数学建模实验4.doc

数学建模实验41、上机实现蒙特卡洛随机方法计算圆周率近似值的程序，并对计算结果作出分析。可以采用蒲丰投针的方法计算的值：解答过程：（1） 蒲丰投针问题：在平面上画一些平行线，使他们的间距都为a，向此平面投一长度为l的针（la），该针与任意平行线相交的概率为p=，则=。利用该方法可以计算的值，具体方法是：投针N次，算出与平行线相交的n次，p=，带入上式可以计算出的值。（2） 用Matlab软件进行模拟实验，即用Matlab编写程序来进行“蒲丰投针实验”。基本原理：由于针投到平面上时有各种不同的方向和位置，但是每一次投针时，其位置和方向都可以用两个量来唯一确定，就是针的中点和偏离的水平的角度，于是我们可以生成两个n*1的随机矩阵，分别设为x和y，x表示此时针的中点位置，y表示此时针偏离水平方向的角度，当x0.5*l*sin(y)时可以认为针和横线相交，只要随机产生n对这样的x,y就可以模拟n次投针试验，然后统计xa errorreturn ;end;x=unifrnd(0,a/2,n,1);f=unifrnd(0,pi,n,1);m=sum(y)PI=vpa(2*l*n/(a*m);(4)计算结果分析：实验数据如下La投针次数相交次数的值0.511000030803.24653100000315703.1675610000003181253.14342500000015909123.142850.551500000017495933.143590.6500000019087333.143450.65500000020700393.1400370.7500000022278003.1421130.75500000023874343.1414480.8500000025477183.1400641）由数据可以看出，当l和a为定值，而次数改变时，相交次数也会改变，相交次数与投掷次数有个近似的线性关系，这个关系就是P，即相交的概率，但是n越大，对结果只是变化减小，n越大，并不会使得结果越准确。2）由上面的实验数据第二部分可知，当间距和n（投掷次数）不变时，针长越大或是越小，都会越偏离的真实值，一般来说，a可能在0.65*l,0.8*l之间时，会接近真实结果一些2、甲，乙两公司通过广告来竞争销售商品的数量，广告费用分别是x和y。设甲乙公司商品的销售量中占的份额，是它们的广告费中所占的份额的函数f和f.又设公司的收入与售量成正比，从收入中扣除广告费即为公司的利润。试构造模型的图形，并讨论甲公司怎么确定广告费才能使利润最大。（1）令t=，则f(t)+f(1-t)=1.画出f(t)的示意图。（2）写出甲公司利润的表达式p(x).对于一定的y,使p(x)最大的x的最优值应满足什么关系。用图解法确定这个最优值。解答过程：（1）由f(t)+f(1-t)=1可得：f(t)是以（1/2,1/2）为中心对称图形。如图所示其中设实线曲线为f(t)函数的图像。（2）设甲公司的利润为p(x)=af()-x,a为常数，下面求p(x)的最大值的最大值点x*：由p(x*)=0可得f(x*)=,记c是任意常数，则曲线g(t)与f(t)相切的那条曲线为的切点坐标为t*,则