向量培优试题

1 高二数学培优讲义高二数学培优讲义 向量专题向量专题 考点一 向量的基本定理考点一 向量的基本定理 的应用的应用 例例 1 1 在平行四边形 ABCD 中 AC 与 BD 交于点 O E 是线段 OD 的中点 AE 的延长线与 CD 交于点 F 若 则 aAC bBD AF A B C D 11 42 ab 21 33 ab 11 24 ab 12 33 ab 变式变式 1 是梯形 ABCD且 分别是和的中点 设 ABCD2ABCD M NDCAB 试用表示和 ABa ADb a b BC MN 2 已知 分别是的边上的中线 且 则为 AD BE ABC BC AC ADa BEb BC A B C D 42 33 ab 24 33 ab 22 33 ab 22 33 ab 3 如图 已知的夹角为 1200 的夹角为2 1 4 OAOBOCOAOB 与OAOC 与 300 用 OA OBOC 表示 提高 提高 1 已知ABC 为等边三角形 AB 2 设点 P Q 满足ABAP ACAQ 1 R 若 则 2 3 CPBQ A 2 1 B 2 21 C 2 101 D 2 223 2 给定两个长度为 1 的平面向量OA 和OB 它们的夹角为120o 如图所示 点 C 在以 O 为圆心的圆弧AB 上变动 若 OCxOAyOB 其中 x yR 则xy 的最大值是 A C B O 2 3 如图 1 OM AB 点 P 由射线 OM 线段 OB 及 AB 的延 长线围成的阴影区域内 不含边界 且 则OByOAxOP 实数对 x y 可以是 A B 4 3 4 1 3 2 3 2 C D 4 3 4 1 5 7 5 1 4 如图 2 OM AB 点 P 在由射线 OM 线段 OB 及 AB 的延长线围成的阴影区域内 不含边 界 运动 且 则的取值范围是 当时 的取值范围是 OPxOAyOB x 1 2 x y 5 已知在ABC 中 60 3 AAB A 的平分线 AD 交边 BC 于点 D 且 1 ADACAB R 3 则 AD 的长为 A 32 B 3 C 1 D 3 考点二 考点二 向量的数量积运算向量的数量积运算 及其应用及其应用 1 已知平面向量满足 且与的夹角为 120 则的 0 1 取值范围是 2 设 点是线段上的一个动点 若 0 0 O 1 0 A 0 1 BPABAPAB 则实数的取值范围是OP ABPA PB A B C D 1 1 2 2 11 2 12 1 22 22 11 22 3 若kR BAkBCCA 恒成立 则 ABC的形状一定是 A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形D 不能确定 4 已知a b是两个相互垂直的单位向量 而13 c 3 ac 4 bc 则对于任意 实数 21 t t 21 btatc 的最小值是 A 5 B 7 C 12 D 13 5 在半径为 1 的圆周上按顺序均匀分布着 A1 A2 A3 A4 A5 A6六个点 则 122323343445455656616112 A AA AA AA AA AA AA AA AA AA AA AA A A B O M 图 1 AO M P B 图 2 3 考点三 平面向量中的新定义考点三 平面向量中的新定义 1 在平面斜坐标中 0 45 xoy 斜坐标定义为 2010 eyexOP 其中 21 e e分别为 斜坐标系的 x 轴 y 轴的单位向量 则点 P 的坐标为 00 yx 若 0 1 0 1 21 FF 且动点 yxM满足12MFMF 则点 M 在斜坐标系中的轨迹方程为 2 定义域为 a b 的函数 yf x 图像的两个端点为 A B M x y 是 f x图象上任意 一点 其中 1 xaba b 已知向量 1 ONOAOB 若不等式 MNk 恒成立 则称函数 f xa b在上 k 阶线性近似 若函数 1 yx x 在 1 2 上 k 阶线性近似 则实数 k 的取值范围为 A 0 B 1 12 C 3 2 2 D 3 2 2 考点四 与三角形考点四 与三角形 四心四心 相关的向量问题相关的向量问题 例题例题 1 已知 O 是平面上的一定点 A B C 是平面上不共线的三个点 动点 P 满足 则动点 P 的轨迹一定通 sin sin ABAC OPOA ABBACC 0 过 ABC 的 A 重心 B 垂心 C 外心 D 内心 2 已知 O 是平面上的一定点 A B C 是平面上不共线的三个点 动点 P 满 足 则动点 P 的轨迹一定通过 cos cos ABAC OPOA ABBACC 0 ABC 的 A 重心 B 垂心 C 外心 D 内心 3 已知 O 是平面上的一定点 A B C 是平面上不共线的三个点 动点 P 满 足 则动点 P 的轨迹 2 cos cos OBOCABAC OP ABBACC 0 一定通过 ABC 的 A 重心 B 垂心 C 外心 D 内心 4 已知 A B C 是平面上不共线的三点 O 为 ABC 的外心 动点 P 满足 则 P 的轨迹一定 1 1 1 12 3 OPOAOBOC 0 R 4 通过 ABC 的 A 内心 B 垂心 C 重心 D AB 边的中点 5 已知 O 是 ABC 所在平面上的一点 若 0 则 O 点是 aOAbOBcOC ABC 的 A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心 6 已知 O 是 ABC 所在平面上的一点 若 其中 P 是 aPAbPBcPC PO abc ABC 所在平面内任意一点 则 O 点是 ABC 的 A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心 7 ABC 中 AB 1 BC CA 2 ABC 的外接圆的圆心为 O 若6 求实数的值 AOABAC 练习 1 OAB 中 若 t R 则点 P 在 OA a OB b OP p p b b a a t A AOB 平分线所在直线上 B 线段 AB 中垂线上 C AB 边所在直线上 D AB 边的中线上 2 已知是内的一点 若 则是的 心 OABC 0OAOBOC OABC 3 P 是 ABC 所在平面上一点 若 则 P 是 ABC 的 PAPCPCPBPBPA A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心 4 已知非零向量与满足 0 且 则 ABC 为 AB AC AB AB AC AC BC AB AB AC AC 1 2 A 三边均不相等的三角形 B 直角三角形 C 等腰非等边三角形 D 等边三角形 5 的外接圆的圆心为 O 两条边上的高的交点为 H ABC OCOBOAmOH 则实数 m 考点五 与三角形面积相关的向量问题考点五 与三角形面积相关的向量问题 例题例题 在中 设向量 求证 的面积为ABC bCBaCA ABC 5 如果 用表示 S 22 2 1 babaS 2121 bbbaaa 2 1 iba ii 1 已知点 O 是 ABC 内一点 0 则 23OAOBOC 1 AOB 与 AOC 的面积之比为 2 ABC 与 AOC 的面积之比为 3 ABC 与四边形 ABOC 的面积之比为 2 已知 ABC 是边长为 1 的正三角形 M N 分别是边 AB AC 上的点 线段 MN 经过 ABC 的中心 G 设 MGA 2 33 1 试将 AGM AGN 的面积 分别记为 S1与 S2 表示为 的函数 2 求 y 的最大值与最小值 22 12 11 SS 考点六 判断三角形的形状考点六 判断三角形的形状 1 已知 a b c 分别为 ABC 中 A B C 的对边 G 为 ABC 的重心 且 0 则 ABC 为 a GAb GBc GC A 等腰直角三角形 B 直角三角形 C 等腰三角形 D 等边三角形 2 已知 O 为 ABC 所在平面内一点 满足 则 2 OBOCOBOCOA ABC 一定是 A 等腰直角三角形 B 直角三角形 C 等腰三角形 D 等边三角形 3 如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值 则 111 ABC 222 A B C A 和都是锐角三角形 111 ABC 222 A B C B 和都是钝角三角形 111 ABC 222 A B C 6 C 是钝角三角形 是锐角三角形 111 ABC 222 A B C D 是锐角三角形 是钝角三角形 111 ABC 222 A B C 4 在 ABC 中 若 2 CBCABCBAACABAB 则 ABC 是 A 等边三角形 B 锐角三角形 C 钝角三角形 D 直角三角形 考点七 向量在平面几