无功功率的变化则主要决定于电压模值的变化 这个特性反映在牛顿修正方程式的元素上 是N及M二个子块元素的数值相对于H L二个子块的元素要小得多 三 潮流计算的几种基本方法 简化的第一步 将N M略去不计 得到如下巳经解耦的方程组 1 55 1 56 这一简化将原来阶的方程组分解为两个分别为阶和阶的较小的方程组 显著地节省了内存需求量和解题时间 但H和L的元素仍然是节点电压的函数且不对称 三 潮流计算的几种基本方法 进一步并且是很关键的简化基于在实际的高压电力系统中 下列的假设一般都能成立 1 线路两端的相角差不大 小于 而且 可以认为 1 57 2 与节点无功功率对应的导纳通常远小于节点的自导纳 即 1 58 三 潮流计算的几种基本方法 计及上两式后 H及L各元素表示式可简化为 l 59 1 60 于是H和L可表示成 1 61 l 62 式中 U是由各节点电压模值组成的对角阵 由于PV节点的存在 的阶数不同 分别为阶和阶 三 潮流计算的几种基本方法 将式 1 61 和式 1 62 代入式 1 55 和式 1 56 得 l 63 1 64 这两式中的系数矩阵由节点导纳矩阵的虚部所组成 从而是一个常数且对称的矩阵 三 潮流计算的几种基本方法 为加速收敛 目前通用的P Q分解法又对的构成作了进一步修改 l 在形成时略去那些主要影响无功功率和电压模值 而对有功功率及电压角度影响很小的因素 这些因素包括输电线路的充电电容以及变压器非标准变比 三 潮流计算的几种基本方法 2 为减少在迭代过程中无功功率及节点电压模值对有功迭代的影响 将式 1 63 右端U的各元素均置为标么值1 0 即令U为单位阵 3 在计算时 略去串联元件的电阻 三 潮流计算的几种基本方法 于是 目前通用的P Q分解法的修正方程式可写成 l 65 l 66 与不仅阶数不同 而且其相应元素的构成也不相同 具体计算公式为 l 67 三 潮流计算的几种基本方法 P Q分解法具有以下特点 1 用解两个阶数几乎减半的方程组 阶和阶 代替牛顿法的解一个阶方程组 显著地减少了内存需求量及计算量 图1 3牛顿法和P Q分解法的典型收敛特性 三 潮流计算的几种基本方法 图1 3牛顿法和P Q分解法的典型收敛特性NR 牛顿法 FDLF P Q分解法 三 潮流计算的几种基本方法 2 牛顿法每次迭代都要重新形成雅可比矩阵并进行三角分解 而P Q分解法的系数矩阵和是常数阵 因此只需形成一次并进行三角分解组成因子表 在迭代过程可以反复应用 显著缩短了每次迭代所需的时间 三 潮流计算的几种基本方法 雅可比矩阵不对称 而和都是对称阵 为此只要形成并贮存因子表的上三角或下三角部分 减少了三角分解的计算量并节约了内存 由于上述原因 P Q分解法所需的内存量约为牛顿法的60 而每次迭代所需时间约为牛顿法的1 5 三 潮流计算的几种基本方法 三 潮流计算的几种基本方法 元件大比值病态问题从牛顿法到P Q分解法的演化是在元件以及线路两端相角差较小等简化基础上进行的 因此当系统存在不符合这些假设的因素时 就会出现迭代次数增加甚至不收敛的情况 三 潮流计算的几种基本方法 这其中以出现元件大比值的情景最多 如低电压网络 某些电缆线路 三绕组变压器的等值电路以及通过某些等值方法所得到的等值网络等均会出现大部分或个别支路比值偏高的问题 大比值病态问题已成为P Q分解法应用中的一个最大障碍 三 潮流计算的几种基本方法 解决这个问题的途径主要有以下两种 1对大比值支路的参数加以补偿对大比值支路的参数加以补偿 又分成串联补偿法及并联补偿法两种 三 潮流计算的几种基本方法 1 串联补偿法 这种方法的原理见图1 6 其中为增加的虚构节点 为新增的补偿电容 数值的选择应满足支路的条件 三 潮流计算的几种基本方法 这种方法的缺点是如果原来支路的比值非常大 从而使的值选得过大时 新增节点的电压值有可能偏离节点及的电压很多 这种不正常的电压将导致潮流计算收敛缓慢 甚至不收敛 三 潮流计算的几种基本方法 图1 6对大R X比值支路的串联补偿 a 原支路 b 补偿后的支路 三 潮流计算的几种基本方法 2 并联补偿法 如图1 7所示 经过补偿的支路的等值导纳为仍等于原来支路的导纳值 并联补偿新增节点的电压不论的取值大小都介于支路两端电压之间 不会产生病态的电压现象 三 潮流计算的几种基本方法 图1 7对大R X比值支路的井联补偿 a 原支路 b 补偿后支路 三 潮流计算的几种基本方法 2对算法加以改进为了克服P Q分解法在处理大比值问题上的缺陷 许多研究工作立足于对原有算法加以改进 希望能找到一种方法 既能保待P Q分解法的基本优点 又能克服大比值问题带来的收敛困难 三 潮流计算的几种基本方法 提出的这一类算法中 基本上保留了原来P Q分解法的框架 但对修正方程式及其系数矩阵的构成作出各种不同的修改 三 潮流计算的几种基本方法 下面介绍一种较常用的方法 前面提到 在构成的元素时不计串联元件的电阻 仅用其电抗值 而在形成的元素时则仍用精确的电纳值 称之为方案 与此相对应 组成P Q分解法还可以有 和方案 在不同的试验网络上进行的大量计算实践表明 处理大比值问题上的能力以方案最差 稍好 方案最好 三 潮流计算的几种基本方法 方案采用的是严格的 交替迭代方案 这也是该算法和现在通行的方案的标准型P Q分解法的第二个差别 新算法若仍采用老的迭代方案 将会出现周期性的使功率偏差不再下降的 循环迭代过程 三 潮流计算的几种基本方法 为解决大比值病态问题 参数补偿和改进算法这两种途径各有利弊 使用补偿法要增加一个节点 当网络中大比值的元件数目很多时将使计算网络的节点数增加很多 采用改进算法不存在这个问题 但目前已提出的一些改进算法并不能完全免除对元件比值的敏感性 当某个元件的比值特别高时 算法所需的迭代次数仍将急剧上升或甚至发散 三 潮流计算的几种基本方法 牛顿法求解潮流采用的是逐次线性化方法 20世纪70年代后期 人们开始考虑采用更精确的数学模型 将泰勒级数的高阶项考虑进来 以提高算法的收敛性能及计算速度 于是便产生了一类称之为保留非线性的潮流算法 因为其中大部分算法主要包括了泰勒级数的前三项即取到泰勒级数的二阶项 所以也称为二阶潮流算法 四 保留非线性潮流算法 这种想法的第一个尝试是在极坐标形式的牛顿法修正方程式中增加了泰勒级数的二阶项 所得算法对收敛性能略有改善 但计算速度无显著提高 后来 人们根据直角坐标形式的潮流方程是一个二次代数方程组的这一特点 提出了采用直角坐标的保留非线性快速潮流算法 在速度上比牛顿法有较大提高 引起了广泛重视 四 保留非线性潮流算法 此后又出现了一些计入非线性的其它潮流算法 这些算法除了作为常规的潮流计算工具之外 在状态估计 最优潮流等其它计算中也得到应用 以下介绍两种保留非线性的快速潮流算法 四 保留非线性潮流算法 一保留非线性快速潮流算法 一 数学模型采用直角坐标形式的潮流方程为 1 68 是一个不含一次项的二次代数方程组 四 保留非线性潮流算法 对这样的方程组用泰勒级数展开 只要取三项就能够得到一个没有截断误差的精确展开式 因此从理论上 若能从这个展开式设法求得变量的修正量 并用它对初值加以修正 则只要一步就可求得方程组的解 四 保留非线性潮流算法 为推导方便 将上述潮流方程写成更普遍的齐次二次方程的形式 这里先定义 n维未知变量向量n维函数向量n维函数给定值向量 四 保留非线性潮流算法 一个具有n个变量的齐次二次代数方程式的普遍形式为 四 保留非线性潮流算法 于是潮流方程组可以写成如下的矩阵形式 1 70 或 1 71 四 保留非线性潮流算法 式 1 70 中 系数矩阵为 1 72 四 保留非线性潮流算法 二 泰勒级数展开式对式 1 69 在初值附近展开 可得到没有截断误差的精确展开式为 1 73 即 1 74 四 保留非线性潮流算法 式中 为修正量向量 为雅可比矩阵 四 保留非线性潮流算法 是一个常数矩阵 其阶数很高 但高度稀疏 四 保留非线性潮流算法 式 1 74 的第三项相当复杂 研究表明可以将式 1 74 改写成 1 77 四 保留非线性潮流算法 三 数值计算迭代公式式 1 77 是以为变量的二次代数方程组 从一定的初值出发 求解满足该式的仍然要采用迭代的方法 式 1 77 可改写成 1 82 于是算法的具体迭代公式为 1 83 四 保留非线性潮流算法 式中 为迭代次数 按估计而得 进行第一次迭代时 令 同牛顿法的第一次迭代计算完全相同 算法的收敛判据为 1 84 也可以采用 1 85 作为收敛判据 式 1 85 是比式 1 84 更合理的收敛判据 四 保留非线性潮流算法 四 保留非线性潮流算法 四 保留非线性潮流算法 四 算法特点及性能估计下面同牛顿法进行比较 看保留非线性快速潮流算法的特点 设求解的方程是 牛顿法的迭代公式是 1 86 保留非线性快速潮流算法的迭代公式是 1 87 四 保留非线性潮流算法 图l 9两种算法迭代过程的比较 a 牛顿法迭代过程 b 保留非线性法迭代过程 四 保留非线性潮流算法 由公式 1 86 和式 1 87 可见 保留非线性快速潮流算法采用的是用初值计算而得的恒定雅可比矩阵 整个计算过程只需一次形成 并三角分解构成因子表 所以每次迭代所需时间可以节省很多 四 保留非线性潮流算法 两种算法的含义不同 牛顿法的是相对于上一次迭代所得到的迭代点的修正量 而保留非线性快速潮流算法的则是相对于始终不变的初始估计值的修正量 保留非线性快速潮流算法达到收敛所需的迭代次数比牛领法要多 但由于每次迭代所需的计算量比牛顿法节省很多 所以总的计算速度比牛顿法可提高很多 四 保留非线性潮流算法 由于不具对称性质的雅可比矩阵经三角分解后 其上下三角元素都需要保存 和牛顿法的一种方案仅需保存上三角元素相比 此算法所需的矩阵存储量将较后者要增加35 40 另外 由于利用以初始值计算得到的恒定雅可比矩阵进行迭代 初始值的选择对保留非线性快速潮流算法的收敛特性有很大影响 四 保留非线性潮流算法 五 具有更广泛意义的通用迭代公式以上讨论的算法限于采用直角坐标形式的模型 并且所求解的方程组还限于是不含变量一次项的二次代数方程组 下面讨论适用于任意坐标形式的 并且对的数学性质没有限制的普遍情况 推导相应的具有更广泛意义的通用迭代公式 四 保留非线性潮流算法 设所要求解的非线性代数方程组为 则其泰勒级数展开式可写成 1 88 式中 为泰勒展开式中非线性高阶项之和 称为非线性总项 根据式 1 88 可写出和式 1 83 相仿的迭代公式为 l 89 四 保留非线性潮流算法 求解式 1 89 的关键是如何简单有效地计算非线性总项 以下从研究迭代过程着手 第一次迭代 取 于是有 因此 l 90 第一次迭代和牛顿法的第一次迭代完全相同 四 保留非线性潮流算法 第二次迭代 由迭代公式 l 89 得 1 91 根据泰勒公式 1 92 由式 l 90 可见式 l 92 等号右边前二项之和为零 于是 1 93 这样 第二次迭代的公式 1 91 变成 l 94 四 保留非线性潮流算法 以此类推 第次迭代时的迭代公式为 1 100 其中非线性总项为 l 101 由此推得拓广了的保留非线性快速潮流算法的通用迭代公式为 l 102 四 保留非线性潮流算法 上式不受待解非线性代数方程式的数学性质以及所选用的坐标形式的限制 每次迭代 只需计算最近一个迭代点处的非线性函数值 并累加到上一次迭代公式的右端项上去 便得到了本次迭代公式的右端项 所以采用式 l 102 作为迭代公式而形成的拓广了的保留非线性快速潮流算法所需的计算量 和前面介绍的保留非线性快速潮流算法完全相同 四 保留非线性潮流算法 六 与定雅可比牛顿法的关系定雅可比牛顿法是牛顿法的一种简化形式 即用恒定不变的由变量初始值计算得到的雅可比矩阵进行整个迭代过程的计算 四 保留非线性潮流算法 对于采用直角坐标 并且数学上为不含变量一次项的二次代数方程组的潮流方程 有关研究证明了采用保留非线性快速潮流算法和采用直角坐标系的恒定雅可比矩阵牛顿法相比 只要初始值相同 并且第一次迭代时不计非线性项 则在两种方法随后的每一步迭代中 将得到完全重合的中间迭代点 从而最后结果也相同 四 保留非线性潮流算法 应用拓广了的保留非线性快速潮流算法的通用迭代公式 可以把上述结论扩大到不受方程式性质以及所采用坐标形式限制的普遍情况 从而在更普遍的基础上建立起这种类型的保留非线性潮流算法和定雅可比牛顿法之间的等同关系 四 保留非线性潮流算法 二直角坐标形式包括二阶项的快速潮流算法前面介绍的保留非线性快速潮流算法较之牛顿法在计算速度上有较多提高 但和P Q分解法相比 计算速度仍显逊色 且内存需求量也大得多 四 保留非线性潮流算法 因此研究并开发在内存需求量和计算速度方面能接近P Q分解法 但对某些病态系统 如大比值或串联电容支路等 的计算又胜于后者的算法一直是研究人员所追求的目标 下面介绍的采用直角坐标的包括二阶项的算法是基本具有上述特点的算法 四 保留非线性潮流算法 一 数学模型采用直角坐标的潮流方程式为 1 113 l 114 l 115 先研究电力系统中除一个平衡节点外 其余节点均属节点的情况 四 保留非线性潮流算法 为使计算过程简化 直角坐标形式包括二阶项的快速潮流算法的第一个特点是改造导纳矩阵的对角元素 即将各节点的对地并联支路 如线路充电电容 并联电容器及并联电抗器 非标准变比变压器等值电路的对地支路等 从导纳矩阵的对角元素中分离出来 并作为节点的一个恒定阻抗来处理 四 保留非线性潮流算法 于是有 l 116 四 保留非线性潮流算法 节点功率方程式 l 113 式 l 114 就变成 1 117 1 118 式中 分别表示节点的对地支路电导及电纳 而根据式 l 116 计算而得 四 保留非线性潮流算法 把式 l 117 式 l 118 的左端项分别记为 即 l 119 1 120 四 保留非线性潮流算法 将式 l 117 式 l 118 的右端项分别记为 并在给定的电压初值附近展开成泰勒级数 于是有 l 121 1 122 式中 为相应的二阶项 式 l 121 及式 l 122 是没有截断误差的表示式 四 保留非线性潮流算法 直角坐标形式包括二阶项的快速潮流算法使计算过程简化的第二个特点是所有节点电压的初值都取为平衡节点的电压 i 1 2 n l 123 将这个关系代入式 l 117 式 l 118 的右端并计及式 l 116 的关系 可得 1 124 四 保留非线性潮流算法 这便节省了计算的时间 应用式 l 119 式 1 124 的关系 式 1 117 式 1 118 可写成 1 125 四 保留非线性潮流算法 上式中 雅可比矩阵的元素根据式 1 43 式 1 50 并计及式 1 116 及式 1 123 两个关系式以后 可得 1 126 四 保留非线性潮流算法 于是 式 1 125 可改写成 1 127 定义 1 128 于是得到如下的修正方程式 l 129 注意这里的雅可比矩阵是一个常数对称阵 四 保留非线性潮流算法 下面讨论二阶项的计算方法 应用本章的式 1 77 采用直角坐标的潮流方程的