苏教版高中数学必修1课件 2.1.3 函数的简单性质(3)

高中数学必修1 2 1 3函数的简单性质 3 复习回顾与情境创设 说出下列函数的单调性 x y O 在 0 上是增函数 在 0 上是减函数 y f x 我们从这两个函数的图象上除看到了单调性 还能看到什么性质吗 如何用数学语言来刻画这一几何性质呢 x y O y f x 1 f x x2 2 2 f x 在 0 上也是减函数 在 0 上是减函数 数学建构 二次函数f x x2 2的图象关于y轴对称 x y O f x 上任一点 x y 关于y轴的对称点 x y 也在函数图象上 用数学语言刻画就是有f x f x x y x y y f x 反过来 若函数y f x 对于定义域内任一实数x 都有f x f x 函数的图象具有什么性质呢 f x f x 恒成立 函数y f x 的图象关于y轴对称 反比例函数f x 的图象关于原点对称 x y O f x 上任一点 x y 关于原点的对称点 x y 也在函数图象上 用数学语言刻画就是有f x f x x y x y y f x 反过来 若函数y f x 对于定义域内任一实数x 都有f x f x 函数的图象具有什么性质呢 f x f x 恒成立 函数y f x 的图象关于原点对称 数学建构 已知函数f x 的定义域为A 若对任意的x A 都有f x f x 则称函数f x 为奇函数 奇函数的图象关于原点对称 偶函数的图象关于y轴对称 如果对任意的x A 都有f x f x 则称函数f x 为偶函数 数学建构 如果函数f x 是奇函数或偶函数 我们就说函数f x 具有奇偶性 反之则说函数不具有奇偶性 例1 判断函数f x x3 5x的奇偶性 数学应用 对于定义在R上的函数f x 下列判断是否正确 1 若f 2 f 2 则f x 是偶函数 2 若f 2 f 2 则f x 不是偶函数 3 若f 2 f 2 则f x 不是奇函数 对于f x x2 2x 1 f 1 2 f 1 2 显然有f 1 f 1 函数是奇函数吗 数学应用 例2 判定下列函数是否为偶函数或奇函数 1 f x x3 x 2 f x 2x 3 f x 2 x 4 f x x 1 x 1 3 练习 判断下列函数的奇偶性 1 f x x 2 f x x2 3 f x 3 f x 小结 判断函数具有奇偶性用定义 而判定函数不具有奇偶性只需看定义域或举反例 数学应用 x y O 已知奇函数f x 在y轴右边的图象如图所示 请你画出左边的图象 如果f x 是偶函数呢 数学应用 x y O 设奇函数f x 的定义域为 5 5 当x 0 5 时 f x 的图象如图所示 试写出不等式f x 0的解集 如果f x 是偶函数呢 5 2 数学应用 上面两个图象也具有对称性 所对应的函数具有奇偶性吗 下面两幅呢 数学应用 二次函数y ax2 bx c a 0 是偶函数的条件是 一次函数y kx b k 0 是奇函数的条件是 b 0 b 0 函数y f x 的奇偶性 是函数的本质属性 可看作是将对称性特殊化 奇函数是中心对称的特殊形式 偶函数则是轴对称的特殊形式 数学应用 例3 判断函数f x x2 2x x 0 x2 2x x 0 的奇偶性 变式 判断函数f x x2 x 1 x 0 x2 x 1 x 0 的奇偶性 小结 分段函数奇偶性的判断 先画出图象 结合图象给出奇偶性的结论 再利用定义分段证明 注 若数字0在定义域内 不能忽略讨论 且对于奇函数f x 若0在定义域内 则必有结论f 0 0 数学应用 例4 已知函数f x x5 2ax3 3bx 2 若f 2 3 求f 2 的值 小结 1 利用规律f x f x 等于常数项的2倍解题 2 一个定义域关于数0对称的函数 总可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和 变式 若函数f x 是R上的奇函数 g x 是R上的偶函数 且f x g x 1 x2 x 1 求f x 与g x 的解析式 数学应用 1 定义域内 2 任意一个x 3 都有 f x f x f x f x 偶函数 奇函数 有理函数 不含有奇次幂项 不含有偶次幂项 4 判定具有奇偶性 判定不具有奇偶性 用定