第3章随机信号

第三章随机过程 review 提要 随机过程的一般概念通信系统中涉及的随机信号与噪声的特征表述平稳随机过程 相关函数 功率谱密度 Gauss过程窄带过程正弦波加窄带Gauss过程随机过程通过线性系统的基本分析法 1 引言 通信 保证消息的传递 消息 信号 消息中的有用部分 噪声 无用部分 信号 随机性 某个或某几个参数不能或不能完全预知 随机信号噪声 随机性随机过程 随机信号与噪声的统称分析工具 概率论与随机过程为了方便 人为地对通信系统所涉及的随机过程进行了限制 平稳或广义平稳随机过程窄带Gauss过程对噪声的描述十分理想 2 随机过程的一般表述 随机过程 时间t的函数 在任一时刻上观察到的值是不确定的 即一随机变量 随机过程就是由全部可能实现构成的总体 每个实现都是一个确定的时间函数 随机性就体现在出现哪一个实现是不确定的 t n t t n t t n t 实现1 实现2 实现n t1 随机变量 n台相同的收音机 用n台相同的记录仪记录各自在同一频道的输出 噪声 波形 结果 N条不同的曲线 噪声随机过程记录随机过程的实现所有记录的集合随机过程的描述随机过程的规律性 统计特性概率分布函数或数字特征确定设 t 为一随机过程 则在任一时刻t1上 t1 是一随机变量 那么随机变量的统计特性可用概率分布密度或概率密度函数来描述 F1 x1 t1 P t1 x1 t 的一维分布函数如果F1 x1 t1 对x1的偏导数f1 x1 t1 存在一维概率密度函数 示例 一般情况下 t 的一维分布函数不能充分地描述随机过程的完整统计特性 通常需要在足够多的时刻上考虑随机过程的多维分布函数 t 的n维分布函数 Fn x1 x2 xn t1 t2 tn P t1 x1 t2 x2 tn xn 及n维概率密度函数fn x1 x2 xn t1 t2 tn 因此 n越大 用分布函数描述的 t 的统计特性就越充分可以说分布函数完全描述了随机过程的统计特征 而 t 的数字特征则简化了我们对随机过程的分析 通过数字特征我们能较好地理解和掌握随机过程的规律 多维分布函数 我们所关心的是随机过程的低阶数字特征 如数学期望 方差 相关函数等 t 的数学期望 E t xf1 x1 t dx a t 或E X XkPka t t 的统计平均值 时间的函数 t 在t时刻的平均值 t 的方差 D t E t E t 2 2 t x2f1 x1 t dx a t 2 t 在t时刻与平均值a t 之间的绝对偏差的大小 随机过程的数字特征 两个时刻上 t 的统计相关特性协方差函数 B t1 t2 E t1 a t1 t2 a t2 x1 a t1 x2 a t2 f2 x1 t1 x2 t2 dx1dx2相关函数 R t1 t2 E t1 t2 x1x2f2 x1 t1 x2 t2 dx1dx2因此 B t1 t2 R t1 t2 E t1 E t2 一般情况下 协方差函数和相关函数与时间起点有关 归一化协方差函数 相关系数 协方差函数和相关函数 通信中涉及的随机过程 平稳随机过程平稳过程 n维分布函数与时间起点无关 即给定n和 t 的n维分布函数满足 狭义平稳随机过程 fn x1 x2 xn t1 t2 tn fn x1 x2 xn t1 t2 tn 因此 当n 1时 F1 x1 t1 与时间t无关当n 2时 F2 x1 x2 t1 t2 只与时间间隔 t2 t1有关数字特征 平稳过程的数学期望及方差与t无关 自相关函数只与时间间隔 有关 即 E t xf1 x1 t dx aD t E t E t 2 2R t1 t2 E t1 t2 R 3 平稳随机过程 若一 t 的数学期望 方差与t无关 自相关函数只与 有关 则 t 为广义平稳随机过程 平稳随机过程的特性 各态历经性 平稳随机过程 数字特征完全由随机过程中任一实现的数字特征来决定 即 t t为任意时刻 的数字特征 t1 的数字特征 t 的数学期望 统计平均值 任一实现的时间平均值 方差 自相关函数也可以用 时间平均 来代替 统计平均 也就是说 从随机过程中得到的任一实现 好象它经历了随机过程的所有可能状态 广义平稳随机过程 x t 是平稳随机过程中的任一实现 则 时间平均 为 a lim1 T T 2 T 2x t dt 2 lim1 T T 2 T 2 x t a 2dtR lim1 T T 2 T 2x t x t dt往往有 a a 2 2 R R 满足以上三个条件的平稳随机过程称为具有 各态历经性 结论 只有平稳随机过程才可能具有各态历经性 判断方法 当 时 a和R 的均方差0 则认为该随机过程是各态历经的 统计平均与时间平均 相关函数可以描述 1 平稳随机过程的统计特性2 平稳随机过程的频谱特性相关函数 R 性质 t 为平稳随机过程 则 R 0 E 2 t S t 的归一化平均功率 R R 偶函数 R R 0 R E2 t t 的直流功率 R 0 R 2方差 t 的交流功率以上性质表明 利用R 可表示 t 几乎所有的数字特征 4 平稳随机过程的相关函数与功率谱密度 功率谱密度的定义 任意确知功率函数f t 的功率谱定义为 ps f lim FT f 2 TFT f 是f t 的截短函数fT t 的Fourier变换功率型平稳随机过程的每一实现也是功率信号 但一个实现的功率谱不能代表整个随机过程的功率谱 而过程的功率谱是每一可能实现的功率谱的统计平均 频谱特性 T 2 T 2 f t fT t 设 t 的功率谱密度为p f T t FT f 则 p f E ps f limE FT f 2 T t 的平均功率S为 S p f df limE FT f 2 Tdf而 E FT f 2 T E 1 T T 2 T 2 T t e j tdt T 2 T 2 T t ej t dt E 1 T T 2 T 2 t e j tdt T 2 T 2 t ej t dt 1 T T 2 T 2 T 2 T 2R t t e j t t dtdt 令 t t k t t 则有 E FT f 2 T T T 1 T R e j d 因此 p f limE FT f 2 Tdf R e j2 f d t 的功率谱 FT p f R ex 随机过程 t sin 0t 0 2 的随机变量 并满足均匀分布 计算 t 的自相关函数和功率谱密度函数 解 t 是否广义平稳 a t 0 R t1 t2 1 2cos 0t R 因此 t 广义平稳 则 p f R e j d 1 4 f f0 f f0 t 的平均功率S 1 2 FT Gauss过程 正态随机过程信道噪声的数学模型n维概率密度函数为 见书p44特性 n维概率密度函数由数学期望 方差和归一化协方差函数确定重要结论 1 Gauss过程若是广义平稳 则它也是狭义平稳 2 Gauss过程中的随机变量互不相关 则它们又是统计独立的 即 fn x1 x2 xn t1 t2 tn f1 x1 t1 f2 x2 t2 fn xn tn 一维Gauss过程 分布函数f x 1 2 2 1 2exp x a 2 2 2 a为数学期望 或随机过程的时间平均值 2为方差 5 Gauss过程 f x 对称于x a f a x f a x f x 递增for a anddecreasedfor a f a maximumvaluex f x 0 f x dx 1 且 af x dx a f x dx 1 2 af x 在x方向的移动 f x 的高窄a 0 1 一维Gauss分布概率密度函数的标准形式f x 1 2 1 2exp x2 2 分布函数 F x P t x x a 数学手册 一维Gauss过程的特性 a x f x 1 2 2 1 2 x 概率积分函数erf x 误差函数erfc x 互补误差函数F x 可用误差函数或互补误差函数表示 见P46 特殊函数 通信系统中大多数信号和噪声是所谓 窄带 的 窄带波形 带通信号包络和相位相对载波fc缓慢变化 t a t cos ct t a t 0a t t 窄带随机过程 t c t cos ct s t sin ct c t a t cos t s t a t sin t 6 窄带随机过程 fc f f fc 同相分量 正交分量 窄带过程 t 的统计特性是由 c t s t 确定的 问题 已知 t 的统计特性 则 c t s t a t t 统计特性 Ex 平稳窄带Gauss过程 均值为0 的 c t s t a t t E t E c t cos ct E s t sin ct 0则 E c t E s t 0 t 的自相关函数 R t t R c t t cos ctcos c t R s t t sin ctsin c t t 平稳过程 故自相关函数与t无关 结论 c t s t 广义平稳 窄带过程的统计特性 经计算 我们有 R 0 R c 0 R s 0 即 2 c2 s2推导可知 t Gauss过程 c t s t 也是Gauss过程结论 一个均值为0的窄带Gauss过程 其同相和正交分量也为平稳Gauss过程 且均值为0 方差相同 此外 在同一时刻得到的 c和 s互不相关 a t t 的统计特性 经计算 有 a t 服从Rayleigh分布 t 服从均匀分布 f a a 2exp a 2 2 2 a 0f 1 2 0 2 就一维分布而言a t t 是统计独立的 即 f a f a f 统计特性 续 白噪声 功率谱密度函数在整个频域内为常数的噪声 即 p f n0 2Watt Hz则自相关函数 R n0 2 白噪声只有在 0时才相关 而在任意两个时刻上的随机变量都是相互独立的 理想宽带过程 白噪声 R n0 2 n0 2 p f f 限制在 f0 f0 内的白噪声R f0n0sin 0 0 因此 只有在 k 2f0 k 1 2 3 上得到的随机变量才是不相关的 推理 在这些点上进行抽样而得到的随机变量是独立的 带限白噪声 n0 2 p f f f0 f0 R f0n0 1 2f0 通信系统中常见的信号 正弦波加窄带Gauss过程r t Acos ct n t n t x t cos ct y t sin ct 窄带Gauss过程 均值为0 在 0 2 上服从均匀分布 a与 c是已知常数 r t 的包络z t 及相应的概率密度函数 f z z 2exp 1 2 2 z2 A2 I0 Az 2 z 0f z 广义Rayleigh分布 或Rice密度函数 r t 的相位 的概率密度函数 f 0 2 f f d 7 正弦波加窄带Gauss过程 原理 信号通过线性系统的分析原理v0 t vi h t d V0 f H f Vi f 因果关系 v0 t tvi h t d 随机过程通过线性系统 0 t t i h t d 0 h i t d i 是平稳的 0 t 统计特性 8 随机过程与线性系统 线性系统h t vi t vo t 0 t 的数学期望E 0 t E 0 h i t d 0 h E i t d E i t 0 h d 既 E 0 t E i t H 0 0 t 的自相关函数R0 t t R0 t t R0 广义平稳 0 t 的功率谱密度p 0 f p