2010年高考数学计算试题分类汇编——圆锥曲线

第 1 页 共 44 页 2010 年高考数学年高考数学试题试题分分类汇编类汇编 圆锥圆锥曲曲线线 2010 上海文数 上海文数 2323 本题满分 本题满分 1818 分 本题共有分 本题共有 3 3 个小题 第个小题 第 1 1 小题满分小题满分 4 4 分 第分 第 2 2 小小 题满分题满分 6 6 分 第分 第 3 3 小题满分小题满分 8 8 分分 已知椭圆 的方程为 22 22 1 0 xy ab ab 0 Ab 0 Bb 和 0 Q a为 的三个顶 点 1 若点M满足 1 2 AMAQAB 求点M的坐标 2 设直线 11 lyk xp 交椭圆 于C D两点 交直线 22 lyk x 于点E 若 2 12 2 b kk a 证明 E为CD的中点 3 设点P在椭圆 内且不在x轴上 如何构作过PQ中点F的直线l 使得l与椭圆 的两个交点 1 P 2 P满足 12 PPPPPQ 12 PPPPPQ 令10a 5b 点P的 坐标是 8 1 若椭圆 上的点 1 P 2 P满足 12 PPPPPQ 求点 1 P 2 P的坐标 解析 1 22 ab M 2 由方程组 1 22 22 1 yk xp xy ab 消 y 得方程 22222222 11 2 0a kbxa k pxapb 因为直线 11 lyk xp 交椭圆 于C D两点 所以 0 即 2222 1 0a kbp 设 C x1 y1 D x2 y2 CD 中点坐标为 x0 y0 则 2 121 0 222 1 2 010 222 1 2 xxa k p x a kb b p yk xp a kb 由方程组 1 2 yk xp yk x 消 y 得方程 k2 k1 x p 又因为 2 2 2 1 b k a k 所以 2 1 0 222 211 2 20 222 1 a k pp xx kka kb b p yk xy a kb 第 2 页 共 44 页 故 E 为 CD 的中点 3 因为点 P 在椭圆 内且不在 x 轴上 所以点 F 在椭圆 内 可以求得直线 OF 的斜率 k2 由 12 PPPPPQ 知 F 为 P1P2的中点 根据 2 可得直线 l 的斜率 2 1 2 2 b k a k 从而得直 线 l 的方程 1 1 2 F 直线 OF 的斜率 2 1 2 k 直线 l 的斜率 2 1 2 2 1 2 b k a k 解方程组 22 1 1 2 1 10025 yx xy 消 y x2 2x 48 0 解得 P1 6 4 P2 8 3 2010 湖南文数 湖南文数 19 本小题满分 13 分 为了考察冰川的融化状况 一支科考队在某冰川山上相距 8Km 的 A B 两点各建一个考察 基地 视冰川面为平面形 以过 A B 两点的直线为 x 轴 线段 AB 的垂直平分线为 y 轴建 立平面直角坐标系 图 4 考察范围到 A B 两点的距离之和不超过 10Km 的区域 I 求考察区域边界曲线的方程 II 如图 4 所示 设线段 12 PP 是冰川的部分边界线 不考虑其他边界 当冰川融 化时 边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动 第一年移动 0 2km 以 后每年移动的距离为前一年的 2 倍 问 经过多长时间 点 A 恰好在冰川边界 线上 第 3 页 共 44 页 2010 浙江理数 浙江理数 21 本题满分 15 分 已知 m 1 直线 2 0 2 m l xmy 椭圆 2 2 2 1 x Cy m 1 2 F F分别为椭圆C的左 右焦点 当直线l过右焦点 2 F时 求直线l的方程 设直线l与椭圆C交于 A B两点 12 AFFV 12 BFFV的重心分别为 G H 若原点O在以线段GH为直径的圆 内 求实数m的取值范围 解析 本题主要考察椭圆的几何性质 直线与椭圆 点与圆的位置关系等基础知识 同时 考察解析几何的基本思想方法和综合解题能力 解 因为直线 l 2 0 2 m xmy 经过 2 2 1 0 Fm 所以 2 2 1 2 m m 得 2 2m 第 4 页 共 44 页 又因为1m 所以2m 故直线l的方程为 2 2 20 2 xy 解 设 1122 A x yB xy 由 2 2 2 2 2 1 m xmy x y m 消去x得 2 2 210 4 m ymy 则由 2 22 8 1 80 4 m mm 知 2 8m 且有 2 1212 1 282 mm yyy y A 由于 12 0 0 FcF c 故O为 12 FF的中点 由2 2AGGO BHHO 可知 1121 3333 xyxy Gh 22 2 1212 99 xxyy GH 设M是GH的中点 则 1212 66 xxyy M 由题意可知2 MOGH 即 22 22 12121212 4 6699 xxyyxxyy 即 1212 0 x xy y 而 22 12121212 22 mm x xy ymymyy y 第 5 页 共 44 页 2 2 1 1 82 m m 所以 2 1 0 82 m 即 2 4m 又因为1m 且0 所以12m 所以m的取值范围是 1 2 20102010 全国卷全国卷 2 2 理数 理数 21 本小题满分 12 分 己知斜率为 1 的直线l与双曲线C 22 22 100 xy ab ab 相交于B D两点 且 BD的中点为 1 3M 求C的离心率 设C的右顶点为A 右焦点为F 17DF BF A 证明 过A B D三点的圆 与x轴相切 命题意图 本题主要考查双曲线的方程及性质 考查直线与圆的关系 既考查考生的基 础知识掌握情况 又可以考查综合推理的能力 参考答案 第 6 页 共 44 页 第 7 页 共 44 页 点评 高考中的解析几何问题一般为综合性较强的题目 命题者将好多考点以圆锥曲线 为背景来考查 如向量问题 三角形问题 函数问题等等 试题的难度相对比较稳定 20102010 陕西文数 陕西文数 20 本小题满分 13 分 求椭圆 C 的方程 设 n 为过原点的直线 l 是与 n 垂直相交与点 P 与椭圆相交 于 A B 两点的直线 立 若存在 求出直线 l 的方程 并说出 若不存在 请说明理由 第 8 页 共 44 页 20102010 辽宁文数 辽宁文数 20 本小题满分 12 分 设 1 F 2 F分别为椭圆 22 22 1 xy C ab 0 ab 的左 右焦点 过 2 F的直线l与椭 圆C 相交于A B两点 直线l的倾斜角为60 1 F到直线l的距离为2 3 求椭圆C的焦距 如果 22 2AFF B 求椭圆C的方程 解 设焦距为2c 由已知可得 1 F到直线 l 的距离32 3 2 cc 故 所以椭圆C的焦距为 4 设 112212 0 0 A x yB xyyy 由题意知直线l的方程为3 2 yx 联立 22224 22 22 3 2 3 4 330 1 yx abyb yb xy ab 得 解得 22 12 2222 3 22 3 22 33 baba yy abab 因为 2212 2 2 AFF Byy 所以 即 22 2222 3 22 3 22 2 33 baba abab 得 22 3 4 5 aabb 而所以 故椭圆C的方程为 22 1 95 xy 2010 辽宁理数 辽宁理数 20 本小题满分 12 分 设椭圆 C 22 22 1 0 xy ab ab 的左焦点为 F 过点 F 的直线与椭圆 C 相交于 A B 两点 直线 l 的倾斜角为 60o 2AFFB 第 9 页 共 44 页 I 求椭圆 C 的离心率 II 如果 AB 15 4 求椭圆 C 的方程 解 设 1122 A x yB xy 由题意知 1 y 0 2 y 0 直线 l 的方程为 3 yxc 其中 22 cab 联立 22 22 3 1 yxc xy ab 得 22224 3 2 330abyb cyb 解得 22 12 2222 3 2 3 2 33 b cab ca yy abab 因为2AFFB 所以 12 2yy 即 22 2222 3 2 3 2 2 33 b cab ca abab 得离心率 2 3 c e a 6 分 因为 21 1 1 3 AByy 所以 2 22 24 315 343 ab ab 由 2 3 c a 得 5 3 ba 所以 515 44 a 得 a 3 5b 椭圆 C 的方程为 22 1 95 xy 12 分 2010 全国卷全国卷 2 文数 文数 22 本小题满分 12 分 已知斜率为 1 的直线 1 与双曲线 C 22 22 1 0 0 xy ab ab 相交于 B D 两点 且 BD 的 中点为 M 1 3 求 C 的离心率 设 C 的右顶点为 A 右焦点为 F DF BF 17 证明 过 A B D 三点的圆 与 x 轴相切 解析解析 本本题题考考查查了了圆锥圆锥曲曲线线 直 直线线与与圆圆的知的知识识 考 考查查学生运用所学知学生运用所学知识识解决解决问题问题的能力 的能力 1 由直 由直线过线过点 点 1 3 及斜率可得直 及斜率可得直线线方程 直方程 直线线与双曲与双曲线线交于交于 BD 两点的中点两点的中点为为 1 3 可 可 利用直利用直线线与双曲与双曲线线消元后根据中点坐消元后根据中点坐标标公式找出公式找出 A B 的关系式即求得离心率 的关系式即求得离心率 2 利用离心率将条件 利用离心率将条件 FA FB 17 用含 用含 A 的代数式表示 即可求得的代数式表示 即可求得 A 则则 A 点坐点坐标标可得可得 第 10 页 共 44 页 1 0 由于 由于 A 在在 X 轴轴上所以 只要上所以 只要证证明明 2AM BD 即即证证得 得 20102010 江西理数 江西理数 21 本小题满分 12 分 设椭圆 22 1 22 1 0 xy Cab ab 抛物线 22 2 Cxbyb 1 若 2 C经过 1 C的两个焦点 求 1 C的离心率 2 设 A 0 b 5 3 3 4 Q 又 M N 为 1 C与 2 C不在 y 轴上的两个交点 若 AMN 的垂心为 3 4 Bb 0 且 QMN 的重心在 2 C上 求椭圆 1 C和抛物线 2 C的方程 解析 考查椭圆和抛物线的定义 基本量 通过交点三角形来确认方程 1 由已知椭圆焦点 c 0 在抛物线上 可得 22 cb 由 2 2222 2 12 2 22 c abcce a 有 2 由题设可知 M N 关于 y 轴对称 设 11111 0 Mx yN x yx 由AMN 的垂心为 B 有 2 111 3 0 0 4 BM ANxyb yb 由点 11 N x y在抛物线上 22 11 xbyb 解得 11 4 b yyb 或舍去 故 1 555 22424 bb xb MbNb 得QMN 重心坐标 3 4 b 由重心在抛物线上得 2 2 3 2 4 b bb 所以 11 5 5 22 MN 又因为 M N 在椭圆上得 2 16 3 a 椭圆方程为 22 16 3 1 4 xy 抛物线方程为 2 24xy 2010 安徽文数 安徽文数 17 本小题满分 12 分 椭圆E经过点 2 3A 对称轴为坐标轴 焦点 12 F F在x轴上 离心率 1 2 e 求椭圆E的方程 第 11 页 共 44 页 求 12 F AF 的角平分线所在直线的方程 17 命题意图 本题考查椭圆的定义及标准方程 椭圆的简单几何性质 直线的点斜式方 程与一般方程 点到直线的距离公式等基础知识 考查解析几何的基本思想 综合运算能 力 解题指导 1 设椭圆方程为 22 22 1 xy ab 把点 2 3A代入椭圆方程 把离心率 1 2 e 用 a c表示 再根据 222 abc 求出 22 a b 得椭圆方程 2 可以设直线 l 上 任一点坐标为 x y 根据角平分线上的点到角两边距离相等得 346 2 5 xy x 解 设椭圆 E 的方程为 22 22 22 2222 22 22 22 121 212 1 11 3 1 2243 13 1 2 1 1612 3 2 0 2 0 2 4 3460 2 xy ab cxy ebacc acc AcE cc xy FAFx xyAFxEAF 由得 将 2 3 代入 有解得 椭圆的方程为 由 知F所以直线的方程为y 即直线的方程为由椭圆的图形知 F的角平分线所在直线的斜率为正 12 12 346 2 5 346510 280 xy AFx xyxxy AF 数 设P x y 为F的角平分线所在直线上任一点 则有 若得其斜率为负 不合题意 舍去 于是3x 4y 6 5x 10 即2x y 1 0 所以 F的角平分线所在直线的方程为2x y 1 0 规律总结 对于椭圆解答题 一般都是设椭圆方程为 22 22 1 xy ab 根据题目满足的条件 求出 22 a b 得椭圆方程 这一问通常比较简单 2 对于角平分线问题 利用角平分线 的几何意义 即角平分线上的点到角两边距离相等得方程 2010 重庆文数 21 本小题满分 12 分 小问 5 分 小问 7 分 已知以原点O为中心 5 0 F为右焦点的双曲线C的离心率 5 2 e 求双曲线C的标准方程及其渐近线方程 如题 21 图 已知过点 11 M x y的直线 1 l 11 44x xy y 与过点 22 N xy 其中 21 xx 的直线 2 l 22 44x xy y 的交点E在双曲线C上 直线 第 12 页 共 44 页 MN与双曲线的两条渐近线分别交于G H两点 求OG OH A的值 第 13 页 共 44 页 2010 浙江文数 浙江文数 22 本题满分 15 分 已知 m 是非零实数 抛物线 2 2Cyps p 0 的焦点 F 在直线 2 0 2 m l xmy 上 I 若 m 2 求抛物线 C 的方程 II 设直线l与抛物线 C 交于 A B A 2 A F 1 BB F的重心分别为 G H 求证 对任意非零实数 m 抛物线 C 的准线与 x 轴的焦点在以线段 GH 为直径的圆外 第 14 页 共 44 页 2010 重庆理数 重庆理数 20 本小题满分 12 分 I 小问 5 分 II 小问 7 分 已知以原点 O 为中心 5 0F为右焦点 的双曲线 C 的离心率 5 2 e 第 15 页 共 44 页 I 求双曲线 C 的标准方程及其渐近线方程 II 如题 20 图 已知过点 11 M x y的直线 111 44lx xy y 与过点 22 N xy 其中 2 xx 的直线 222 44lx xy y 的交点 E 在双曲线 C 上 直线 MN 与两条渐近线分别交与 G H 两点 求OGH 的面积 第 16 页 共 44 页 2010 山东文数 山东文数 22 本小题满分 14 分 如图 已知椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 过点 2 1 2 离心率为 2 2 左 右焦点分别为 1 F 2 F 点P为直线 2l xy 上且不在x轴上的任意 一点 直线 1 PF和 2 PF与椭圆的交点分别为A B 和C D O为坐标原点 I 求椭圆的标准方程 II 设直线 1 PF 2 PF的斜线分别为 1 k 2 k i 证明 12 13 2 kk ii 问直线l上是否存在点P 使得直线OA OB OC OD的斜率 OA k OB k OC k OD k满足0 OAOBOCOD kkkk 若存在 求出所有满足条件的点P的坐 标 若不存在 说明理由 第 17 页 共 44 页 第 18 页 共 44 页 第 19 页 共 44 页 20102010 北京文数 北京文数 19 本小题共 14 分 已知椭圆 C 的左 右焦点坐标分别是 2 0 2 0 离心率是 6 3 直线 y t 椭 圆 C 交与不同的两点 M N 以线段为直径作圆 P 圆心为 P 求椭圆 C 的方程 若圆 P 与 x 轴相切 求圆心 P 的坐标 设 Q x y 是圆 P 上的动点 当 t 变化时 求 y 的最大值 解 因为 6 3 c a 且2c 所以 22 3 1abac 所以椭圆 C 的方程为 2 2 1 3 x y 由题意知 0 11 ptt 由 2 2 1 3 yt x y 得 2 3 1 xt 所以圆 P 的半径为 2 3 1 t 解得 3 2 t 所以点 P 的坐标是 0 3 2 由 知 圆 P 的方程 222 3 1 xytt 因为点 Q x y在圆 P 上 所以 222 3 1 3 1 yttxtt 第 20 页 共 44 页 设cos 0 t 则 2 3 1 cos3sin2sin 6 tt 当 3 即 1 2 t 且0 x y取最大值 2 20102010 北京理数北京理数 19 本小题共 14 分 在平面直角坐标系 xOy 中 点 B 与点 A 1 1 关于原点 O 对称 P 是动点 且直线 AP 与 BP 的斜率之积等于 1 3 求动点 P 的轨迹方程 设直线 AP 和 BP 分别与直线 x 3 交于点 M N 问 是否存在点 P 使得 PAB 与 PMN 的 面积相等 若存在 求出点 P 的坐标 若不存在 说明理由 I 解 因为点 B 与 A 1 1 关于原点O对称 所以点B得坐标为 1 1 设点P的坐标为 x y 由题意得 111 113 yy xx A 化简得 22 34 1 xyx 故动点P的轨迹方程为 22 34 1 xyx II 解法一 设点P的坐标为 00 xy 点M N得坐标分别为 3 M y 3 N y 则直线AP的方程为 0 0 1 1 1 1 y yx x 直线BP的方程为 0 0 1 1 1 1 y yx x 令3x 得 00 0 43 1 M yx y x 00 0 23 1 N yx y x 于是PMNA得面积 2 000 0 2 0 3 1 3 2 1 PMNMN xyx Syyx x A 又直线AB的方程为0 xy 2 2AB 点P到直线AB的距离 00 2 xy d 第 21 页 共 44 页 于是PABA的面积 00 1 2 PAB SAB dxy A A 当 PABPMN SS AA 时 得 2 000 00 2 0 3 1 xyx xy x 又 00 0 xy 所以 2 0 3 x 2 0 1 x 解得 0 5 3 x 因为 22 00 34xy 所以 0 33 9 y 故存在点P使得PABA与PMNA的面积相等 此时点P的坐标为 533 39 解法二 若存在点P使得PABA与PMNA的面积相等 设点P的坐标为 00 xy 则 11 sin sin 22 PAPBAPBPMPNMPN AA 因为sinsinAPBMPN 所以 PAPN PMPB 所以 00 0 1 3 3 1 xx xx 即 22 00 3 1 xx 解得 0 x 5 3 因为 22 00 34xy 所以 0 33 9 y 故存在点PS 使得PABA与PMNA的面积相等 此时点P的坐标为 533 39 2010 四川理数 四川理数 20 本小题满分 12 分 已知定点 A 1 0 F 2 0 定直线 l x 1 2 不在 x 轴上的动点 P 与点 F 的距离是 它到直线 l 的距离的 2 倍 设点 P 的轨迹为 E 过点 F 的直线交 E 于 B C 两点 直线 AB AC 分别交 l 于点 M N 求 E 的方程 试判断以线段 MN 为直径的圆是否过点 F 并说明理由 第 22 页 共 44 页 本小题主要考察直线 轨迹方程 双曲线等基础知识 考察平面机袭击和的思想方法及推 理运算能力 解 1 设 P x y 则 22 1 2 2 2 xyx 化简得 x2 2 3 y 1 y 0 4 分 2 当直线 BC 与 x 轴不垂直时 设 BC 的方程为 y k x 2 k 0 与双曲线 x2 2 3 y 1 联立消去 y 得 3 k 2x2 4k2x 4k2 3 0 由题意知 3 k2 0 且 0 设 B x1 y1 C x2 y2 则 2 12 2 2 12 2 4 3 43 3 k xx k k x x k y1y2 k2 x1 2 x2 2 k2 x1x2 2 x1 x2 4 k2 22 22 438 33 kk kk 4 2 2 9 3 k k 因为 x1 x2 1 所以直线 AB 的方程为 y 1 1 1 y x x 1 因此 M 点的坐标为 1 1 31 2 2 1 y x 1 1 33 2 2 1 y FM x 同理可得 2 2 33 2 2 1 y FN x 因此 2 12 12 93 22 1 1 y y FM FN xx A 2 2 22 22 81 4 3 4349 4 1 33 k k kk kk 0 第 23 页 共 44 页 当直线 BC 与 x 轴垂直时 起方程为 x 2 则 B 2 3 C 2 3 AB 的方程为 y x 1 因此 M 点的坐标为 1 3 2 2 3 3 2 2 FM 同理可得 33 22 FN 因此 2 333 222 FM FN A 0 综上FM FN A 0 即 FM FN 故以线段 MN 为直径的圆经过点 F 12 分 20102010 天津文数 天津文数 21 本小题满分 14 分 已知椭圆 22 22 1 xy ab a b 0 的离心率 e 3 2 连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积 为 4 求椭圆的方程 设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A B 已知点 A 的坐标为 a 0 i 若 4 2 AB 5 求直线 l 的倾斜角 ii 若点 Qy0 0 在线段 AB 的垂直平分线上 且QA QB 4 A 求y0的值 解析 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质 直线的方程 两点间的距离公 式 直线的倾斜角 平面向量等基础知识 考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数 形结合的思想 考查综合分析与运算能力 满分 14 分 解 由 e 3 2 c a 得 22 34ac 再由 222 cab 解得 a 2b 由题意可知 1 224 2 ab 即 ab 2 解方程组 2 2 ab ab 得 a 2 b 1 所以椭圆的方程为 2 2 1 4 x y i 解 由 可知点 A 的坐标是 2 0 设点 B 的坐标为 11 x y 直线 l 的斜率为 k 则直线 l 的方程为 y k x 2 于是 A B 两点的坐标满足方程组 2 2 2 1 4 yk x x y 消去 y 并整理 得 第 24 页 共 44 页 2222 14 16 164 0kxk xk 由 2 1 2 164 2 14 k x k 得 2 1 2 28 14 k x k 从而 1 2 4 14 k y k 所以 2 2 22 222 2844 1 2 141414 kkk AB kkk 由 4 2 5 AB 得 2 2 4 14 2 145 k k 整理得 42 329230kk 即 22 1 3223 0kk 解得 k 1 所以直线 l 的倾斜角为 4 或 3 4 ii 解 设线段 AB 的中点为 M 由 i 得到 M 的坐标为 2 22 82 1414 kk kk 以下分两种情况 1 当 k 0 时 点 B 的坐标是 2 0 线段 AB 的垂直平分线为 y 轴 于是 00 2 2 QAyQBy 由4QA QB 得y2 2 0 2 当0k 时 线段 AB 的垂直平分线方程为 2 22 218 1414 kk yx kkk 令0 x 解得 0 2 6 14 k y k 由 0 2 QAy 110 QBx yy 2 1010 2222 2 28 646 2 14141414 k kkk QA QBxyyy kkkk 42 2 2 4 16151 4 14 kk k 整理得 2 72k 故 14 7 k 所以 0 2 14 5 y 综上 0 2 2y 或 0 2 14 5 y 20102010 天津理数 天津理数 20 本小题满分 12 分 第 25 页 共 44 页 已知椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的离心率 3 2 e 连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面 积为 4 1 求椭圆的方程 2 设直线l与椭圆相交于不同的两点 A B 已知点A的坐标为 0a 点 0 0 Qy在线段AB的垂直平分线上 且4QA QB A 求 0 y的值 解析 本小题主要考察椭圆的标准方程和几何性质 直线的方程 平面向量等基础知识 考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想 考查运算和推理能力 满分 12 分 1 解 由 3 e 2 c a 得 22 34ac 再由 222 cab 得2ab 由题意可知 1 224 2 2 abab 即 解方程组 2 2 ab ab 得 a 2 b 1 所以椭圆的方程为 2 2 1 4 x y 2 解 由 1 可知 A 2 0 设 B 点的坐标为 x1 y1 直线 l 的斜率为 k 则直线 l 的方程为 y k x 2 于是 A B 两点的坐标满足方程组 2 2 2 1 4 yk x x y 由方程组消去 Y 并整理 得 2222 14 16 164 0kxk xk 由 2 1 2 164 2 14 k x k 得 2 11 22 284 1414 kk xy kk 从而 设线段 AB 是中点为 M 则 M 的坐标为 2 22 82 1414 kk kk 以下分两种情况 1 当 k 0 时 点 B 的坐标为 2 0 线段 AB 的垂直平分线为 y 轴 于是 第 26 页 共 44 页 000 2 y 2 2QAQByQA QBy A 由4 得 2 2 当 K0 时 线段 AB 的垂直平分线方程为 2 22 218 1414 kk Yx kkk 令 x 0 解得 0 2 6 14 k y k 由 0110 2 y QAQBx yy 2 1010 2222 2 28 646 2 14141414 kkkk QA QBxyyy kkkk A 42 22 4 16151 4 14 kk k 整理得 2 0 142 14 72 75 kky 故所以 综上 00 2 14 2 2 5 yy 或 2010 广东理数 广东理数 21 本小题满分 14 分 设 A 11 x y B 22 xy 是平面直角坐标系 xOy 上的两点 先定义由点 A 到点 B 的一种折 线距离 p A B 为 2121 P A Bxxyy 第 27 页 共 44 页 当且仅当 1212 0 0 xxxxyyyy 时等号成立 即 A B C三点共线时 等号成立 2 当点 C x y 同时满足 P A C P C B P A B P A C P C B时 点 C是线段AB的中点 1212 22 xxyy xy 即存在点 1212 22 xxyy C 满足条件 2010 广东理数 广东理数 20 本小题满分为 14 分 一条双曲线 2 2 1 2 x y 的左 右顶点分别为 A1 A2 点 11 P x y 11 Q xy 是双曲线上 不同的两个动点 1 求直线 A1P 与 A2Q 交点的轨迹 E 的方程式 2 若过点 H 0 h h 1 的两条直线 l1和 l2与轨迹 E 都只有一个交点 且 12 ll 求 h 的值 第 28 页 共 44 页 故 22 1 2 2 yx 即 2 2 1 2 x y 2 设 1 lykxh 则由 12 ll 知 2 1 lyxh k 将 1 lykxh 代入 2 2 1 2 x y 得 2 2 1 2 x kxh 即 222 12 4220kxkhxh 由 1 l与 E 只有一个交点知 2222 164 12 22 0k hkh 即 22 12kh 同理 由 2 l与 E 只有一个交点知 2 2 1 12h k 消去 2 h得 2 2 1 k k 即 2 1k 从 而 22 123hk 即3h 2010 广广东东文数 文数 21 本小题满分 14 分 已知曲线 2 nxyCn 点 nnn yxP 0 0 nn yx是曲线 n C上的点 2 1 n 第 29 页 共 44 页 第 30 页 共 44 页 20102010 福建文数 福建文数 19 本小题满分 12 分 已知抛物线 C 2 2 0 ypx p 过点 A 1 2 I 求抛物线 C 的方程 并求其准线方程 II 是否存在平行于 OA O 为坐标原点 的直线 L 使得直线 L 与抛物线 C 有公共 点 且直线 OA 与 L 的距离等于 5 5 若存在 求直线 L 的方程 若不存在 说明理由 第 31 页 共 44 页 20102010 全国卷全国卷 1 1 理数 理数 21 本小题满分 12 分 已知抛物线 2 4C yx 的焦点为 F 过点 1 0 K 的直线l与C相交于A B两点 点 A 关于x轴的对称点为 D 证明 点 F 在直线 BD 上 设 8 9 FA FB A 求BDK 的内切圆 M 的方程 第 32 页 共 44 页 2010 四川文数 四川文数 21 本小题满分 12 分 已知定点 A 1 0 F 2 0 定直线 l x 1 2 不在 x 轴上的动点 P 与点 F 的距离是 它到直线 l 的距离的 2 倍 设点 P 的轨迹为 E 过点 F 的直线交 E 于 B C 两点 直线 AB AC 分别交 l 于点 M N 求 E 的方程 试判断以线段 MN 为直径的圆是否过点 F 并说明理由 第 33 页 共 44 页 2010 湖北文数 湖北文数 20 本小题满分 13 分 已知一条曲线 C 在 y 轴右边 C 上没一点到点 F 1 0 的距离减去它到 y 轴距离的差 都是 1 求曲线 C 的方程 是否存在正数 m 对于过点 M m 0 且与曲线 C 有两个交点 A B 的任一直线 都有FA FB 0 若存在 求出 m 的取值范围 若不存在 请说明理由 第 34 页 共 44 页 20102010 山东理数 山东理数 21 本小题满分 12 分 如图 已知椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的离心率为 2 2 以该椭圆上的点和椭圆的左 右 焦点 12 F F为顶点的三角形的周长为4 21 一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点 设 P为该双曲线上异于顶点的任一点 直线 1 PF和 2 PF与椭圆的交点分别为BA 和CD 第 35 页 共 44 页 求椭圆和双曲线的标准方程 设直线 1 PF 2 PF的斜率分别为 1 k 2 k 证明 12 1k k 是否存在常数 使得 ABCDAB CD 恒成立 若存在 求 的值 若 不存在 请说明理由 解析 由题意知 椭圆离心率为 c a 2 2 得2ac 又22ac 4 21 所以可解得2 2a 2c 所以 222 4bac 所以椭圆的标准方程为 22 1 84 xy 所以椭圆的焦点坐标为 2 0 因为双曲线为等轴双曲线 且顶点是该椭圆的焦点 所 以该双曲线的标准方程为 22 1 44 xy 第 36 页 共 44 页 命题意图 本题考查了椭圆的定义 离心率 椭圆与双曲线的标准方程 直线与圆锥曲 线的位置关系 是一道综合性的试题 考查了学生综合运用知识解决问题的能力 其中问 题 3 是一个开放性问题 考查了同学们观察 推理以及创造性地分析问题 解决问题的 能力 2010 湖南理数 湖南理数 19 本小题满分 13 分 为了考察冰川的融化状况 一支科考队在某冰川上相距 8km 的 A B 两点各建一个考察基地 视冰川面为平面形 以过 A B 两点的直线为 x 轴 线段 AB 的的垂直平分线为 y 轴建立平面 直角坐标系 图 6 在直线 x 2 的右侧 考察范围为到点 B 的距离不超过 6 5 5 km 区域 在 第 37 页 共 44 页 直线 x 2 的左侧 考察范围为到 A B 两点的距离之和不超过4 5km 区域 求考察区域边界曲线的方程 如图 6 所示 设线段 P1P2 P2P3 是冰川的部分边界线 不考虑其他边界线 当冰川 融化时 边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动 第一年移动 0 2km 以后每年移动 的距离为前一年的 2 倍 求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间 化 融 区域 2 8 3 P 6 3 P3 8 6 已冰 B 4 0 A 4 0 x 1 P15 3 第 38 页 共 44 页 2010 湖北理数 19 本小题满分 12 分 已知一条曲线 C 在 y 轴右边 C 上每一点到点 F 1 0 的距离减去它到 y 轴距离的差都是 1 第 39 页 共 44 页 求曲线 C 的方程 是否存在正数 m 对于过点 M m 0 且与曲线 C 有两个交点 A B 的任一直线 都 有0FA FB 若存在 求出 m 的取值范围 若不存在 请说明理由 2010 安徽理数 19 本小题满分 13 分 已知椭圆E经过点 2 3A 对称轴为坐标轴 焦点 12 F F在x轴上 离心率 1 2 e 求椭圆E的方程 求 12 F AF 的角平分线所在直线l的方程 在椭圆E上是否存在关于直线l