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第三章应变理论 变形位移 称为位移梯度 称为位移梯度张量 位移梯度张量的矩阵表示 在有限元法中有重要应用 位移梯度张量分解 应变张量 反映点的应变 或 展开 转动张量 反映点的刚体转动 或 展开 3 2应变张量及应变分量 x1方向的线应变 同理 x1x2平面上的切应变 同理 则定义 同理x3x1平面上的切应变 定义角应变 工程应变 同理有 应变分量 工程应变分量 应变的矩阵表示 两种表示 应变 工程应变 3 3转动位移与转动张量 平面内的转动位移 即绕轴的转动位移 同理有绕轴的转动位移 分量表示 P Q dr u u du dr u ni li 对于 采用指标记法有 应变的坐标变换 旧系表达 新系表达 应变是二阶张量 由张量的定义有 如 或 或 展开应变张量 仿照应力张量 对于应变张量有 由齐次方程组具有非零解的条件 展开上式有 可写成 其中 上式即为应变张量第一 第二 第三不变量的表达式 解应变特征方程 可得三个主应变 这三个主应变彼此互相垂直 相应的应变方向称为应变主方向 相应的轴线称为应变主轴 在应变主方向上无切应变 用主应变表示应变张量不变量为 同理对于应变偏张量有 由齐次方程组具有非零解的条件 可以定义出应变偏张量的第一 第二与第三不变量 应变张量不变量 用I 表示 应变偏张量不变量 用J 表示 应力偏张量不变量 用J表示 应力张量不变量 用I表示 主切应变有三个 对于有最大主切应变 正应变 剪应变 用主应变表示 剪应变 用非主应变表示 通常取 则 变形后体积变为 设有微小的正平行六面体 它的棱边长度是在变形前 它的体积 因此 每单位体积的体积改变 即所谓体积应变为 将几何方程代入 用张量形式可表示为 体积应变表示弹性体一点处的单位体积改变量 1 已知位移可由方程确定应变 2 已知应变不能由方程确定位移 即得不到位移的单值解 因此 为了得到单值解的连续位移函数 需要对应变施加某种约束 此类约束称为协调条件 解 要使这一方程组不矛盾 则六个应变分量必须满足一定的条件 以下我们将着手建立这一条件 变形协调方程 三维 方程二 六个变形协调方程并不独立 是得到单值连续的位移函数的必要条件 对于单连通域为充分条件 物体变形后每一单元体都发生形状改变 如变形不满足一定的关系 变形后的单元体将不能重新组合成连续
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