高考一轮复习坐标系与参数方程

第 1 页 版权所有版权所有 不得复制不得复制 年年 级级高三学科学科数学 内容标题内容标题坐标系与参数方程 编稿老师编稿老师褚哲 一 教学目标 一 教学目标 1 回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 体会坐标系的作用 2 能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置 体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画 点的位置的区别 能进行极坐标和直角坐标的互化 3 了解极坐标系中直线 圆和圆锥曲线的方程 4 分析直线 圆和圆锥曲线的几何性质 能选择适当的参数写出它们的参数方程 5 能进行参数方程与普通方程的互化 二 知识要点 二 知识要点 一 直角坐标系 一 直角坐标系 背景 为了确保宇宙飞船能在预定轨道上运行 完成各项任务 飞船控制中心需要随时测定 飞船在空中的位置和其运动的轨迹 侦查兵如何向我方炮兵提供敌人的火力点的位置 这都涉及到如何刻画一个几何图形的位置 1 数轴 2 直角坐标系 3 空间直角坐标系 二 极坐标系 二 极坐标系 1 上述问题若采用直角坐标系 不仅坐标轴难以选择 而且点的坐标也不便测定 为 了简便地表示上面问题中点的位置 应如何创建坐标系 一般地 在平面上取一个定点 O 自点 O 引一条射线 OX 同时确定一个长度单位和 计算角度的正方向 通常取逆时针方向为正方向 这样就建立了一个极坐标系 其中 O 点称为极点 射线 OX 称为极轴 设 M 是平面上任一点 表示 OM 的长度 表示以射线 OX 为始边 射线 OM 为 终边所成的角 那么有序数对 M 称为点 M 的极坐标 称为点 的极径 称为点 的极角 第 2 页 版权所有版权所有 不得复制不得复制 由点 的极径的几何意义知 点 的极角 的范围为 我们约定极点 的极坐标是极径 极角 可取任意值 为了研究方便 在极坐标系中 极径 允许取负值 极角也可以取任意的正角或负角 当 0 时 点 M 位于极角终边的反向延长线上 且 OM 例 写出图中各点的极坐标 A 4 0 B 2 C 3 D 1 E 3 5 F 6 4 2 5 6 3 4 G 5 3 5 一般地 如果 是点 M 的极坐标 那么 2k 或 2k 1 k Z 都可以作为点 M 的极坐标 但这样建立的极坐标系 平 面上的点与它的极坐标之间就不是一一对应关系 2 曲线的极坐标方程 1 定义 如果极坐标系中的曲线 C 和方程 f 0 0 之间建立了如下关系 曲线 C 上任一点的无穷多个极坐标中至少有一个适合方程 f 0 坐标满足 f 0 的点都在曲线 C 上 那么方程 f 0 叫做曲线 C 的极坐标方程 2 求曲线极坐标方程的步骤 用 表示曲线上任意一点 M 的坐标 写出适合条件 的点 M 的集合 P M p M 用坐标表示条件 M 列出方程 f 0 化方程 f 0 为最简形式 3 直线的极坐标方程 第 3 页 版权所有版权所有 不得复制不得复制 若直线 l 经过点 且极轴到此直线的角为 则直线 l 的极坐标方程为 00 M 00 sin sin 4 圆心是 A 半径 r 的圆的极坐标方程为 0 0 222 000 2cos 0r 特殊位置的圆的极坐标方程 图 3 23 2rcos 图 3 24 2rcos 图 3 25 2rsin 图 3 26 2rsin 2 极坐标与直角坐标的互化 三 参数方程 1 定义 一般地 在直角坐标系中如果曲线 C 上任一点 P 的坐标 x 和 y 都可以表示为某个变量 t 的函数 反过来 对于 t 的每个允许值 由函数式所确定的点 P 都在曲线上 那么方程 叫做曲线 C 的参数方程 t 叫参变量 第 4 页 版权所有版权所有 不得复制不得复制 2 直线参数方程的标准式 1 过点 P0 倾斜角为的直线 的参数方程是 00 y x l t 为参数 sin cos 0 0 tyy txx t 的几何意义 有向直线 上从已知点 P0 到l 00 y x 点 P 的有向线段的数量 且 P0P t yx 当 t 0 时 点 P 在点 P0的上方 当 t 0 时 点 P 与点 P0重合 当 t 0 时 点 P 在点 P0的下方 3 椭圆的参数方程 典型例题典型例题 例题 1 已知 B 村位于 A 村的正西方向 1 公里处 原计划经过 B 村沿着北偏东 60 的方 向埋设一条地下管线 m 但在 A 村的西北方向 400 米处 发现一古代文物遗址 W 根据初步 勘察的结果 文物管理部门将遗址 W 周围 100 米范围化为禁区 试问 埋设地下管线 m 的 计划需要更改吗 解 解 建立直角坐标系 则 A 0 0 B 1000 0 W 200 200 22 得 m 的直线方程为 x y 1000 0 3 点 W 到直线 m 的距离为 100 6 113 2 1000220032200 所以 埋设地下管线 m 的计划可以不更改 例题 2 已知点 Q a b 分别按下列条件求出点 P 的坐标 第 5 页 版权所有版权所有 不得复制不得复制 1 P 是点 Q 关于点 M m n 的对称点 2 P 是点 Q 关于直线 l x y 4 0 的对称点 Q 不在直线l 上 解 解 设点 P 的坐标为 1 M 是 PQ 的中点 因此 22 22 xamxma ybnynb 所以 P 点坐标为 2m a 2n b 2 由题意得 所以 P 坐标为 b 4 a 4 11 ax by 04 2 by 2 ax 4 4 xb ya 例题 3 在极坐标系中 已知两点 求线段 的长度 4 1 Q 4 5 5 P 已知点 的极坐标为说明满足上述条件的点 的位置 解 解 1 PQ 5 1 6 2 点 M 在过极点且与极角成角的直线上 3 例题 4 在极坐标系中 已知点 Q 分别按下列条件求出点 P 的极坐标 1 P 是点 Q 关于极点 O 的对称点 2 P 是点 Q 关于直线的对称点 2 解 解 1 点 P或 1k2 2 kkZ 2 点 P 的极角 2k 所以点 P 的坐标为或 1k2 Zk k2 例题 5 把点 M 极坐标化为直角坐标 3 2 8 解 解 M 4 4 3 第 6 页 版权所有版权所有 不得复制不得复制 例 6 把下列参数方程化为普通方程 并说明它们各表示什么曲线 为参数 sin4 cos5 y x 为参数 ty tx 4 31 t 解 解 sin4 cos5 y x 两边平方相加 得 sin 4 cos 5 y x 22 22 sincos 1625 yx 即 1 1625 22 yx 曲线是长轴在 x 轴上且为 10 短轴为 8 中心在原点的椭圆 由代入 得 ty tx 4 31 4 y t tx31 4 31 y x 0434 yx 它表示过 0 和 1 0 的一条直线 4 3 模拟试题模拟试题 答题时间 40 分钟 一 选择题一 选择题 1 曲线的极坐标方程化为直角坐标为 sin4 A B 4 2 22 yx4 2 22 yx C D 4 2 22 yx4 2 22 yx 2 已知点 P 的极坐标是 1 则过点 P 且垂直极轴的直线方程是 A B C D 1 cos cos 1 cos 1 3 在同一坐标系中 将曲线变为曲线的伸缩变换是 xy3sin2 xysin A B C D 2 1 3 yy xx yy xx 2 1 3 2 3 yy xx yy xx 2 3 4 直线的参数方程是 12 xy A t 为参数 B t 为参数 12 2 2 ty tx 14 12 ty tx C t 为参数 D 为参数 12 1 ty tx 1sin2 sin y x 第 7 页 版权所有版权所有 不得复制不得复制 5 方程 t 为参数 表示的曲线是 2 1 y t tx A 一条直线 B 两条射线 C 一条线段 D 抛物线的一部分 6 参数方程 为参数 化为普通方程是 2cos1 sin2 2 y x A B 042 yx042 yx C D 042 yx 3 2 x042 yx 3 2 x 7 设点 P 对应的复数为 3 3i 以原点为极点 实轴正半轴为极轴建立极坐标系 则点 P 的极坐标为 A B 23 4 3 23 4 5 C 3 D 3 4 5 4 3 8 在符合互化条件的直角坐标系和极坐标系中 直线 l 与曲线 C 02 kxy 相交 则 k 的取值范围是 cos2 A B C D 但 3 4 k 4 3 kRk Rk 0 k 9 已知过曲线上一点 P 原点 O 的直线 PO 的倾 3cos 4sin x y 为参数 0 斜角为 则 P 点坐标是 4 A 3 4 B 1212 55 C 3 4 D 12 12 55 10 若圆的方程为 为参数 直线的方程为 t 为参 sin23 cos21 y x 16 12 ty tx 数 则直线与圆的位置关系是 A 相交过圆心 B 相交而不过圆心 C 相切 D 相离 二 填空题二 填空题 11 在极坐标系中 以为圆心 为半径的圆的方程是 2 2 a 2 a 12 在极坐标中 若过点 3 0 且与极轴垂直的直线交曲线于 A B 两 cos4 点 则 AB 13 设直线参数方程为 为参数 则它的斜截式方程为 ty t x 2 3 3 2 2 t 第 8 页 版权所有版权所有 不得复制不得复制 三 解答题三 解答题 14 已知直线 经过点 P 1 1 l 6 倾斜角 1 写出直线 的参数方程 l 2 设 与圆相交于两点 A B 求点 P 到 A B 两点的距离之积l4 22 yx 15 在气象台 A 正西方向 300 千米处有一台风中心 它以每小时 40 千米的速度向东 北方向移动 距台风中心 250 千米以内的地方都要受其影响 问 从现在起 大约多长时 间后 气象台 A 所在地将遭受台风影响 持续多长时间 注 41 1 2 65 2 7 第 9 页 版权所有版权所有 不得复制不得复制 试题答案试题答案 一 选择题一 选择题 题号12345678910 答案BCBCBDAADB 二 填空题二 填空题 11 sina 12 32 13 3233 xy 三 解答题三 解答题 14 解 1 直线 的参数方程为 l 2 1 1 2 3 1 是参数t ty tx 2 因为 A B 都在直线 上 所以可设它们对应的参数分别为则点 A B 的l 21 tt 坐标分别为 2 1 1 2 3 1 11 ttA 2 1 1 2 3 1 22 ttB 以直线 的参数方程代入圆的方程整理得到l4 22 yx 02 13 2 tt 因为是方程 的解 从而 21 t t 2 21 tt 所以 2 2 1 2 3 2 1 2 3 21 2 2 2 2 2 1 2 1 ttttttPBPA 15 解 如图 以气象台为坐标原点 正东方向为 x 轴正方向 建立直角坐标系 则 现在台风中心 B1的坐标为 300 0 根据题意 可知 t 小时后 B 的坐标为 即 因为以台风中心为 45cos40300t 45