第2章傅氏变换习题

习题解答 1 设X ej 和Y ej 分别是x n 和y n 的傅里叶变换 试求下面序列的傅里叶变换 1 x n n0 2 x n 3 x n 4 x n y n 5 x n y n 6 nx n 7 x 2n 8 x2 n 9 解 1 令n n n0 即n n n0 则 2 3 令n n 则 4 FT x n y n X ej Y ej 下面证明上式成立 令k n m 则 5 或者 6 因为 对该式两边 求导 得到 因此 7 令n 2n 则 或者 8 利用 5 题结果 令x n y n 则 9 令n n 2 则 2 已知 求X ej 的傅里叶反变换x n 解 3 线性时不变系统的频率响应 频率响应函数 H ej H ej ej 如果单位脉冲响应h n 为实序列 试证明输入x n Acos 0n j 的稳态响应为 解 假设输入信号x n ej 0n 系统单位脉冲响应为h n 则系统输出为 上式说明当输入信号为复指数序列时 输出序列仍是复指数序列 且频率相同 但幅度和相位取决于网络传输函数 利用该性质解此题 上式中 H ej 是 的偶函数 相位函数是 的奇函数 H ej H e j 故 4 设 将x n 以4为周期进行周期延拓 形成周期序列 画出x n 和的波形 求出的离散傅里叶级数和傅里叶变换 解 画出x n 和的波形如题4解图所示 题4解图 或者 5 设题5图所示的序列x n 的FT用X ej 表示 不直接求出X ej 完成下列运算或工作 题5图 1 2 3 4 确定并画出傅里叶变换实部Re X ej 的时间序列xa n 5 6 解 1 2 3 4 因为傅里叶变换的实部对应序列的共轭对称部分 即 按照上式画出xe n 的波形如题5解图所示 题5解图 5 6 因为 因此 6 试求如下序列的傅里叶变换 1 x1 n n 3 2 3 x3 n anu n 0 a 1 4 x4 n u n 3 u n 4 解 1 2 3 4 或者 7 设 1 x n 是实偶函数 2 x n 是实奇函数 分别分析推导以上两种假设下 其x n 的傅里叶变换性质 解 令 1 因为x n 是实偶函数 对上式两边取共轭 得到 因此X ej X e j 上式说明x n 是实序列 X ej 具有共轭对称性质 由于x n 是偶函数 x n sin 是奇函数 那么 因此 该式说明X ej 是实函数 且是 的偶函数 总结以上 x n 是实偶函数时 对应的傅里叶变换X ej 是实函数 是 的偶函数 2 x n 是实奇函数 上面已推出 由于x n 是实序列 X ej 具有共轭对称性质 即X ej X e j 由于x n 是奇函数 上式中x n cos 是奇函数 那么 因此 这说明X ej 是纯虚数 且是 的奇函数 8 设x n R4 n 试求x n 的共轭对称序列xe n 和共轭反对称序列xo n 并分别用图表示 解 xe n 和xo n 的波形如题8解图所示 题8解图 9 已知x n anu n 0 a 1 分别求出其偶函数xe n 和奇函数xo n 的傅里叶变换 解 因为xe n 的傅里叶变换对应X ej 的实部 xo n 的傅里叶变换对应X ej 的虚部乘以j 因此 10 若序列h n 是实因果序列 其傅里叶变换的实部如下式 HR ej 1 cos 求序列h n 及其傅里叶变换H ej 解 11 若序列h n 是实因果序列 h 0 1 其傅里叶变换的虚部为HI ej sin 求序列h n 及其傅里叶变换H ej 解 12 设系统的单位脉冲响应h n anu n 0 a 1 输入序列为x n n 2 n 2 完成下面各题 1 求出系统输出序列y n 2 分别求出x n h n 和y n 的傅里叶变换 解 1 2 13 已知xa t 2cos 2 f0t 式中f0 100Hz 以采样频率fs 400Hz对xa t 进行采样 得到采样信号和时域离散信号x n 试完成下面各题 1 写出的傅里叶变换表示式Xa j 2 写出和x n 的表达式 3 分别求出的傅里叶变换和x n 序列的傅里叶变换 解 上式中指数函数的傅里叶变换不存在 引入奇异函数 函数 它的傅里叶变换可以表示成 2 3 式中 式中 0 0T 0 5 rad上式推导过程中 指数序列的傅里叶变换仍然不存在 只有引入奇异函数 函数才能写出它的傅里叶变换表示式 例2 4 5 f1 10Hz f2 25Hz 用理想采样频率Fs 40Hz对其进行采样得到 1 写出的表达式 2 对进行频谱分析 写出其傅里叶变换表达式 并画出其幅度谱 3 如要用理想低通滤波器将cos 2 f1t 滤出来 理想滤波器的截止频率应该取多少 解 2 按照采样定理 的频谱是x t 频谱的周期延拓 延拓周期为Fs 40Hz x t 的频谱为 画出幅度谱如图2 4 1所示 图1 3 观察图1 要把cos 2 f1t 滤出来 理想低通滤波器的截止频率fc应选在10Hz和20Hz之间 可选fc 15Hz 如果直接对模拟信号x t cos 2 f1t